世上有很多有意思的设计，或精致细腻，或别出心裁，或令人耳目一新，或让人拍案叫绝，今天我们故事的主角是一个小小的挂钟~从1点开始，探寻每个式子背后的故事~1点的故事：
欧拉
公式：，所以。这个答案很像是句废话，其实问题应该问e是什么？又是什么？以及
欧拉
是谁？
01自然常熟ee是个常数，如同π一样，而且也是个超越数，e到底等于多少呢？e来源于何方？我们从一个慈善银行的故事开始。我们都知道...
今天看到了
费马大
定理
，初中生都知道的a^2 + b^2 = c^2(本原勾股数组有无数正
整数
解
），费尔马推广一下，后来
欧拉
证明
n=3，没有
整数
解
，后来狄利克和勒让德
证明
5次方程无
解
。。。。。。，三百多年后，天才数学家怀尔斯在多人的基础上，运用现代数论与代数几何中许多深刻的结果与方法，用非常复杂的
证明
过程终结了
费马大
定理
。
说白了就是：当n>=3, a^n + b^n = c^n 没有正
整数
...
任意给定正
整数
n，请问在小于等于n的正
整数
之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做
欧拉
函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1，则 φ(1
费马小
定理
：
引理：若集合{f}={f1,f2,f3...fm-1}中元素对m取模的结果遍历了（1~m-1）所有值，且k与m互质，则{f1k,f2k,f3k...}对m取模的结果同样遍历（1~m-1）所有值
（或者用偏理论的语言描述：如果{a1,a2,a3...am}是m的一个完全剩余系，且k与m互质，则{a1k,a2k...amk}也是m的一个完全剩余系）
应用反证法，假设:
这也算是水仙花数的一个变体吧，这里的
XYZ
不表示相乘，而是一种拼接，X、Y、Z都是三位数。也许存在一种优雅的
解
法，日后如能发现，再做记录，这里先用简单的暴力穷举法求
解
之（显然这里穷举的是
XYZ
，而不是分别穷举X、Y、Z作三层循环）：struct Record
int x; int y; int z; int n;
std::vector<Record> records;
<br />直接调用前面的N^3的函数子模块，然后把获得的数还要特殊处理一下，毕竟是很大的数，超出了正常的范围。<br />.386
.model flat,stdcall
option casemap:none
includelib msvcrt.lib
printf PROTO C:sdword,:vararg
scanf PROTO C:sdword,:vararg
SubProc PROTO stdcall :sdword ;SubProc位于其他的模块中
public r
这个问题可以使用
费马大
定理
进行
证明
。
费马大
定理
指出，对于任意大于2的自然数n，任意
整数
a、b、c，满足a^n+b^n=c^n的正
整数
解
不存在。
首先，我们需要
证明
当n为偶数
时
，方程a^n+b^n=c^n无正
整数
解
。假设存在正
整数
a、b、c，满足a^n+b^n=c^n，其中n为偶数。根据费马小
定理
，a、b、c中至少有一个数能被n整除，不妨设c能被n整除。那么我们可以将方程两边同
时
除以c^n，得到(a/c)^n + (b/c)^n = 1。
由于n为偶数，所以(a/c)^n和(b/c)^n都是正数。根据柯西-施瓦茨不等式，有：
(a/c)^n + (b/c)^n >= [(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2)]^2
又因为1 = (a/c)^n + (b/c)^n <= 2[(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2)]^2，所以(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2) >= 1/√2。但是由于n >= 2，所以√2 < 2^(n/2)，因此(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2) > 1/2。根据这个不等式，我们可以得到：
(a/c)^n + (b/c)^n >= 2[(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2)]^2 > 1
这与(a/c)^n + (b/c)^n = 1矛盾，因此偶数n
时
方程无正
整数
解
。
接下来，我们需要
证明
当n为奇数
时
，方程a^n+b^n=c^n无正
整数
解
。假设存在正
整数
a、b、c，满足a^n+b^n=c^n，其中n为奇数。根据费马小
定理
，a、b、c中至少有一个数能被n整除，不妨设c能被n整除。那么我们可以将方程两边同
时
除以c^n，得到(a/c)^n + (b/c)^n = 1。
由于n为奇数，所以(a/c)^n和(b/c)^n都是正数。根据柯西-施瓦茨不等式，有：
(a/c)^n + (b/c)^n >= [(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2)]^2
又因为1 = (a/c)^n + (b/c)^n <= 2[(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2)]^2，所以(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2) >= 1/√2。但是由于n为奇数，所以√2 < 2^((n-1)/2)，因此(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2) > 1/2。根据这个不等式，我们可以得到：
(a/c)^n + (b/c)^n >= 2[(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2)]^2 > 1
这与(a/c)^n + (b/c)^n = 1矛盾，因此奇数n
时
方程无正
整数
解
。
综上所述，对于任意大于2的自然数n，任意
整数
a、b、c，满足a^n+b^n=c^n的正
整数
解
不存在。
