3 最小二乘法基本思想

最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：
$目标函数 = \sum\limits(观测值-理论值)^2$
观测值是多组样本，理论值就是假设拟合函数。目标函数是机器学习中常说的损失函数，目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。

举一个最简单的线性回归的简单例子，如有 $m$ 个只有一个特征的样本： $(x_i,y_i)(i=1,2,...,m)$，样本采用$h_\theta (x)$的多项式拟合函数：

$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x ，( \theta_0,\theta_1为参数)$

对于一个样本 $x$，对应的拟合函数有两个参数 $\theta_0$ 和 $ \theta_1$ 需求出。
其目标函数为：

$J(\theta_0, \theta_1) = \sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)})^2 = \sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1 x^{(i)})^2$

目的是最小化目标函数

$min \ J(\theta_0, \theta_1)=min \sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)})^2 $

4 最小二乘法的代数法解法

要使 $J(\theta_0, \theta_1)$ 最小，方法就是对 $\theta_0$和 $\theta_1$ 分别求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于 $\theta_0$和 $\theta_1$的二元方程组。求解这个二元方程组，就可以得到 $\theta_0$和 $\theta_1$的值。下面具体看看过程。
$J(\theta_0, \theta_1)$对 $\theta_0$求导，得到如下方程：

$\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1 x^{(i)}) = 0$

$J(\theta_0, \theta_1)$对 $\theta_1$求导，得到如下方程：

$\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1 x^{(i)})x^{(i)} = 0$

$①$和$②$组成一个二元一次方程组，求出$\theta_0$和 $\theta_1$的值：

$\theta_0 = \sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)} - \sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)} \Bigg/ m\sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2 - \big(\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2$

$\theta_1 = m\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)} - \sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)} \Bigg/ m\sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2 - \big(\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2$

推广到多个样本特征的线性拟合

拟合函数表示为 $h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}$，其中$\theta_i\ (i = 0,1,2... n)$ 为模型参数，$x_i\ (i = 0,1,2... n)$为每个样本的 $n$ 个特征值。简化表示，增加一个特征 $x_0 = 1$，这样拟合函数表示为：

$h_\theta(x_0, x_1, ...x_n) = \sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}$

目标函数表示为：

$J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \sum\limits_{j=1}^{m}(h_\theta(x_0^{(j)}), x_1^{(j)}, ...x_n^{(j)})) - y^{(j)}))^2 = \sum\limits_{j=1}^{m}(\sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}^{(j)}- y^{(j)})^2$

利用目标函数分别对$\theta_i \ (i=0,1,...n)$求导，并令导数为$0$可得：

$\sum\limits_{j=0}^{m}(\sum\limits_{i=0}^{n}(\theta_{i}x_{i}^{(j)} - y^{(j)})x_i^{(j)} ,\ (i=0,1,...n)$

得到一个$N+1$元一次方程组，这个方程组有 $N+1$ 个方程，求解这个方程，就可以得到所有的 $N+1$ 个未知的 $\theta$ 。

5 最小二乘法的矩阵法解法

矩阵法比代数法要简洁，且矩阵运算可以取代循环，所以现在很多书和机器学习库都是用的矩阵法来做最小二乘法。
用上面多元线性回归例子来描述矩阵法解法。
假设函数 $h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n-1}x_{n-1}$ 的矩阵表达方式为：

$h_\mathbf{\theta}(\mathbf{x}) = \mathbf{X\theta}$

其中，假设函数$h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X})$为 $m \times 1$ 的向量，$\mathbf{\theta}$为 $n \times 1$的向量，里面有 $n$个代数法的模型参数。$\mathbf{X}$ 为 $m \times n$ 维的矩阵。$m$代表样本的个数，$n$ 代表样本的特征数。
目标函数定义为

$J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})$

其中 $\mathbf{Y}$ 是样本的输出向量，维度为$m \times 1$。$\frac{1}{2}$ 在这主要是为了求导后系数为$1$，方便计算。
根据最小二乘法的原理，要对这个目标函数对$\mathbf{\theta}$向量求导取$0$。结果如下式：

$\frac{\partial}{\partial\mathbf\theta}J(\mathbf\theta) = \mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) = 0$

这里面用到了矩阵求导链式法则，和两个个矩阵求导的公式。
公式1：$\frac{\partial}{\partial\mathbf{x}}(\mathbf{x^Tx}) =2\mathbf{x}\;\;x为向量$
公式2：$\nabla_Xf(AX+B) = A^T\nabla_Yf,\;\; Y=AX+B,\;\;f(Y)为标量$
对上述求导等式整理后可得：

$\mathbf{X^{T}X\theta} = \mathbf{X^{T}Y}$

两边同时左乘$(\mathbf{X^{T}X})^{-1}$可得：

$\mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y}$

这样求出了$\theta$向量表达式的公式，免去了代数法一个个去求导的麻烦。只要给出数据，就可以用$\mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y}$算出$\theta$。

6 最小二乘法的局限性和适用场景

从上面可以看出，最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降似乎方便很多。

最小二乘法的局限性：
首先，最小二乘法需要计算 $\mathbf{X^{T}X}$ 的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。让$\mathbf{X^{T}X}$的行列式不为$0$，然后继续使用最小二乘法。
第二，当样本特征 $n$ 非常的大的时候，计算$\mathbf{X^{T}X}$的逆矩阵是一个非常耗时的工作（$nxn$的矩阵求逆），甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。
第三，如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。
第四，当样本量 $m$ 很少，小于特征数 $n$ 的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量 $m$ 等于特征数 $n$ 的时候，用方程组求解就可以了。当$m$ 大于 $n$ 时，拟合方程是超定的，也就是常用与最小二乘法的场景了。

1. 最小二乘法（least sqaure method）

2. 最小二乘法小结

3.如何理解最小二乘法？

因上求缘，果上努力~~~~ 作者：图神经网络，转载请注明原文链接： https://www.cnblogs.com/BlairGrowing/p/14847772.html