Fortran笔记#2 数学运算

常量和变量类型

常量

常量是指其值始终不变的一些量。整型、实型、双精度和复型常量是算数型常量，也为常数。

整型 ：默认值为4字节（其它为1，2，8字节，Compaq Visual Fortran允许在Alpha机上使用8字节整数）。4字节32位(bit)中用一位存放数值的符号，其余为数本身(用二进制表示)。第1位为O表示“正”，“1”表示“负”。由于用有限的内存单元存储一个整数，因此整数的范围是有限的：-231—231-1，即-2147483648—2147483647之间，大约为±21亿。

11111111 11111111 11111111 11111111 = -1

11111111 11111111 11111111 11111110 = -2

10000000 00000000 00000000 00000000 = -2147483648

01111111 11111111 11111111 11111111 = 2147483647

例：12345678 -256 (1,000,000 或 125. 是错误的)

1234567890123_8 (8字节整数) (F90)

912345678901_k (k为定义精度的参量) (F90)

实型 ：默认值为4字节（其它为8字节）。实数是有小数点的数，有效位数为7位，其绝对值的范围与计算机系统和精度型（单精度和双精度）有关。实数有两种表示形式：
小数形式：即日常习惯使用的小数形式。
3.141592 -0.125 3.0 -2. 等
3.14159265358979_8 (8字节实数) (F90)
2.7182818_p (p为定义精度的参量) (F90)
指数形式：用指数形式表示的实数由两部分组成，即数字部分和指数部分。
7.8E-12 -0.125E5
0.125D+45(双精度，8字节)

在计算机内存中存储一个实数(不论是用小数形式表示或以指数形式表示)时情况与整数不同。实数在内存中一律以指数形式存放，它由三个部分组成：(1)数符；(2)指数包括符号；(3)数字部分。数字部分最前面有一个隐含的小数点。用4个字节(32bit)来存储时，1位存储数的符号，7位存储指数部分，24位存储数字部分。由于存储指数部分和数字部分的值(bit)长是有限的，因此一个实数的有效数字和数的范围都是有限的。

如果以24位来存储一个数，它最大可以存储十进数为224－l（减1是因为规定小数点后第一个数字不能为零，以便充分利用有限的bit位来存储有效数字），即16777215。也就是说可以存放0—16777215这个范围内的数，超过这个范围的数是不能存储的。可见，只能有7位有效数字(16777215虽然是八位数，但并不是所有8值数都能有效存储)。如果某计算机系统用n个二进位来存储一个实数的数字部分，则该实数的十进制数的有效数字位数大体上略小于n/3。

一个实数的范围也是有限的，这主要是由于存储实数的指数部分的位长是有限的。如果一个数的绝对值超过此范围，就会出现“溢出”，绝对值比上界大的称为“上溢”，系统对此按数据出错处理。比下界小的称为“下溢”， 大多数计算机系统将该数据按零处理 。

复 型 ：默认值为2×4字节（其它为8字节）。实部与虚部用括号围起来表示：(实数，实数)。 逻辑型 ：默认值为4字节（其它为1字节）。其值只能为：.TRUE.（真） 和 .FALSE.（假）。 字符型： 1个字符为1字节（中文系统中为2字节）。用 ' '(F90：" ")围起来的字符串。例："I'm a boy." （長为10字节）I''m a boy.' （長为10字节）

数 组： 这不是一种单独的类型，可把同类型的常量用一维维数括起来表示：(/常量，常量，...，常量/)。 (F90)

b)变量

变量 是指在程序运行期间其值是可以变化的量。系统为程序中的每一个变量开辟一个存储单元，用来存放变量的值。

常量是分为类型的，而变量是用来存放常量的，因此变量也相应地区分为整型变量 INTEGER、实型变量REAL、双精度变量DOUBLE PRECISION、复型变量COMPLEX、逻辑型变量LOGICAL、字符型变量CHARACTER 。在程序中应当 说明 哪些变量是整型变量，哪些变量是实型变量。变量在内存中所占的字节数和数据存储形式与相应类型的常数相同。例如，实型变量一般占4个字节，按指数形式存放。在程序中规定变量的类型可以用以下几种方法。

隐含约定 ：Fortran规定，凡以字母I，J，K，L，M，N六个字母开头的变量名，如无另外说明则为整型变量。以其它字母开头的变量为实型变量。可以将这个隐含约定称为“I—N规则” ，表示用I到N之间的字母开头的变量为整型。例如：I，J，IMAX，NUMBER，LINE，JOB，Kl为整型变量，而A，Bl，COUNT，AMOUNT，TOTAL，BOOK为实型变量。

类型指定 ：如果想改变“I—N规则”对变量类型的约束，可以用类型说明语句专门指定某些变量的类型。Fortran中有六个类型说明语句：
(1) INTEGER语句 (整型说明语句)
(2) REAL 语句(实型说明语句)
(3) DOUBLE PRECISION 语句(双精度说明语句)
(4) COMPLEX 语句(复型说明语句)
(5) LOGICAL 语句(逻辑型说明语句)
(6) CHARACTER 语句(字符型说明语句)

IMPLICIT语句(隐含说明语句)指定：可以用IMPLICIT语句将某一字母开头的全部变量指定为所需的类型，还可以用一个IMPLICIT语句同时指定几种类型。例如：
IMPLICIT INTEGER (A，C，T-V)
IMPLICIT REAL (I，J)
IMPLICIT INTEGER (A，B)，REAL(I,K)，INTEGER (X-Z)

(1) 以上三种方法中，以类型说明语句最优先，IMPLICIT语句次之，“I—N规则”的隐含约定级别最低。如下程序中IMAX变量为整型，而其它以I、J开头的变量为实型：
IMPLICIT REAL(I，J)
INTEGER IMAX
(2) 类型说明语句和IMPLICIT语句是非执行语句。
(3) 类型说明只在本程序单位内有效。
(4) IMPLICIT语句和类型说明语句应该出现在本程序单位中的所有执行语句之前，其中IMPLICIT语句又应在所有的类型说明语句之前。

算数表达式

算术运算符和运算优先级

乘号用“*”表示，不能写成“×”，以免与字母“X”混淆，也不能用“.”代替乘号。除号不能用“÷”号。两个运算符不能紧邻，如A*-B是不合法的，应写成A*(-B)。

不同的运算符按以下优先级次序：加，减 ＜ 乘，除 ＜ 乘方，括号（　）中优先。同一优先级的两个运算，乘方按“先右后左”，其它按“先左后右”原则。

算术表达式的含义和表示方法

所谓表达式是指一个或多个运算的组合。它是由Fortran的运算符和括号将各运算元素(包括常量、变量、函数、数组元素)连结起来的一个有值的式子。Fortran77允许使用四种表达式，即：算术表达式，关系表达式，逻辑表达式，字符表达式。

算术表达式中各运算元素都是算术量，使用的运算符只能是算术运算符，表达式的值也是一个算术量(即数值)。例如，下面就是一个Fortran算术表达式： (A-B)/C**2+SIN(X+Y) 。

Fortran中无大、中、小括号之分，一律用小括号。

表达式运算中的类型

Fortran中的常量和变量是分类型的，允许在不同类型的算术量(包括整型、实型、双精度、复型)之间进行算术运算，但不允许在算术量和非算术量(如逻辑型、字符型)之间进行算术运算。F77作如下规定：

同类型的算术量之间运算的结果仍保持原类型。
特别要注意：两个整数相除的商也是整数。例如，5/2的值是2而不等于2.5，4**(-1)等于0，应写为5**(1./3.)而非5**(1/3)。

如果参加运算的两个算术量为不同类型，则编译系统会自动将它们转换成同一类型后进行运算。 转换的规律是： 将低级类型转换成高级类型。 类型的级别如下： 整型(低)→实型(高) 。类型的转换是从 左向右进行 的，在遇到不同类型的算术量时才进行转换。例如： 1/2*1.0等于0，而1./2*1对于0.5。

运算的误差

整型量的运算是准确的，没有任何误差(只要在整数范围内)。而实型量的运算会出现一些误差。例如：11111.1×1111.11本应得12345654.321，但由于受实数有效位数的限制，只能得到12345654.0。又如：0.001+1246825.0-1246820.0本应得5.001。但由于有效位数的限制，也将产生误差。

为减小误差，在写表达式时应尽量使每一次运算结果都在有效位数范围之内，尽量不要使两个相差很大的数值直接相加或相减。在判断两个实数是否相等时，要特别慎重，最好改为判断 |A-B|<\varepsilon ，即A和B之差的绝对值如果小于为一个很小的数，如（10-10)，则认为A和B相等。

总之，在实数运算中应充分考虑到其可能出现的误差，而且在运算过程中误差会不断积累而增大，有时可能达到一个可观的程度。

赋值语句

赋值语句的作用是将一个确定的值赋给一个变量。其一般格式为：V＝e，V代表一个变量名，e代表一个表达式。

如果类型不同，则应先进行表达式的求值，然后将该表达式的值转换为被赋值变量的类型。

当赋值号两侧的类型不同时，往往会产生程序设计者事先预想不到的结果。所以在编写程序时，应尽可能使贼值号两侧保持同类型。