2012年8月的一天, 在德国幽静的黑森林数学研究所(Oberwolfach),Martin Hairer 正讲解他在解决KPZ方程研究中的突破, 据说这个随机偏微分方程是由3名物理学家为研究晶体生长规律而提出的。由于这项贡献和他由此创立的Regularity Structure理论, Martin获得了2014年Fields奖。讲演结束后, 我问了他一个问题: 是否也可以考虑用Pardoux-Peng[11]建立的倒向重随机微分方程(BDSDE)理论来解决这个问题？Martin并未给出肯定或否定回答, 但他立刻指出, KPZ-方程的噪声源是一个时空白噪声(而我们的BDSDE中所用的则是无穷维布朗运动, 不能直接代替前者)。而这又引出了另外一个方向的非常有趣的数学问题:当干扰是时空白噪声时BDSDE是否有解的存在唯一性？ 这些都是非常有趣的数学问题, 但我当时的研究方向已经全面转向了非线性的 G -期望理论[12]。理论的基础的表达非常简捷: 没有象Kolmogorov 那样以测度理论为基础来首先建立起概率测度空间的公理化体系, 而是径直在这个新理论体系中引入了“期望”作为最基本的概念, 但舍弃了概率论中的期望概念的非常关键的线性性质。而这里还有一个关键点: 从一开始就自然地建立起了非线性期望下的独立和分布的基本概念,从而使整个理论顿然获得了强大的生命力。使我们能站在巨人的肩上探索和前行,而这巨人就是几百年来在概率理论及其相关领域中上下求索, 充满传奇先行者们。 我们知道, 在数据科学技术中常常要假设所涉及的随机数据是i.i.d.的, 或由i.i.d.的随机序列产生的,它保证了概率统计中起到关键和基础作用的大数定律(LLN)和中心极限定理(CLT)的成立.但是现实世界的数据常常不满足这个i.i.d.假设。而次线性期望则是一个非常稳健的非线性期望,而相应的i.i.d.假设也不再是一个苛刻的难以实现的条件了。但是也对非线性期望理论提出了一个基础性的重要挑战：在次线性期望下大数定律(LLN)和中心极限定理(CLT)是否仍然成立？这个问题上的突破形成了两个全新的极限定理: 即稳健大数定律, 它以极大分布为其极限分布; 和稳健中心极限定理, 以 -正态分布为其极限分布。不仅结果出人意料,而其证明也与经典的证明大相庭径, 并且是借用了完全非线性抛物型偏微分方程理论中的非常艰深的Krylov估计才最终得以完成的。这方面的突破始自[13](也见[17]第2章及其历史评注), 研究至今还非常活跃, 主要集中在收敛速度估计方面的重要突破见Song[18,19], Krylov[10]。显然, 这“Shige Peng's CLT”[10] 的一个典型情况就是线性期望情况，即概率论中的中心极限定理。 以上的重要发现也启示和鼓励我们去进行更系统深入的探讨：是不是概率理论迄今为止所获得的重要研究成果都会在非线性期望理论框架中有其非平凡的对应正等待着我们去发现呢？我们知道的在数学史上的一个获得巨大成功的先例就是著名的黎曼几何理论: 在高斯、罗巴切夫斯基和黎曼等一大批数学家的探索, 发现和推动下将古希腊的欧几里德空间几何学系统地拓展到了弯曲的黎曼距离空间上。也由此形成了爱因斯坦引力场理论的数学理论基础。 自1997, 特别是2006年以来, 在这个非线性期望的新领域的探索使我们系统地获得了系列重要的, 基础性的研究成果,包括了非线性期望中的布朗运动-称为 G -布朗运动,及相应的随机分析理论。这里 G 是用以刻画期望的非线性性质的一个基本的非线性函数。函数 G 的非线性的强弱直接决定了 G -期望的强弱。如果 G 是线性的则 G -期望也就成了经典概率中的线性期望, 此时我们又回归到了概率空间理论框架。相应的 G -布朗运动也就回归到概率理论中的布朗运动。 考虑一下最初提及的时空白噪声: 在次线性期望理论框架中是否也有对应于时空白噪声的稳健的随机场呢？我们先来考虑参数为1维的情况, 1维的时间白噪声很自然地对应着 G -布朗运动( G -BM), 但近一步研究发现, G -布朗运动是无法用来产生1维的空间白噪声的, 因为 G -布朗运动明显的不具备空间对称性。那么, 何处能找到满足这种对称条件的随机场呢？这个问题直到后来在探索高斯随机过程(见[15])时才悟到其中的奥妙: 我们知道经典的布朗运动有两个等价的定义: 1) 它是增量平稳且独立的连续过程；2) 它是增量平稳且不相关的标准高斯过程。但是在次线性期望下, 1) 和 2) 却对应着两个完全不同的随机过程, 而只有那个对应于 2) 的 G -高斯过程才能给我们空间白噪声。 谜团一旦破解, 我们(Ji & Peng [8])就可以着手严格地构建非线性期望下的, 1-维时间和 d -维空间的时空白噪声了。据我们所知, 这是关于非线性期望下的随机场研究的第一篇论文, 所以要一步步从头来: 文章[8]中我们先建立起非线性期望空间中的随机场的概念,定义了 G -高斯的空间随机场, 空间白噪声及相应的积分, 最后定义了时空白噪声和相应的Itô积分。非线性时空白噪声在随机场理论中起到了的非常重要的作用, 它相当于随机过程分析理论中的 G -布朗运动(见[12,17])。注意到次线性的 G -期望控制了非常大的一族互相奇异的概率测度, 从而 G -期望空间中的随机变量和随机过程的所获的随机变量的一个等式或不等式, 在其所控制的每一个概率测度下也仍然成立, 这说明在此空间中进行的随机分析和计算是非常稳健的。而反之,其中任何一个概率空间中所获得的随机变量的等式或不等式都无法保证这一点。 一个基本的问题是为什么要研究非线性数学期望, 仅仅是因为其数学理论的完美和所提问题的挑战性吗？次线性期望的一个重要特点就是对于风险预期的安全性和稳健性: 很多研究在处理这类不确定问题时都会先验地假设: 概率空间的概率测度是已知的。但现实世界中极少有这样的好事, 有时就会出重大问题。而次线性期望理论则后退一步，假设我们可能无法确定这个概率测度, 只知道其在一族给定的概率之中, 这一族概率经常有可能是无穷维的，但是我们照样可以确定一个能够控制它们的次线性期望，而在这个期望下所获得 的结论就有很强的智能性和稳健性(见[4])。例如此时如果得到了一个随机场 ，它是一个随机偏微分方程(SPDE)的解, 就意味着在前述的每一个被控制概率测度下, 也仍旧是这个(SPDE)的解! 我们称 为(SPDE)的一个稳健解: 因为我们无需担心究竟是哪一个被控制的概率测度是 “真的测度”。高度智能的非线性期望已经自动地把所有可能的预案都纳入其“考虑”之中了。这种稳健性也会帮助我们避免极端情况下的灾难的发生。而这就是研究和应用稳健的时空白噪声的意义。 实际上早在1921年，经济学家Frank H. Knight就注意到了经济世界中的概率测度的不确定性给经济学带来的挑战[9]。以小 g -期望为基本数学工具的经济学研究见Chen-Epstein[2], 而大 G -期望则见Epstein-Ji[5]。也可参见Lars Hansen 的诺贝尔经济学奖获奖报告[6]中关于这种Knight不确定性性研究的系统的回顾与前瞻,及他和另一个诺奖获得者Tomas Sargent 的近作[7]。实际上, 金融风险管理中的著名的一致风险度量方法,本质上也可通过次线性或凸的期望的计算和分析, 以规避灾难性的后果,见[1]和[3]。 更详细的分析见专著[17], 我在2010年 ICM 所做的大会报告[14]，和我对非线性期望理论的一篇中文的综述文章。 [1] Ph. Artzner, F. Delbaen, J.M. Eber and D. Heath (1999) Coherent measures of risk. Math. Finance 9, 203-228 [2] Zengjing Chen and Larry Epstein (2002) Ambiguity, Risk, and Asset Returns in Continuous Time. Econometrica 70:1403-1443 [3] Freddy Delbaen, Shige Peng and Emanuela Rosazza Gianin (2010) Representation of the penalty term of dynamic concave utilities,Finance Stoch., 14: 449-472 [4] Laurent Denis, Mingshang Hu, and Shige Peng (2011) Function spaces and capacity related to a sublinear expectation: application to G-Brownian motion paths. Potential Anal., 34(2):139-161 [5] Epstein, Larry G. and Shaolin Ji (2014) Ambiguous Volatility, Possibility and Utility in Continuous Time. Journal of Mathematical Economics 50:269-282 [6] Lars Peter Hansen (2014) Nobel Lecture: Uncertainty Outside and Inside Economic Models [7] Lars Peter Hansen and Thomas J. Sargent (2019) Macroeconomic Uncertainty Prices when Beliefs are Tenuous, preprint [8] Xiaojun Ji and Shige Peng (2020) Spatial and temporal white noises under sublinear G-expectation, Science China, Mathematics, [9] Frank H. Knight (1921) Risk, Uncertainty and Profit, Dover Publications, Inc. Mineola, NewYork [10] N.V. Krylov (2018) On Shige Peng's Central Limit Theorem. arXiv:1806.11238v1, 63(1), 61-82 [11] Etienne Pardoux and Shige Peng (1994) Backward Doubly Stochastic Differential equations and Systems of Quasilinear Parabolic SPDEs, Proba. Theory Related Fields. 98: 209-227 [12] Shige Peng (2006) G-expectation, G-Brownian motion and related stochastic calculus of Itô's type, in Stochastic Analysis and Applications, The Abel Symposium 2005, Abel Symposia · 2,541--567, Springer-Verlag [13] Shige Peng (2007) Law of Large Numbers and Central Limit Theorem under Nonlinear Expectations, arXiv:math/0702358 [math.PR] [14] Shige Peng (2010) Backward stochastic differential equation, nonlinear expectation and their applications, lecture of plenary talk of ICM2010, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians Hyderabad, India, 2010 [15] Shige Peng (2011) G-Gaussian processes under sublinear expectations and q-Brownian motion in quantum mechanics. ArXiv:1105.1055v1, 2011 [16] 彭实戈 (2017) 非线性期望的理论、方法及意义, 中国科学:数学 2017年 第47卷 第10期: 1223-1254 [17] Shige  Peng (2019) Nonlinear expectation and stochastic calculus under uncertainty, Springer [18] Yongsheng Song (2017)  Normal approximation by Stein's method under sublinear expectations. arXiv:1711.05384 [19] Yongsheng Song (2019) Stein's Method for Law of Large Numbers under Sublinear Expectations. arXiv:1904.04674v1