# 斐波那契数列：后一个数等于前两个数之和
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1. 如何编写递归
1.1 递归的条件
究竟什么样的问题可以用递归来解决呢？只要同时满足以下三个条件，就可以用递归来解决：
一个问题的解可以分解为几个子问题的解，这些分解后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样。
何为子问题？子问题就是数据规模更小的问题。在斐波那契数列中，就是求出前两个数之和。
根据分解后的子问题，写出递归公式。
在斐波那契数列中，就是 f(n) = f(n -1) + f(n -2)。
存在递归终止条件。
把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。在斐波那契数列中，存在多个终止条件，也就是 f(1) = 1 和 f(2) = 1，这就是递归的终止条件。
1.2 如何编写递归代码
写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。
public int fibonacci(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
2. 总结
2.1 注意事项
（1）警惕堆栈溢出
编写递归代码时，如果递归层次太深，会出现堆栈溢出。而堆栈溢出会造成系统性崩溃，后果会非常严重。
为什么递归代码容易造成堆栈溢出呢？函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。
我们又该如何预防堆栈溢出呢？我们可以通过限制递归调用的最大深度来解决堆栈溢出问题。但这种做法并不能完全解决问题，因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事先无法计算。如果实时计算，代码过于复杂，就会影响代码的可读性。
如果限制深度比较小，可以限制递归深度。比如 10、50，就可以用这种方法，否则这种方法并不是很实用。
如果限制深度比较大，就只能自己模拟一个栈，用非递归代码实现
（2）警惕重复计算
如上的斐波那契数列，计算 f(5) 时需要计算 f(4) 和 f(3)，计算 f(4) 又要计算 f(4) 和 f(2)，这样会造成大量的重复计算，效率非常低。我们可以将中间计算结果缓存起来，这样可以避免大量重复计算。
// 递归，动态规划。将计算的中间结果缓存起来。
public int fibonacci(int n) {
return fibonacci(n, new HashMap<>());
private int fibonacci(int n, Map<Integer, Integer> resolved) {
if (resolved.containsKey(n)) {
return resolved.get(n);
int value;
if (n == 1 || n == 2) {
value = 1;
} else {
value = fibonacci(n - 1, resolved) + fibonacci(n - 2, resolved);
resolved.put(n, value);
return value;
（3）警惕死循环
如果递归的数据出现 A-B-C-D-A，则会让递归陷入死循环中。
2.2 非递归改写
递归有利有弊，利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁；而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。所以，在开发过程中，我们要根据实际情况来选择是否需要用递归的方式来实现。
public int fibonacci(int n) {
int num1 = 1;
int num2 = 1;
if (n == 1 || n == 2) return 1;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = num1;
num1 = num2;
num2 = tmp + num2;
return num2;
那是不是所有的递归代码都可以改为这种迭代循环的非递归写法呢？
笼统地讲，是的。因为递归本身就是借助栈来实现的，只不过我们使用的栈是系统或者虚拟机本身提供的，我们没有感知罢了。如果我们自己在内存堆上实现栈，手动模拟入栈、出栈过程，这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。但是这种思路实际上是将递归改为了 ”手动“ 递归，本质并没有变，而且也并没有解决前面讲到的某些问题，徒增了实现的复杂度。
2.3 递归调试
我们平时调试代码喜欢使用 IDE 的单步跟踪功能，像规模比较大、递归层次很深的递归代码，几乎无法使用这种调试方式。对于递归代码，你有什么好的调试方法呢？
打印日志发现，递归值。
结合条件断点进行调试。
调试递归就像写递归一样，不要被每一步的细节所困，重点在于确认递推关系与结束条件是否正确，用条件断点着重调试最初两步与最终两步即可。
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《如何将递归调用转化为非递归代码》：https://mp.weixin.qq.com/s/Ki3WN2AJ5HhxxmaQ0lVh3Q
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