实例：Tikhonov 正则化模型用于图片去噪

对于真实图片 和带噪声的图片 （其中 是高斯白噪声）。 Tikhonov 正则化模型为：

其中 , 分别表示 在水平和竖直方向上的向前差分， 为正则化系数。 上述优化问题的目标函数中，第二项要求恢复的 有较好的光滑性，以达到去噪的目的。 注意到上述目标函数是可微的，我们利用结合BB步长和非精确搜索的 的梯度下降对其进行求解。

目录

图片和参数准备

设定随机种子。

clear;
seed = 97006855;
ss = RandStream('mt19937ar','Seed',seed);
RandStream.setGlobalStream(ss);

载入未加噪的原图作为参考，记录为 u0 。

u = load ('tower.mat');
u = u.B1;
u = double(u);
[m,n] = size(u);
u0 = u;

生成加噪的图片，噪声 的每个元素服从独立的高斯分布 ，并对每个像素进行归一化处理（将像素值转化到[0,1]区间内）。注意到 MATLAB 的 imshow 函数（当第二个参数设定为空矩阵时），能够自动将矩阵中最小的元素对应到黑色，将最大的元素对应为白色。

u = u + 20*randn(m,n);
maxu = max(u(:)); minu = min(u(:));
u = (u - minu)/(maxu - minu);

参数设定，以一个结构体提供各参数，分别表示 ，梯度和函数值的停机标准，输出的详细程度，和最大迭代次数。

opts = struct();
opts.xtol = 1e-8;
opts.gtol = 1e-6;
opts.ftol = 1e-16;
opts.record  = 0;
opts.maxit = 200;

求解正则化优化问题

分别取正则化系数为 和 ，利用带BB 步长的梯度下降求解对应的优化问题，见<fminGBB.html 带BB步长线搜索的梯度法> 。

lambda = 0.5;
fun = @(x) TV(x,u,lambda);
[x1,~,out1] = fminGBB(u,fun,opts);
lambda = 2;
fun = @(x) TV(x,u,lambda);
[x2,~,out2] = fminGBB(u,fun,opts);

结果可视化，将不同正则化系数的去噪结果以图片形式展示。

subplot(2,2,1);
imshow(u0,[]);
title('原图')
subplot(2,2,2);
imshow(u,[]);
title('高斯噪声')
subplot(2,2,3);
imshow(x1,[]);
title('\lambda = 0.5')
subplot(2,2,4);
imshow(x2,[]);
title('\lambda = 2')
print(gcf,'-depsc','tv.eps')

Tikhonov 正则化模型的目标函数值和梯度计算

该无约束优化问题的目标函数为：

function [f,g] = TV(x,y,lambda)

分别表示带噪声图片和正则化参数， f ， g 表示在 x 点处的目标函数值和梯度。

第一项 用于控制去噪后的图片 和带噪声的图片 之间的距离。

f = .5*norm(x - y, 'fro')^2;

计算两个方向上的离散差分， , 。

[m,n] = size(y);
dx = zeros(m,n); dy = zeros(m,n); d2x = zeros(m,n);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        ip1 = min(i+1,m); jp1 = min(j+1,n);
        im1 = max(i-1,1); jm1 = max(j-1,1);
        dx(i,j) = x(ip1,j) - x(i,j);
        dy(i,j) = x(i,jp1) - x(i,j);

离散的拉普拉斯算子 d2x : 。

        d2x(i,j) = x(ip1,j) + x(im1,j) + x(i,jp1) + x(i,jm1) - 4*x(i,j);