双曲线渐近线

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几何术语

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渐近线定义为如果曲线上的一点沿着趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此条直线为曲线的渐近线 ^[1] 。双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。

中文名: 双曲线渐近线
范围: |x|≥a,y∈R.
顶点: 两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)

对称性: 双曲线的对称性与椭圆完全相同
公式: y=±(b/a)x，y=±(a/b)x
学科: 几何

基本公式

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y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上） ^[2]

几何性质

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(1)范围：|x|≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称 .

(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2=a2+b2.与椭圆不同.

(4) 渐近线：双曲线特有的性质，方程y=±(b/a)x（当焦点在x轴上），y=±(a/b)x (焦点在y轴上）或令双曲线 ^[3]

双曲线的渐近线是其简单几何性质之一，它刻画了双曲线的"形状"(即张口大小)，同时它又与离心率e的大小具有一一对应关系，e越小,双曲线的张口越小，e越大，双曲线的张口越大。 ^[6]

标准方程

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x^2/a^2-y^2/b^2 =1中的1为零即得渐近线方程.

(5) 离心率 e>1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6) 等轴双曲线 ( 等边双曲线 )：x^2-y^2=C其中C≠0,它的离心率e=c/a=√2

(7) 共轭双曲线：方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1与x^2/a^2-y^2/b^2=-1 表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式 ^[4] 。

注意事项

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1.与双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 =1共渐近线的双曲线系方程可表示为 x^2/a^2-y^2/b^2 =λ(λ≠0且λ为待定常数)

2.与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2 =1(a>b>0)共焦点的曲线系方程可表示为x^2/(a^2-λ) -y^2/(λ-b^2) =1(λ0时为椭圆， b2<λ<a2时为双曲线)

2.双曲线的第二定义 ^[5]

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x=+(-)a2/c 的距离之比等于常数e=c/a (c>a>0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距 ( 焦参数 )p= ，与椭圆相同.

3. 焦半径 ( - =1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - =1的右支上时，|pF1|=ex0+a,|pF2|=ex0-a;

P在左支上时，则 |PF1|=ex1+a　|PF2|=ex1-a.

本节学习要求

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学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.

双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式 .三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.

通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.

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