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模型论
After math is aftermath.
查了一些资料，可以看到这就是Hamel在提出这个基的原意，甚至于 MathWorld 直接说Hamel basis就是 [公式] 作为 [公式] 上线性空间时的基。而 这里 说存在一些ZF的模型使Hamel basis不存在。至于显示表达，我认为这是一个代数数论问题，因为 [公式] 与 [公式] 就是代数数论的研究领域。而即使是研究 [公式] 的结构，也已经是一个非常困难的问…
简单说一下Ehud Hrushovski（下简称Udi）最近的一部分工作。Udi早期成名作是解决了代数几何上对character p上的Mordell–Lang conjecture，以及对stability theory的贡献。最近十年左右，Udi的相当大的一部分工作是关于approximate groups的。 先大致介绍一下什么是approximate group。假设 [公式] 是某个群 [公式] 的对称子集，所谓对称，即 [公式] ，且如果 [公式] 那么 [公式] 。我们知道，如果 [公式] ，那么 [公式] 肯定是一个群。我们…
Retrospective 53 minutes
这个结果可以用两个众所周知的序数上界放在一起直接拿到，当然，这两个结果的证明都很长，很复杂（ 对于任意 [公式] ， [公式] 可以证明 [公式] （可以在几乎所有证明论教材中找到）证明 [公式] 的一致性只需要 [公式] （ [公式] 个 [公式] ）这么多的归纳法（往往是 [公式] 的一致性证明的副产品） [公式] 不能证明自己的一致性（不完备性…
更新: 更简单的反例: 考虑 [公式] . 那么M不存在良基的初等子模型. 因为如果N是M的良基初等子模型, 那么N的Mostowski collapse会同时认为 [公式] 和 [公式] 反例: 假设存在传递模型 [公式] , 那么 [公式] . 而由于 [公式] , 所以对于某个 [公式] 而言 [公式] . 也就是说存在 [公式] 满足 [公式] . 取最小满足条件的 [公式] . 这样一个 [公式] 不能有nontri…
心灵鸡汤好难喝。
Ordinal TM （拥有 [公式] 长度的 tapes 以及计算时间的 TM）的存在性表明了 [公式] 的存在性。试证：假设 [公式] 根据 Jensen’s covering lemma 那么每一个 [公式] 的成员在 [公式] 内拥有相同的 cardinality。那么 Ordinal TM 的相关编码都位于 [公式] 内。作为 Ordinal TM 运行时相应的输出也在 [公式] 内。-- 另外把拥有 [公式] 长度的 tapes 以及计算时间替代…
以下内容纯属虚构：假设真的有人学会了，请务必去拯救世界： 您可以 try to 构造一组 base 然后生成一个 lambda space 在其中创建一个数学系统，之后在这个系统中 well define 地球上已有的结构来检验其中的矛盾，或者利用这个系统拓展地球上的科学！ 地球上有很多计算机，但是急需一些能把电能有效地转化成数学结构的魔法（逃
比希望更炽热，比绝望更深邃，比诅咒更不详
真的是……我现在看到你谈论什么“真正的xxxxx”“现实中的xxxxx”我就头皮发麻，能不能不要搞一些数学哲学上面的主观判断，跨模型讨论一大堆似是而非的东西，多搞一些能够原始递归编码成自然数的真命题行不行…… 你说的这个“现实中唯一”“现实中可判定”的自然数是什么东西?Persburger算术? “现实中证明无矛盾”又是什么证明语义?里面有什么推理规则? 说到底，ZFC内有非标自然数和“现实”中的自然数一定是标准的[1]又有啥…