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1. 概述

我在 《WebGL简易教程(五):图形变换(模型、视图、投影变换)》 这篇博文里详细讲解了OpenGL\WebGL关于绘制场景的图形变换过程,并推导了相应的模型变换矩阵、视图变换矩阵以及投影变换矩阵。这里我就通过three.js这个图形引擎,验证一下其推导是否正确,顺便学习下three.js是如何进行图形变换的。

2. 基本变换

2.1. 矩阵运算

three.js已经提供了向量类和矩阵类,定义并且查看一个4阶矩阵类:

var m = new THREE.Matrix4();
m.set(11, 12, 13, 14,
    21, 22, 23, 24,
    31, 32, 33, 34,
    41, 42, 43, 44);
console.log(m);

输出结果:

说明THREE.Matrix4内部是列主序存储的,而我们理论描述的矩阵都为行主序。

2.2. 模型变换矩阵

在场景中新建一个平面:

// create the ground plane
var planeGeometry = new THREE.PlaneGeometry(60, 20);
var planeMaterial = new THREE.MeshBasicMaterial({
    color: 0xAAAAAA
var plane = new THREE.Mesh(planeGeometry, planeMaterial);
// add the plane to the scene
scene.add(plane);

three.js中场景节点的基类都是Object3D,Object3D包含了3种矩阵对象:

  • Object3D.matrix: 相对于其父对象的局部模型变换矩阵。
  • Object3D.matrixWorld: 对象的全局模型变换矩阵。如果对象没有父对象,则与Object3D.matrix相同。
  • Object3D.modelViewMatrix: 表示对象相对于相机坐标系的变换。也就是matrixWorld左乘相机的matrixWorldInverse。
  • 2.2.1. 平移矩阵

    平移这个mesh:

    plane.position.set(15, 8, -10);
    

    根据推导得到平移矩阵为:

    \[\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & Tx\\ 0 & 1 & 0 & Ty\\ 0 & 0 & 1 & Tz\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

    输出这个Mesh:

    2.2.2. 旋转矩阵

    2.2.2.1. 绕X轴旋转矩阵

    绕X轴旋转:

    plane.rotation.x = THREE.Math.degToRad(30);
    

    对应的旋转矩阵:

    \[\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cosβ & -sinβ & 0\\ 0 & sinβ & cosβ & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

    输出信息:

    2.2.2.2. 绕Y轴旋转矩阵

    绕Y轴旋转:

    plane.rotation.y = THREE.Math.degToRad(30);
    

    对应的旋转矩阵:

    \[\left[ \begin{matrix} cosβ & 0 & sinβ & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sinβ & 0 & cosβ & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

    输出信息:

    2.2.2.3. 绕Z轴旋转矩阵

    绕Z轴旋转:

    plane.rotation.z = THREE.Math.degToRad(30);
    

    对应的旋转矩阵:

    \[\left[ \begin{matrix} cosβ & -sinβ & 0 & 0\\ sinβ & cosβ & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

    输出信息:

    2.3. 投影变换矩阵

    在场景中新建一个Camera:

    var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth / window.innerHeight, 0.1, 1000);
    

    这里创建了一个透视投影的相机,一般建立的都是对称的透视投影,推导的透视投影矩阵为:

    \left[ \begin{matrix} \frac{1}{aspect*tan⁡(\frac{fovy}{2})} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{tan⁡(\frac{fovy}{2})} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{f+n}{n-f} & \frac{2fn}{n-f} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{matrix} \right] \]

    为了验证其推导是否正确,输出这个camera,查看projectionMatrix,也就是透视投影矩阵:

    2.4. 视图变换矩阵

    通过Camera可以设置视图矩阵:

    camera.position.set(0, 0, 100);   //相机的位置
    camera.up.set(0, 1, 0);         //相机以哪个方向为上方
    camera.lookAt(new THREE.Vector3(1, 2, 3));          //相机看向哪个坐标
    

    根据《WebGL简易教程(五):图形变换(模型、视图、投影变换)》中的描述,可以通过three.js的矩阵运算来推导其视图矩阵:

    var eye = new THREE.Vector3(0, 0, 100);
    var up = new THREE.Vector3(0, 1, 0);
    var at = new THREE.Vector3(1, 2, 3);
    var N = new THREE.Vector3();
    N.subVectors(eye, at); 
    N.normalize();
    var U = new THREE.Vector3();
    U.crossVectors(up, N);
    U.normalize();
    var V = new THREE.Vector3();
    V.crossVectors(N, U);
    V.normalize();
    var R = new THREE.Matrix4();
    R.set(U.x, U.y, U.z, 0,
        V.x, V.y, V.z, 0,
        N.x, N.y, N.z, 0,
        0, 0, 0, 1);  
    var T = new THREE.Matrix4(); 
    T.set(1, 0, 0, -eye.x,
        0, 1, 0, -eye.y,
        0, 0, 1, -eye.z,
        0, 0, 0, 1);  
    var V = new THREE.Matrix4();
    V.multiplyMatrices(R, T);   
    console.log(V); 
    

    其推导公式如下:

    \[V=R^{-1} T^{-1}= \left[ \begin{matrix} Ux & Uy & Uz & 0 \\ Vx & Vy & Vz & 0 \\ Nx & Ny & Nz & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -Tx \\ 0 & 1 & 0 & -Ty\\ 0 & 0 & 1 & -Tz\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} Ux & Uy & Uz & -U·T \\ Vx & Vy & Vz & -V·T \\ Nx & Ny & Nz & -N·T \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \]

    最后输出它们的矩阵值:

    两者的计算结果基本时一致的。需要注意的是Camera中表达视图矩阵的成员变量是Camera.matrixWorldInverse。它的逻辑应该是视图矩阵与模型矩阵互为逆矩阵,模型矩阵也可以称为世界矩阵,那么世界矩阵的逆矩阵就是视图矩阵了。

    3. 着色器变换

    可以通过给着色器传值来验证计算的模型视图投影矩阵(以下称MVP矩阵)是否正确。对于一个任何事情都不做的着色器来说:

    vertexShader: ` 
        void main() { 
            gl_Position = projectionMatrix * modelViewMatrix * vec4( position, 1.0 );      
    fragmentShader: `       
        void main() {    
            gl_FragColor = vec4(0.556, 0.0, 0.0, 1.0)                   
    

    projectionMatrix和modelViewMatrix分别是three.js中内置的投影矩阵和模型视图矩阵。那么可以做一个简单的验证工作,将计算得到的MVP矩阵传入到着色器中,代替这两个矩阵,如果最终得到的值是正确的,那么就说明计算的MVP矩阵是正确的。

    3.1. 代码

    实例代码如下:

    <!DOCTYPE html>
        <title>Example 01.01 - Basic skeleton</title>
        <meta charset="UTF-8" />
        <script type="text/javascript" charset="UTF-8" src="../three/three.js"></script>
        <script type="text/javascript" charset="UTF-8" src="../three/controls/TrackballControls.js"></script>
        <script type="text/javascript" charset="UTF-8" src="../three/libs/stats.min.js"></script>
        <script type="text/javascript" charset="UTF-8" src="../three/libs/util.js"></script>
        <script type="text/javascript" src="MatrixDemo.js"></script>
        <link rel="stylesheet" href="../css/default.css">
    </head>
        <!-- Div which will hold the Output -->
        <div id="webgl-output"></div>
        <!-- Javascript code that runs our Three.js examples -->
        <script type="text/javascript">
            (function () {
                // contains the code for the example
                init();
            })();
        </script>
    </body>
    </html>
    
    'use strict';
    THREE.StretchShader = {
        uniforms: {   
            "sw" : {type:'b', value : false},
            "mvpMatrix" : {type:'m4',value:new THREE.Matrix4()}    
        vertexShader: `    
            uniform mat4 mvpMatrix;
            uniform bool sw;
            void main() { 
                if(sw) {
                    gl_Position = mvpMatrix * vec4( position, 1.0 );  
                }else{
                    gl_Position = projectionMatrix * modelViewMatrix * vec4( position, 1.0 ); 
        fragmentShader: `   
            uniform bool sw; 
            void main() {    
                if(sw) {
                    gl_FragColor = vec4(0.556, 0.0, 0.0, 1.0); 
                }else {
                    gl_FragColor = vec4(0.556, 0.8945, 0.9296, 1.0); 
    function init() {
        //console.log("Using Three.js version: " + THREE.REVISION);   
        // create a scene, that will hold all our elements such as objects, cameras and lights.
        var scene = new THREE.Scene();
        // create a camera, which defines where we're looking at.
        var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth / window.innerHeight, 0.1, 1000);
        // position and point the camera to the center of the scene
        camera.position.set(0, 0, 100);   //相机的位置
        camera.up.set(0, 1, 0);         //相机以哪个方向为上方
        camera.lookAt(new THREE.Vector3(1, 2, 3));          //相机看向哪个坐标
        // create a render and set the size
        var renderer = new THREE.WebGLRenderer();
        renderer.setClearColor(new THREE.Color(0x000000));
        renderer.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
        // add the output of the renderer to the html element
        document.getElementById("webgl-output").appendChild(renderer.domElement);
        // create the ground plane
        var planeGeometry = new THREE.PlaneGeometry(60, 20);
        // var planeMaterial = new THREE.MeshBasicMaterial({
        //     color: 0xAAAAAA
        // });
        var planeMaterial = new THREE.ShaderMaterial({
            uniforms: THREE.StretchShader.uniforms,
            vertexShader: THREE.StretchShader.vertexShader,
            fragmentShader: THREE.StretchShader.fragmentShader
        var plane = new THREE.Mesh(planeGeometry, planeMaterial);
        // add the plane to the scene
        scene.add(plane);
        // rotate and position the plane    
        plane.position.set(15, 8, -10);
        plane.rotation.x = THREE.Math.degToRad(30);
        plane.rotation.y = THREE.Math.degToRad(45);
        plane.rotation.z = THREE.Math.degToRad(60);
        render();
        var farmeCount = 0;
        function render() {    
            var mvpMatrix = new THREE.Matrix4(); 
            mvpMatrix.multiplyMatrices(camera.projectionMatrix, camera.matrixWorldInverse);    
            mvpMatrix.multiplyMatrices(mvpMatrix, plane.matrixWorld);   
            THREE.StretchShader.uniforms.mvpMatrix.value = mvpMatrix; 
            if(farmeCount % 60 === 0){
                THREE.StretchShader.uniforms.sw.value = !THREE.StretchShader.uniforms.sw.value;
            farmeCount = requestAnimationFrame(render);
            renderer.render(scene, camera);
    

    3.2. 解析

    这段代码的意思是,给着色器传入了计算好的MVP矩阵变量mvpMatrix,以及一个开关变量sw。开关变量会每60帧变一次,如果为假,会使用内置的projectionMatrix和modelViewMatrix来计算顶点值,此时场景中的物体颜色会显示为蓝色;如果开关变量为真,则会使用传入的计算好的mvpMatrix计算顶点值,此时场景中的物体颜色会显示为红色。运行截图如下:

    可以看到场景中的物体的颜色在红色与蓝色之间来回切换,且物体位置没有任何变化,说明我们计算的MVP矩阵是正确的。

    4. 其他

    在使用JS的console.log()进行打印camera对象的时候,会发现如果不调用render()的话(或者单步调式),其内部的matrix相关的成员变量仍然是初始化的值,得不到想要的结果。而console.log()可以认为是异步的,调用render()之后,就可以得到正确的camera对象了。