我们使用短除法将十进制转换成二进制。
“
数制
”只是一套
符号系统
来表示指称“量”的多少。我们用“1”这个符号来表示一个这一“量”的概念。自然界的“量”是无穷的，我们不可能为每一个“量”都造一个符号，这样的系统没人记得住。所以必须用有限的符号按一定的规律进行
排列组合
来表示这无限的“量”。符号是有限的，这些符号按照某种规则进行排列组合的个数是无限的。十进制是10个符号的排列组合，二进制是2个符号的排列组合。
在进行进制转换时有一
基本原则
：转换后表达的“量”的多少不能发生改变。二进制中的111个
苹果
和十进制中的7个苹果是一样多的。
十进制中的数位排列是这样的…… 万 千 百 十 个 十分 百分 千分……
R进制中的数位排列是这样的……R^4 R^3R^2 R^1 R^0 R^-1 R^-2 R^-3……
可以看出相邻的数位间相差进制的一次方。
进制这事儿，说到底就是
位值原理
，即：同一个数字，放在不同的数位上，代表不同大小的“量”。例如：十进制中，百位上的1表示100，十位上的1表示10。
任何进制中，每个数都可以按
位权
展开成各个数位上的数字乘以对应数位的位权，再相加的形式，如：
十进制的123=1×100+2×10+3×1
十进制的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1
问：为啥相应的数位是1000、100、10、1？为啥不是4、3、2、1？
答：十进制，满十进一，再满十再进一，因此要想进到第三位，得有10×10；第4位得有10×10×10
这样我们就知道了：
对10进制，从低位到高位，依次要乘以10^0，10^1,10^2,10^3……，也就是1、10、100、1000
对2进制，从低位到高位，依次要乘以2^0，2^1,2^2,2^3……，也就是1、2、4、8、……
下面我们开始转换进制（以十进制换成二进制为例）：
原来十进制咱们的数位叫 千位、百位、十位……
现在二进制数位变成了八位、四位、二位……
模仿上面十进制按位权展开的方式，把
二进制数
1011按权展开： 1011=1×2^3+0×2^
2+1
×2^1+1×2^0=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11
接下来我们进行十进制往二进制的转换：
比较小的数，直接通过拆分就可以转换回去
比如13，我们把数位摆好八位、四位、二位，不能写十六了，因为一旦“十六”那个数位上的符号是“1”，那就表示有1个16，即便后面数位上的符号全部是“0”，把这个二进制数按权位展开后，在按照十进制的运算规律计算，得到的数也大于13了。那最多就只能包含“八”这个数位。 13-8=5，5当中有4，5-4=1
好啦，我们知道13=1*
8+1
*4+0*2+1*1 把“1”、“1”、“0”“1”这几个符号放到数位上去：
八位、四位、二位、一位
1 1 0 1
于是十进制数13=二进制数1101
现在你按照书上说的短除法来试试，会发现它和你凑数得到的结果刚好是一样的，为什么短除法可以实现进制的转换呢？为什么每次要除以进制呢？为什么要把余数倒着排列呢？
想要知道其中的道理的话，请仔细品味以下的
递归
原理（不知道递归没关系）：
（1）一个十进制数321的末尾是1，意味着一定是……+1，省略号部分一定是10的倍数，所以一个十进制数末尾是1意味着十进制数除以进制10一定余1。所以第一次除以10之后的余数，应该放在十进制的最后一个数位“
个位
”，也就是说个位上的符号是1。
类比，一个二进制数111（注意，数值不等于上面十进制的111）末尾是1，意味着一定是……+1，前面的省略号部分都是2的倍数。所以一个二进制数末尾是1，意味着它对应的十进制数除以进制2一定余1。所以第一次除以2之后的余数，应该放在二进制的最后一个数位“一位”，也就是说一位上的符号是1。
（2）如果一个十进制数321“十位”是2，我们希望把它转换为（1）的情况。那么我们把这个十进制数的末尾抹掉，也就是减去“个位”上的1，再除以进制10，得到32。这样原来“十位”上的“2”就掉到了“个位”上。再把32做（1）的处理。
类比，如果一个二进制数111“二位”是1，我们希望把它转换为（1）的情况，那么我们把这个二进制数的末尾抹掉，也就是减去“一位”上的1，再除以进制2，得到11。这样原来“二位”上的“1”就掉到了“一位”上。再把11做（1）的处理。
总结：其实这个过程就是把各个数位上的符号求出来的过程。
现在你应该可以回答以下问题了：为什么短除法可以实现进制的转换呢？为什么每次要除以进制呢？为什么要把余数倒着排列呢？
R进制转换成十进制就是按权位展开，把
展开式
放到十进制下，再按照“十进制”的运算规律计算。因为是十进制，所以就允许使用2、3、4、5、6、7、8、9了。所以2的n次方就不用写成指数，而可以用另外的八个符号来表示了。
十进制--->二进制
对于整数部分，用
被除数
反复除以2，除第一次外，每次除以2均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数。另外，所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位。
对于小数部分，采用连续乘以基数2，并依次取出的整数部分，直至结果的小数部分为0为止。故该法称“乘基取整法”。
给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成
二进制
数呢？
10进制数转换成二进制数，这是一个连续除以2的过程：
把要转换的数，除以2，得到商和余数，
将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。
听起来有些糊涂？结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。
“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。
十转二示意图
那么：要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。
“将商继续除以2,直到商为0……”
现在商是3，还不是0，所以继续除以2。
那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。
“将商继续除以2，直到商为0……”
现在商是1，还不是0，所以继续除以2。
那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1
“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”
好极！现在商已经是0。
我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！
把上面的一段改成用表格来表示，则为：
|
被除数
|
计算过程
|
商
|
余数
|
|
6
|
6/2
|
3
|
0
|
|
3
|
3/2
|
1
|
1
|
|
1
|
1/2
|
0
|
1
|
（在计算机中，÷用 / 来表示）
二进制--->十进制
二进制数转换为十进制数
二进制数第0位的
权值
是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……
所以，设有一个
二进制
数：0110 0100，转换为10进制为：
从右往左开始换算
第0位 0 * 2
0
= 0
第1位 0 * 2
1
= 0
第2位 1 * 2
2
= 4
第3位 0 * 2
3
= 0
第4位 0 * 2
4
= 0
第5位 1 * 2
5
= 32
第6位 1 * 2
6
= 64
第7位 0 * 2
7
= 0
公式：第N位2
(N)
---------------------------
100
用横式计算为：
0 * 2
0
+ 0 * 2
1
+ 1 * 2
2
+ 0 * 2
3
+ 0 * 2
4
+ 1 * 2
5
+ 1* 2
6
+ 0 * 2
7
= 100
除0以外的数字
0次方
都是1，但0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：
1 * 2
2
+ 1 * 2
5
+1*2
6
= 100
十进制--->八进制
10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化：
除数
由2变成8。
来看一个例子，如何将十进制数120转换成
八进制数
。
用表格表示：
|
被除数
|
计算过程
|
商
|
余数
|
|
120
|
120/8
|
15
|
0
|
|
15
|
15/8
|
1
|
7
|
|
1
|
1/8
|
0
|
1
|
120转换为8进制，结果为：170。
八进制--->十进制
八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。
八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……
所以，设有一个八进制数：1507，转换为十进制为：
用竖式表示：
第0位 7 * 8
0
= 7
第1位 0 * 8
1
= 0
第2位 5 * 8
2
= 320
第3位 1 * 8
3
= 512
--------------------------
839
同样，我们也可以用横式直接计算：
7 * 8
0
+ 0 * 8
1
+ 5 * 8
2
+ 1 * 8
3
= 839
结果是，八进制数 1507 转换成十进制数为 839
十进制--->十六进制
10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化：除数由2变成16。
同样是120，转换成16进制则为：
|
被除数
|
计算过程
|
商
|
余数
|
|
120
|
120/16
|
7
|
8
|
|
7
|
7/16
|
0
|
7
|
120转换为16进制，结果为：78。
十六进制--->十进制
16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这六个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。
十六进制
数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……
所以，在第N（N从0开始）位上，如果是是数 X （X
大于等于
0，并且X
小于等于
15，即：F）表示的大小为 X * 16的N次方。
假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢？
2AF5换算成10进制:
第0位： 5 * 16
0
= 5
第1位： F * 16
1
= 240
第2位： A * 16
2
= 2560
第3位： 2 * 16
3
= 8192
-------------------------------------
10997
直接计算就是：
5 * 16
0
+ F * 16
1
+ A * 16
2
+ 2 * 16
3
= 10997
(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15)
现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。
假设有人问你，十进数 1234 为什么是 一千二百三十四？你可以给他这么一个
算式
：
1234 = 1 * 10
3
+ 2 * 10
2
+ 3 * 10
1
+ 4 * 10
0
二进制--->八进制
（11001.101）（二）
整数部分：
从后往前每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有：
001=1
011=3
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：31，那么这个31就是二进制11001的八进制形式
八进制--->二进制
（31.5）（八）
整数部分：从后往前每一位按
十进制
转化方式转化为三位
二进制数
，缺位处用0补充 则有：
1---->1---->001
3---->11
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：11001，那么这个11001就是八进制31的
二进制
形式
二进制--->十六进制
二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++
程序员
都能做到看见
二进制数
，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。
我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。
首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？
你可能还要这样计算：1 * 2
0
+ 1 * 2
1
+ 1 * 2
2
+ 1 * 2
3
= 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。
然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位的
权值
为2
3
= 8，然后依次是 2
2
= 4，2
1
=2， 2
0
= 1。
记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。
下面列出四位
二进制数
xxxx 所有可能的值（中间略过部分）
|
仅四位的二进制数
|
快速计算方法
|
十进制值
|
十六进制值
|
|
1111
|
8+4+2+1
|
15
|
F
|
|
1110
|
8+4+2+0
|
14
|
E
|
|
1101
|
8+4+0+1
|
13
|
D
|
|
1100
|
8+4+0+0
|
12
|
C
|
|
1011
|
8+0+2+1
|
11
|
B
|
|
1010
|
8+0+2+0
|
10
|
A
|
|
1001
|
8+0+0+1
|
9
|
9
|
|
……
|
|
0001
|
0+0+0+1
|
1
|
1
|
|
0000
|
0+0+0+0
|
0
|
0
|
二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。
如：
|
二进制数
|
1111 1101
|
1010 0101
|
1001 1011
|
|
对应的十六进制数
|
FD
|
A5
|
9B
|
十六进制--->二进制
反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？
先转换F：
看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这六个数），然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。
接着转换 D：
看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 4 + 1,即：1101。
所以,FD转换为二进制数，为： 1111 1101
比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数:
|
被除数
|
计算过程
|
商
|
余数
|
|
1234
|
1234/16
|
77
|
2
|
|
77
|
77/16
|
4
|
13(D)
|
|
4
|
4/16
|
0
|
4
|
结果16进制为： 0x4D2
然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式： 0100 1101 0010。
其中对映关系为：
0100 -- 4
1101 -- D
0010 -- 2
同样，如果一个
二进制数
很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。
下面举例一个int类型的二进制数：
01101101 11100101 10101111 00011011
我们按四位一组转换为16进制： 6D E5 AF 1B
再转换为10进制：6*16
7
+D*16
6
+E*16
5
+5*16
4
+A*16
3
+F*16
2
+1*16
1
+B*16
0
=1,843,769,115
十进制--->负进制
下面是将十进制数转换为负R进制的公式：
N=(dmdm-1...d1d0)-R
=dm*
(-R)
m
+dm-1*
(-R)
m
-1+...+d1*
(-R)
1
+d0*(-R)
0
15=1*
(-2)
4
+0*
(-2)
3
+0*
(-2)
2
+1*
(-2)
1
+1*
(-2)
0
=10011
(-2)
负数的进制转换稍微有些不同。
先把负数写为其补码形式（在此不议），然后再根据
二进制转换
其它进制的方法进行。
例：要求把-9转换为八进制形式。则有：
-9的
补码
为1111 1111 1111 0111。从后往前三位一划，不足三位的加0
111---->7
110---->6
111---->7
111---->7
111---->7
001---->1
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：177767，那么177767就是
十进制数
-9的八进制形式。
其实转化成任意进制都是一样的。
初学者最容易犯的错误！！！！！！！
犯错：（-617）D=（-1151）O=（-269）H
原因分析
：如果是
正数
的话，上面的思路是正确的，但是由于正数和负数在
原码
、反码、补码转换上的差别，所以按照正数的求解思路去对负数进行求解是不对的。
正确的方法是：首先将-617用补码表示出来，然后再转换成八进制和
十六进制
（补码）即可。
正确答案：：（-617）D=（176627）O=（fd97）H
负数十进制转换成八进制或十六进制方法
如（-12）10=（ ）8=（ ）16
1000 0000 0000 1100
第二步：补码，取反加一
注意：取反时符号位不变！
1111 1111 1111 0100
第三步：转换成八进制是三位一结合：177764（8）
转换成十六进制是四位一结合：fff4（16）
最近有些朋友提了这样的问题“0.8的十六进制是多少？”
0.8、0.6、0.2... ...一些数字在进制之间的转化过程中确实存在麻烦。
就比如“0.8的十六进制”吧！
无论怎么乘以16，它的
余数
总也乘不尽，总是余0.8
具体方法如下：
0.8*16=12.8
0.8*16=12.8
如果题中要求精确到
小数点
后3位那结果就是0.CCC
如果题中要求精确到小数点后4位那结果就是0.CCCC
现在OK了。
下面简单解释一下原理：
原理其实很简单，跟整数一样，
R进制
的小数位分别为R^-1 R^-2 R^-3……
接着，
短除法
就相当于每次除以R^-1，根据
负指数幂
有关知识，除以R^-1相当于乘R，这就是该方法的原理。
f*=m;
if (a[i]=='A'||a[i]=='B'||a[i]=='C'||a[i]=='D'||a[i]=='E'||a[i]=='F')
f+=(a[i]-'A'+10);
f+=(a[i]-'0');
printf("%d",f);
return 0;
}
注：用C语言的格式化输入输出可以快速转换10
进制
，8进制和
16进制
。例子：10进制转16进制：
#include <cstdio>
int main()
int a;
scanf("%d",&a);
printf("%x",a);
return 0;
public static void main(String[] args) {
int a = 27, b = 9, c = 19; /*定义输入的转换数值*/
System.out.print("十进制数" + a + "=>十六进制输出：");
cha_16(a);
System.out.println(); /*换行*/
System.out.print("十进制数" + b + "=>二进制输出：");
cha_2(b);
System.out.println();
System.out.print("十进制数" + c + "=>八进制输出：");
cha_8(c);
