(Mathematical Journey through the Formulas of Triangle Area)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

連結： 數學之旅：三角形面積公式(II)

當數學旅程來到向量(vector)，我們想要了解如何從向量幾何觀點來導出三角形面積公式，

亦即當 \(A(x_1,~y_1),B(x_2,~y_2),C(x_3,~y_3),\) 時，

首先我們定義向量 \(\vec{AB}=B-A=(x_2,~y_2)-(x_1,~y_1)=(x_2-x_1,~y_2-y_1)\)，

並且定義 \(|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\overline{AB}\) 的長度，

另一先備知識為 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)，其中 \(\theta\) 為兩向量 \(\vec{a},\vec{b}\) 之夾角，

此時，如圖一所示，三角形面積公式為 \(a\triangle ABC=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}\)。

證明：根據數學之旅：三角形面積公式(I)中所述 \(a\triangle ABC=\displaystyle\frac{1}{2}bc\sin A\)，

所以，\(a\triangle ABC=\displaystyle\frac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|\sin A=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2\sin^2 A}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2(1-\cos^2 A)}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2-(|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos A)^2}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}\)，這個面積公式可以適用於平面幾何與空間幾何。

進一步延伸，若在座標平面上，令 \(\vec{AB}=(a,~b)\)、\(\vec{AC}=(c,~d)\)，則三角形面積公式轉換成

\(a\triangle ABC=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(a^2+b^2)\cdot(c^2+d^2)-(ac+bd)^2}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)-(a^2c^2+2acbd+b^2d^2)}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{a^2d^2-2adbc+b^2c^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(ad-bc)^2}=\displaystyle\frac{1}{2}|ad-bc|\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}a& b\\ c& d\end{Vmatrix}\)。

其中行列式 \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)。

99學年度學科能力測驗數學考科選填題A題即根據此觀念解題：

A.    坐標平面上有一個平行四邊形ABCD，其中點A的坐標為(2,1)，點B的坐標為(8,2)，點C在第一象限且知其x坐標為12 。若平行四邊形ABCD的面積等於38平方單位，則點D的坐標為 ____。

假設頂點 \(C(12,~t)\)，如圖二所示，因為平行四邊形的對角線將平行四邊形分成兩個全等三角形，

即 \(a\unicode{x25B1}ABCD=2a\triangle ABC\)，所以，\(38=2a\triangle ABC\)，得 \(a\triangle ABC=19\)，

根據向量座標化的定義，\(\vec{AB}=B-A=(8,~2)-(2,~1)=(6,~1)\)，\(\vec{AC}=C-A=(12,~t)-(2,~1)=(10,~t-1)\)，

利用三角形面積公式 \(19=\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}6&1\\10&t-1\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}3&1\\5&t-1\end{Vmatrix}=|3(t-1)-5|=|3t-8|\)，

去絕對值得\(3t-8=19~or~-19\)，即 \(t=9\)(合) or \(\displaystyle-\frac{11}{3}\)(不合)，得 \(C(12,~9)\)，

最後利用平行四邊形對邊平行且相等的性質，也就是 \(\vec{AB}=\vec{DC}\)，所以 \(B-A=C-D\)，

最後得 \(D=A+C-B=(2,~1)+(12,~9)-(8,~2)=(6,~8)\)。

透過平面三角形面積公式及利用行列式的性質，我們可以進一步將平面三點面積轉換：

若 \(A(x_1,~y_1),~B(x_2,~y_2),~C(x_3,~y_3)\)，則 \(a\triangle ABC=\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}x_1 &x_2 &x_3 &x_1\\y_1 &y_2 &y_3 &y_1 \end{Vmatrix}\)，

我們不仿來檢驗一下上題的數據，將\(A(2,~1),~B(8,~2),~C(12,~9)\) 代入

\(a\triangle ABC=\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix} 2& 8& 12&2 \\1& 2& 9&1 \end{Vmatrix}=\displaystyle\frac{1}{2}\left | (2\times 2 – 1 \times 8)+(8\times 9 – 2 \times 12) +(12\times 1 – 9 \times 2)\right | = \displaystyle\frac{1}{2}\times 38=19\)

，正確無誤。

這個神奇的公式可以推廣到n多邊形，

若其點座標分別為 \(A_1(x_1,~y_1),~A_2(x_2,~y_2),~A_3(x_3,~y_3),~A_4(x_4,~y_4),……,~A_n(x_n,~y_n)\)，

此時，n多邊形的面積為  \(\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix} x_1& x_2& x_3&x_4&x_5&…&x_1 \\y_1& y_2& y_3&y_4&y_5&…&y_1 \end{Vmatrix}\)，

如圖三所示，

讀者可以想像將n多邊形的圖形從頂點A出發，
畫出對角線 \(\overline{A_1A_3},~\overline{A_1A_4},~\overline{A_1A_5},…,~\overline{A_1A_{n-1}}\)，

因此，n多邊形的面積為\(\displaystyle\frac{1}{2}\begin{Vmatrix} x_1& x_2& x_3&x_4&x_5&…&x_1 \\y_1& y_2& y_3&y_4&y_5&…&y_1 \end{Vmatrix}\)。

連結： 數學之旅：三角形面積公式(Ⅳ)

99 學年度學科能力測驗數學考科試題 (2010)。財團法人大學入學考試中心。台北。

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