勒让德多项式的性质
1.勒让德方程与勒让德多项式的关系
从勒让德（Legendre）方程 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d} y(x)}{\mathrm{d} x}\right]+l(l+1) y(x)=0 的级数解中截断（否则在两端处不收敛）我们可以得到勒让德多项式：
\mathrm{P}_{l}(x)=\sum_{k=0}^{[l / 2]}(-1)^{k} \frac{(2 l-2 k) !}{2^{l} k !(l-k) !(l-2 k) !} x^{l-2 k},-1 \leq x \leq 1\\
上式的[]表高斯取整函数。
2.勒让德多项式的性质
①奇偶性
\begin{aligned} \mathrm{P}_{l}(-x) &=\sum_{k=0}^{[l / 2]}(-1)^{k} \frac{(2 l-2 k) !}{2^{l} k !(l-k) !(l-2 k) !}(-x)^{l-2 k} \\ &=(-1)^{l} \sum_{k=0}^{[l / 2]}(-1)^{k} \frac{(2 l-2 k) !}{2^{l} k !(l-k) !(l-2 k) !}(x)^{l-2 k} \\ &=(-1)^{l} \mathrm{P}_{l}(x) \end{aligned}\\
即l=奇数时,勒让德多项式为奇函数；l=偶数时，勒让德多项式为偶函数。
因而l=奇数时必然有 P_l(0)=0
而对l=偶数的情况，根据级数形式，仅有零次幂项不为0，此时 l=2k
亦即 \mathrm{P}_{2 n}(0)=(-1)^{n} \frac{(2 n) !}{2^{2 n}(n !)^{2}}
②微分公式\罗德里格斯(Rodriguez)公式
\mathrm{P}_{l}(x)=\frac{1}{2^{l} l !} \frac{\mathrm{d}^{l}}{\mathrm{~d} x^{l}}\left(x^{2}-1\right)^{l}\\
证明：利用二项式定理展开右侧可整理为勒让德多项式的形式。
通过记住该式我们可以得到勒让德多项式任意一项的表达式。
③积分公式
利用柯西积分公式可将微分公式（高阶导数）处理为环路积分：
可以整理为： \mathrm{P}_{l}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}\left[\mathrm{i} \sqrt{1-x^{2}} \cos \varphi+x\right]^{l} \mathrm{~d} \varphi
通过该式我们可以看出 P_l(1)=1,P_l(-1)=(-1)^l
④正交性与模
\int_{-1}^{1} \mathrm{P}_{l}(x) \mathrm{P}_{k}(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{2 l+1} \delta_{l k}
即 P_l(x) 的模等于 \sqrt{\frac{2}{2l+1}}
⑤按勒让德多项式为基底展开
[-1,1]内任意一个分段光滑的有界函数 f(x) 可在区间内按勒让德多项式为基底展开
f(x)=\sum_{l=0}^\infty C_lP_l(x) ,其中 C_{l}=\frac{2 l+1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{P}_{l}(x) \mathrm{d} x
此外在求解具体函数的展开时，除去这种通用的方法，亦可使用待定常数法。
其依据为：若能知道待展开函数的阶数，比如幂函数 x^2 那么只需考虑 P_0,P_1,P_2 三者的线性组合。虽然更高阶的勒让德多项式中也可能含有 x^2 项，但其必然含有的高阶x幂无法消除，因而系数只能取0，故幂函数 x^n 只需考虑 P_l(x),l\leq n 的线性组合。
⑥生成函数
\frac{1}{\sqrt{1-2 r x+r^{2}}}=\sum_{l=0}^{\infty} r^{l} \mathrm{P}_{l}(x)\\
⑦相邻项的递推公式
\begin{aligned} &(l+1) \mathrm{P}_{l+1}(x)-(2 l+1) x \mathrm{P}_{l}(x)+l \mathrm{P}_{l-1}(x)=0 \\ &\mathrm{P}_{l}(x)=\mathrm{P}_{l+1}^{\prime}(x)-2 x \mathrm{P}_{l}^{\prime}(x)+\mathrm{P}_{l-1}^{\prime}(x) \\ &(2 l+1) \mathrm{P}_{l}(x)=\mathrm{P}_{l+1}^{\prime}(x)-\mathrm{P}_{l-1}^{\prime}(x) \end{aligned}\\
其中适用的情景分别为
第一式： xP_l(x) 与两边勒让德多项式的相互转化
第二式： P_l(x) 转化为x乘其本身的导数与两侧勒让德多项式的导数的组合
第三式： P_l(x) 转化为两侧勒让德多项式的导数
