番外篇: 仿射变换与透视变换

常见的2D图像变换从原理上讲主要包括基于2×3矩阵的 仿射变换 和基于3×3矩阵 透视变换 。

仿射变换

基本的图像变换就是二维坐标的变换：从一种二维坐标(x,y)到另一种二维坐标(u,v)的线性变换：

如果写成矩阵的形式，就是：

作如下定义：

矩阵T(2×3)就称为仿射变换的变换矩阵，R为线性变换矩阵，t为平移矩阵，简单来说，仿射变换就是线性变换+平移。变换后直线依然是直线，平行线依然是平行线，直线间的相对位置关系不变，因此 非共线的三个对应点便可确定唯一的一个仿射变换 ，线性变换4个自由度+平移2个自由度→ 仿射变换自由度为6 。

来看下OpenCV中如何实现仿射变换：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('drawing.jpg')
rows, cols = img.shape[:2]
# 变换前的三个点
pts1 = np.float32([[50, 65], [150, 65], [210, 210]])
# 变换后的三个点
pts2 = np.float32([[50, 100], [150, 65], [100, 250]])
# 生成变换矩阵
M = cv2.getAffineTransform(pts1, pts2)
dst = cv2.warpAffine(img, M, (cols, rows))
plt.subplot(121), plt.imshow(img), plt.title('input')
plt.subplot(122), plt.imshow(dst), plt.title('output')
plt.show()Copy to clipboardErrorCopied

三个点我已经在图中标记了出来。用 cv2.getAffineTransform() 生成变换矩阵，接下来再用 cv2.warpAffine() 实现变换。

思考：三个点我标记的是红色，为什么Matplotlib显示出来是下面这种颜色？（ 练习 ）

仿射变换前后对比图

其实平移、旋转、缩放和翻转等变换就是对应了不同的仿射变换矩阵，下面分别来看下。

平移

平移就是x和y方向上的直接移动，可以上下/左右移动，自由度为2，变换矩阵可以表示为：

旋转

旋转是坐标轴方向饶原点旋转一定的角度θ，自由度为1，不包含平移，如顺时针旋转可以表示为：

思考：如果不是绕原点，而是可变点，自由度是多少呢？（请看下文刚体变换）

翻转

翻转是x或y某个方向或全部方向上取反，自由度为2，比如这里以垂直翻转为例：

刚体变换

旋转+平移也称刚体变换（Rigid Transform），就是说如果 图像变换前后两点间的距离仍然保持不变 ，那么这种变化就称为刚体变换。刚体变换包括了平移、旋转和翻转，自由度为3。变换矩阵可以表示为：

由于只是旋转和平移，刚体变换保持了直线间的长度不变，所以也称欧式变换（变化前后保持欧氏距离）。

缩放

缩放是x和y方向的尺度（倍数）变换，在有些资料上非等比例的缩放也称为拉伸/挤压，等比例缩放自由度为1，非等比例缩放自由度为2，矩阵可以表示为：

相似变换

相似变换又称缩放旋转，相似变换包含了旋转、等比例缩放和平移等变换，自由度为4。在OpenCV中，旋转就是用相似变换实现的：

若缩放比例为scale，旋转角度为θ，旋转中心是 \(center\_x,center\_y\) ，则仿射变换可以表示为：

其中，

相似变换相比刚体变换加了缩放，所以并不会保持欧氏距离不变，但直线间的夹角依然不变。

经验之谈：OpenCV中默认按照逆时针旋转噢~

总结一下（ 原图[#计算机视觉：算法与应用p39] ）：

透视变换

前面仿射变换后依然是平行四边形，并不能做到任意的变换。

透视变换 （Perspective Transformation）是将二维的图片投影到一个三维视平面上，然后再转换到二维坐标下，所以也称为投影映射（Projective Mapping）。简单来说就是二维→三维→二维的一个过程。

这次我写成齐次矩阵的形式：

其中， \left\[ \begin{matrix} a\_1 & b\_1 \newline a\_2 & b\_2 \newline \end{matrix} \right\] 表示线性变换， \left\[ \begin{matrix} a\_3 & b\_3 \end{matrix} \right\] 产生透视变换，其余表示平移变换，因此仿射变换是透视变换的子集。接下来再通过除以Z轴转换成二维坐标：

透视变换相比仿射变换更加灵活，变换后会产生一个新的四边形，但不一定是平行四边形，所以需要 非共线的四个点才能唯一确定 ，原图中的直线变换后依然是直线。因为四边形包括了所有的平行四边形，所以透视变换包括了所有的仿射变换。

OpenCV中首先根据变换前后的四个点用 cv2.getPerspectiveTransform() 生成3×3的变换矩阵，然后再用 cv2.warpPerspective() 进行透视变换。实战演练一下：

矫正一鸣的卡片

img = cv2.imread('card.jpg')
# 原图中卡片的四个角点
pts1 = np.float32([[148, 80], [437, 114], [94, 247], [423, 288]])
# 变换后分别在左上、右上、左下、右下四个点
pts2 = np.float32([[0, 0], [320, 0], [0, 178], [320, 178]])
# 生成透视变换矩阵
M = cv2.getPerspectiveTransform(pts1, pts2)