Abel群结构定理

1.Abel群

令 G 是一个非空集合,我们可以在其上定义一种运算(例如加法,乘法),它将其中的两个元素结合成为另一个元素,我们称之为 合成法则 .合成法则是一个映射: G\times G\to G .(注意:一个集合上有某个合成法则蕴含了这个集合满足对这个合成法则的封闭性).由于我们需要讨论Abel群的结构,使用加法会使记号更加方便,因此本文选取加法为合成法则.若如此做,合成法则的加法 结合律 指: (a+b)+c=a+(b+c) , 交换律 指: a+b=b+a .有了合成法则,我们便可以定义 群 的概念.

我们称带有合成法则的集合 G 为一个 群 ,如果它满足:

• 合成法则满足结合律.
• \exists 0\in G, 使得对 \forall g\in G ,均有 0+g=g+0=g .
• 对 \forall g\in G ,均 \exists h\in G ,使得 h+g=g+h=0 .

我们通常称上述的 0 为 加法幺元 .如果这个合成法则还满足交换律,那么我们就称这个群为 Abel群 .如果集合 G 含有有限个元素,我们便称它为有限群,并定义其中的元素个数为这个群的 阶 .

群 G 的子群 H 是一个对合成法则封闭,含有幺元,且每个元素的逆元都在其中的子集.

需要注意的是,上述的加法仅仅只是作为众多合成法则的一个代表,类似的我们同样可以定义乘法群.

例如,所有的整数构成的集合在通常的加法合成法则下为一个Abel群.所有的正有理数在通常的乘法合成法则下成为一个乘法Abel群.

有一类特殊的群,我们称之为循环群.若群 G 带有加法合成法则,那么群 G 为 循环群 ,如果他满足: \exists g\in G ,使得对 \forall a\in G 均有 a=g+g+\dots+g .(其中包含非负整数次加法).同时,我们称元素 g 为群 G 的生成元,元素 g 生成群 G .

本文要做的就是讲所有的Abel群进行分类,由于群所具有的性质相对较少,仅仅依靠群的公理还无法做到对Abel群进行分类,因此我们需要更多的工具.

2.交换幺环

在这里,我们不给出环的最初定义,而直接给出交换幺环的概念,这对本文来说已经足够使用了.

我们称一个集合 R 为一个 交换幺环 ,如果它满足:

• 在加法的合成法则下, R 为一个Abel群.
• R 中的乘法合成法则是 交换 的和 结合 的,且具有 乘法幺元 1 .
• 分配律:对 \forall a,b,c\in R , a(b+c)=ab+ac .

我们研究的最多的交换幺环的便是整数集合 \mathbb Z 和域 F 上的多项式环 F[x] 了.

在不引起混淆的情况下,我们下面讨论的环都是指的交换幺环.

3.模

模是一个全新的代数结构,为了 便于理解,我们可以将它看做为环上的向量空间.

令 R 是一个环, V 是一个加法Abel群,我们称 V 是一个 R\verb|-| 模,如果存在一个映射: R\times V\to V ,且满足:

• 1v=v
• (rs)v=r(sv)
• (r+s)v=rs+sv
• r(v+w)=rv+rw

对任意的 r,s\in R,v,w\in V 均成立.

显然,我们可以将域 P 上的向量空间 V 看做一个 P\verb|-| 模,不同之处仅在于 R 只是一个环而非域(这也使得模的结构比域上向量空间有着复杂得多的结构).

R\verb|-| 模 V 的子模 W 是一个在加法和乘法下封闭的子集.

例如,若 R 是一个环,我们可以将 R 自身看做一个 R\verb|-| 模.(熟悉环的同学也许会发现此时 R 的所有子模恰为 R 的所有理想.)

任意加法Abel群 V (为记号方便,我们选取加法群,事实上这并不是本质的特征)都可以构造成一个 \mathbb Z\verb|-| 模:对 \forall n\in \mathbb Z,v\in V 定义 0v=0 , 1v=v , \dots , nv=(n-1)v+v , \dots , (-n)v 为 nv 在 V 中的逆元.容易验证,它确是一个 \mathbb Z\verb|-| 模.

模同态的定义可以类比线性空间中的线性映射.我们称 \phi:V\to W 是一个 R\verb|-| 模同态,如果: \phi(v+w)=\phi(v)+\phi(w) , \phi(rv)=r\phi(v) 对 v,w\in V,r\in R 均成立.若 \phi 是一个双射,我们则称它是一个模同构.我们称两个 R\verb|-| 模 V,W 是同构的,如果他们之间存在一个模同构.我们可以仿照线性代数中核与像的定义.

3.1.自由模

自由模是一类特殊的模,并且它与我们所熟知的线性代数有着许多联系.

我们可以仿照线性代数来定义生成,生成元,线性相关性和基,此处便不再赘述.需要注意的是,与域上的向量空间不同,并不是每个模都是有基的.而我们称有基的模为自由模.

具体来说, R\verb|-| 模 V 的一组 基 是 V 的一个元素集 (v_1,\dots,v_n) 满足:

• 若 a_1,\dots,a_n\in R 不全为零,则 a_1v_1+\dots+a_nv_n\ne0 .(即 (v_1,\dots,v_n) 线性无关 )
• 对 \forall v\in V , \exists a_1,\dots,a_n\in R ,使得 v=a_1v_1+\dots+a_nv_n .(即 (v_1,\dots,v_n) 生成 V )

显然,这种表示方法是唯一的.我们定义上述的 n 为 R\verb|-| 模 V 的 秩 (由于书边空白太小,我们便不再证明它是良定的了).如果 R\verb|-| 模 V 可以有有限多个元素生成,我们便称它为 有限生成 的.

容易看出: R\verb|-| 模 V 是一个自由模当且仅当存在某个 n 使得 V 和 R^n 同构.(这里的 n 恰为 V 的秩)

例如,若 R 是一个环,我们可以将 R 自身看做一个 R\verb|-| 模.而 R 的乘法幺元便是一组基.令人遗憾的是,并不是所有的模都是自由模,我们来看下面一个例子.

令 V=\mathbb Z/(5) 表示整数模 5 的剩余类,即 \{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4}\} ,他可以看做一个 \mathbb Z \verb|-| 模.而对 V 中的任意元素 \bar{r} ,均有 5\bar{r}=\bar{5r}=\bar{0} ,因此 V 中没有基,因此也不是 \mathbb Z 上的自由模.(有兴趣的同学可以尝试证明 V 是他自身的一个自由模).

我们可以仿照线性空间来定义模的直和.令 W_1,\dots,W_n 为 V 的子模,则可以定义子模的和为 W_1+\dots+W_n=\{v\in V|v=w_1+\dots+w_n,w_i\in W_i\} .若这种表示方法是唯一的,我们称这是一个直和,记作 W_1\oplus\dots\oplus W_n .

3.2.表现矩阵

令 R 是任意一个环.

在前文中我们提到,任意一个自由模都同构于某个 R\verb|-| 模,其中 R 是一个环.现在我们希望能从自由模 R^n 来构造出任意一个一般的有限生成 R\verb|-| 模,我们需要用到同态映射以及所谓的表现矩阵.

用一个 m\times n 的 R\verb|-| 矩阵(即矩阵元均为环 R 的元素)左乘定义一个 R\verb|-| 模同态 R^n\to R^m ,同态的像记作 AR^n 我们称商模 V=R^m/AR^n 由矩阵 A 来 表现 .更一般地,我们称任何一个同构 \sigma:R^m/AR^n\to V 是模 V 的一个 表现 ,且我们称 A 为一个 表现矩阵 .(我们将看到,通过基变换,这样的表现矩阵并不唯一)

由于我们需要研究的是Abel群的分类,一般而言将它看做一个 \mathbb Z\verb|-| 模,因此本文我们只讨论整数矩阵.

令 A:\mathbb Z^n\to\mathbb Z^m 是一个 \mathbb Z\verb|-| 模同态.由于整数集合并不是一个域,我们只能通过部分运算来进行矩阵变换:

• 将一行(列)的整数倍加到另一行(列)上;
• 互换两行(列);
• 用 -1 乘以某行(列)

上述的这些运算都可以通过左乘或右乘一个可逆的 \mathbb Z\verb|-| 矩阵得到(稍加思索可得:一个 \mathbb Z\verb|-| 矩阵可逆当且仅当其行列式为 \pm 1 ).相应的,我们只需要在 \mathbb Z^n 或 \mathbb Z^m 做基变换.

我们有如下定理:若 A 是一个整数矩阵(未必是方阵),则存在大小适当的可逆矩阵 P 和 Q 使得 A'=Q^{-1}AP 是对角矩阵,它有如下形式:

A'=\left[ \begin{matrix} \left[\begin{matrix} d_1& &\\ &\ddots& \\ & & d_k \end{matrix}\right]& \\ & 0 \end{matrix}\right]

其中对角线元素 d_i 为非零整数,且满足一个整除另一个,即 d_1|d_2|\dots|d_k .

需要注意的是,除非 A 是一个方阵,否则对角线不会到右下角.有了这个定理,我们便只需要考虑具有上述形式的矩阵.

3.3.诺特环

一个很重要的问题是,一个有限生成模的子模是不是仍有限生成.一般而言,这个命题是不正确的.而当 R 是所谓的 诺特环 时,上述命题是正确的.在此我们便不加证明.我们需要用到的一个诺特环便是 \mathbb Z .(*由于 \mathbb Z 是主理想整环,它必然是诺特环).

3.4.关系

群的元素的一个集合 S 是 自由的 ,如果其元素除了满足群的公理外不满足任何其他关系.具有自由生成元集合的群称为 自由群 .容易看出,一个元素的集合 S=\{a\} 上的自由群只是一个无限循环群.两个或以上元素的集合上的自由群是相当复杂的.而如果生成的是一个Abel自由群,那么其中的元素就相对简单些.我们考虑加法Abel自由群 G .若它的生成元集合是有限的,不妨设为 \{a_1,\dots,a_m\} ,那么群 G 中的每个元素都可以唯一的表示成 g=n_1a_1\dots+n_ma_m .这个符号的意义可以参考前文中构造Abel群的 \mathbb Z \verb|-| 模结构时的定义.同时,我们称 m 为群 G 的秩.

我们不加证明地给出如下结论:设自由的Able群 G 秩为 m , H 是它的一个子群,则 H 也是自由的,且其秩小于等于 m .

现在再来考虑用矩阵 A 左乘定义的映射 \mathbb Z^n \to \mathbb Z^m .为了记号方便,我们选取 \mathbb Z^n 和 \mathbb Z^m 中的标准基 \{e_1,\dots,e_n\},\{e_1,\dots,e_m\} (其中 e_i 表示其第 i 个分量为 1 ,其余均为 0 ),设 A=(a_{ij})_{m\times n} .如若 \sigma:\mathbb Z^m/A\mathbb Z^n\to V 是一个同构,注意到 A\mathbb Z^n 是由 A 中所有列向量张成的,我们可以将 V 等同于在 R^m 添加了 n 个关系 a_{i1}e_1+\dots+a_{im}e_m=0 后得到的一个模.

如果我们在 \mathbb Z^n 和 \mathbb Z^m 中作适当的基变换,我们便可以使得矩阵具有3.2中的形式,设 \mathbb Z^m 中的新基为 (v_1,\dots,v_m) 这对我们来说是非常有利的,因为这等同于在 R^m 中添加了关系 d_1v_1=\dots=d_kv_k=0 .现在我们可以来简化矩阵 A' :

• 若 A' 的某个列向量为 0 ,这相当于没有添加任何关系,因此我们可以将这行删去而不影响其表现.
• 若某个 d_i=1 ,这相当于添加关系 v_i=0 ,因此我们可以在 \mathbb Z^m 和 A\mathbb Z^n 的生成元中同时去掉 v_i 而不影响其表现.

由于 A\mathbb Z^n 是 \mathbb Z^m 的一个子群,因此我们可以 A\mathbb Z^n 的秩小于等于 m .

注意到这些事实,我们可以进一步简化矩阵 A' 使其具有形式 \left[ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} d_1& &\\ & \ddots & \\ & & d_k \end{matrix} \right]\\ 0 \end{matrix} \right]

4.Abel群的结构

有了以上预备知识,我们终于可以来收获成果了.

定理 有限生成的Abel群 V 是循环子群 C_{d_1},\dots,C_{d_k} 和一个自由Abel群 L 的直和.

V=C_{d_1}\oplus\dots\oplus C_{d_k}\oplus L

其中 d_i 是循环群 C_{d_i} 的阶, d_i>1 且 d_i|d_{i+1} .

证明 我们将 V 看作一个 \mathbb Z\verb|-| 模并选取 V 的生成元集合以及关系的生成元集合,从而确定一个表现矩阵 A .通过适当的基变换,我们可以使得 A 具有如上3.4中的形式.这意味着 V 的生成元集合为 B=(v_1,\dots,v_m) ,并且满足 d_1v_1=\dots=d_kv_k=0 .

对 i=1,\dots,m ,令 G_i 为 v_i 生成的循环群.显然, 1\leq i\leq k 时, G_i 为有限循环群,其余均为无限循环群.我们只要证明 V 为这些群的直和.

由于 (v_1,\dots,v_m) 为 V 的生成元集合,我们有 V=G_1+\dots+G_m .

选取 w_i\in G_i 使得 w_1+\dots+w_m=0 ,由于 v_i 生成 G_i ,故对某个 y_i\in \mathbb Z 有 w_j=y_jv_j ,令 Y=(y_1,\dots,y_m)^t .上述等式可写成 y_1v_1+\dots+y_mv_m=0 ,即 BY=0 它是群 V 中的一个关系,因此对某个 m 维列向量 X ,有 Y=AX .考察矩阵 A 的形式,我们可以得到当 j\leq k 时, y_j 是 d_j 的倍数,又 d_jv_j=0 我们有 w_j=y_jv_j=0 ;当 j>k 时, y_j=0 即 w_j=0 .现在我们改变一下几号,令 C_{d_i}=G_i ( i\leq k ),令 L 为由 (v_{k+1},\dots,v_m) 生成的群便完成了证明.