样本均值的抽样分布：用实例直观验证中心极限定理

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1. 什么是抽样分布

抽样分布指样本统计量的分布 。

什么是样本统计量呢？就是 基于样本计算出的统计学指标 ，例如均值，方差，标准差等等。

总体也有对应的统计学指标，不过我们称之为参数。

只要总体确定了，其参数理论上是不会变化的（如：一个既定的总体均值不会变化，只是我们不知道是多少而已）。然而，由于从一个既定的总体中抽取容量为n的样本有无穷种可能，因此对应的样本统计量理论上有无穷个，也就是： 样本统计量是变化的，即变量

既然样本统计量是变量，我们就希望能够获取其分布特征，如均值/方差/形态等。因为知道了这些信息之后，就可以进行统计推断了。 毕竟实际研究中是无法获取总体信息的，只能够通过样本信息来对总体进行推断 。

接下来，本文以样本均值（M）为例，抛弃复杂的公式推导，用直观的例子来解释M的分布特征。

2. M抽样分布的均值和方差

为便于理解，我们先编一个简单的总体：

假设某个总体包含以下数据： {2,5,10,11}

则总体均值为: \mu=\dfrac{2+5+10+11}{4}=7

总体方差为： \sigma^2=\dfrac{(2-7)^2+(5-7)^2+(10-7)^2+(11-7)^2}{4}=13.5

现在从该总体中随机抽样（放回），抽取n=2的样本，则所有可能的样本及其均值M如下：

简单计算一下即可发现此时的 16个M的均值刚好等于7 ，也就是总体均值；方差刚好等于6.75，即总体方差除以n： \dfrac{13.5}{2}

这是巧合还是必然？

让我们再验证一下，此时取n=3的样本，注意此时可能的样本一共有64种。

计算一下可以发现，此时的64个M的均值也等于总体均值，方差等于总体方差除以n。

如果小伙伴们还不相信，可以再取更大的样本量进行验算，不过此时可能的样本数量非常大。当然可以用R语言来实现。例如当n=5时：

population=c(2,5,10,11)  #定义总体
n=5                      #定义样本量
templist=list()
for (i in 1:n){
  templist[[i]]=population
allSamples=expand.grid(templist)#生成所有可能样本，每一行是一个样本