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3.4 稀疏矩阵

在实际应用中经常会使用这样的矩阵，该矩阵中包含的很多元素值为0，这样的矩阵被称为稀疏矩阵(Sparse Matrix)。因为稀疏矩阵大部分的元素都是0，所以只需要储存非零元素的下标和元素值，这种特殊的存储方式可以节省大量的存储空间和不必要的运算。MATLAB提供了多个对稀疏矩阵进行操作的函数。

如果全元素矩阵不经过专门的定义是不能产生稀疏矩阵的，最简单的创建稀疏矩阵的函数为sparse，可以将全元素矩阵转化为稀疏矩阵；与之相反，可以调用函数full将稀疏矩阵转变为全元素矩阵。下面将介绍稀疏矩阵的一些相关操作。

3.4.1 稀疏矩阵的创建

MATLAB提供了几个函数来创建稀疏矩阵，具体调用格式如表3.8所示。
表3.8 稀疏矩阵的创建函数

S = sparse(i,j,s) 生成一个由长度相同的向量i、j和s定义的稀疏矩阵S，其中i、j是整数向量，定义稀疏矩阵的元素位置(i,j)，s是一个标量或与i，j长度相同的向量，表示在(i,j)位置上的元素 S = sparse(i,j,s,m,n) 生成一个m×n的稀疏矩阵，(i,j)对应位置元素为si，m = max(i)且n =max(j) S= sparse(iiI,j,s,m,n,nzmax) 生成一个m×n的含有nzmax个非零元素的稀疏矩阵S，nzmax的值必须大于或者等于向量i和j的长度 [B,d] = spdiags(A) 从矩阵A中提取所有非零对角元素，这些元素保存在矩阵B中，向量d表示非零元素的对角线位置 B = spdiags(A,d) 从A中提取由d指定的对角线元素，并存放在B中 A = spdiags(B,d,A) 用B中的列替换A中由d指定的对角线元素，输出稀疏矩阵 A=spdiags(D,k,m,n) 矩阵D的每一列代表矩阵的对角线向量；k代表对角线的位置(0代表主对角线，－1代表向下位移一单位的次对角线，1代表向上位移一单位的次对角线，依此类推)；m、n分别代表矩阵的行、列维数 按照以下命令行修改矩阵a中最后一行的元素值：
>> a(6,:)=[2 0 0 3 0] %修改矩阵a中最后一行的元素值
使用函数sparse将上面的矩阵a转化为稀疏矩阵，在命令窗口输入：
>> b=sparse(a) %使用函数sparse将上面的矩阵a转化为稀疏矩阵
结果如下：
b = (1,1) 1 (6,1) 2 (2,2) 1 (3,3) 1 (4,4) 1 (6,4) 3 (5,5) 1

3.4.2 将稀疏矩阵转化为全元素矩阵

可以使用full函数可以将稀疏矩阵转化为全元素矩阵，该函数的调用格式如下：

① A=full(S) S为稀疏矩阵，A为全元素矩阵

【例3.46】将稀疏矩阵转化为全元素矩阵
>> a=eye(6) %生成6阶的对角阵
使用函数sparse将矩阵a转化为稀疏矩阵，在命令窗口中输入以下内容：
>> b=sparse(a) % 使用函数sparse将矩阵a转化为稀疏矩阵
如将稀疏矩阵b转化为原来的全元素矩阵，可以使用函数full，在命令窗口输入：
>> full(b) % 将稀疏矩阵b转化为原来的全元素矩阵

3.4.3 矩阵中非零元素的查找

对任意一个矩阵，使用函数find可以查找出非零元素的位置及其值。该函数的调用格式如下：

① k = find(X)
② [i,j] = find(X)
③ [i,j,v] = find(X)

其中，命令①按行检索X中非零元素的点，若没有非零元素，将返回空矩阵，命令②检索X中非零元素所对应的行标号i和列标号j；命令③检索X中非零元素所对应的行标号i和列标号j以及位置(i, j)对应的元素值v。

【例3.47】矩阵中非零元素的查找
首先在命令窗口中输入以下内容，将单位矩阵a转化为稀疏矩阵b。
>> a=eye(6); %创建6阶的对角单位阵
>> b=sparse(a) %讲单位阵转化为稀疏矩阵
①若检索稀疏矩阵b中非零元素的行标i和列标j以及对应的元素值v，在命令窗口输入：
>> [i,j,v]=find(b)
②若检索全元素矩阵a中非零元素的行标i和列标j以及对应元素值v，在命令窗口输入：
>> [i,j,v]=find(a)

3.3.4 其他稀疏矩阵的创建方法

MATLAB除了上面介绍的基本创建稀疏矩阵的方法外，还提供了几个函数可以直接创建特殊的稀疏矩阵，具体调用格式如表3.9所示。

表3.9 稀疏矩阵的其他创建函数

【例3.48】其他稀疏矩阵的创建
①使用函数sparse创建行数从2至16，列数从3至17，值为4至18的稀疏矩阵。在命令窗口输入以下内容：
>> S=sparse(2:16,3:17,4:18) %创建行数从2至16，列数从3至17，值为4至18的稀疏矩阵
②如要生成与矩阵S具有相同稀疏结构的均匀分布随机矩阵，可以使用函数sprand。在命令窗口输入：
>> R = sprand(S)
③若要生成与S具有相同稀疏结构的正态分布随机矩阵，可以使用函数sprandn。在命令窗口输入：
>> G = sprandn(S)
④若要生成稀疏对称随机矩阵，其下三角和对角线与S具有相同的结构，其元素服从均值为0、方差为1的标准正态分布，可以使用函数sprandsym。在命令窗口输入：
>> F = sprandsym(S)
⑤若要生成n×n的单位稀疏矩阵，可以使用函数speye。在命令窗口输：
>> K = speye(6)

注意：由上例可以看出，此查找语句适合于稀疏矩阵，也适合于一般矩阵。

3.4.5 稀疏矩阵中非零元素信息的查看

前面介绍了使用find函数可以查看全元素矩阵和稀疏矩阵的非零元素的位置及值，对于稀疏矩阵来说，MATLAB还提供了其他几个函数用来查看稀疏矩阵中的信息，具体调用格式如表3.10所示。

表3.10 稀疏矩阵的信息查看函数

【例3.49】稀疏矩阵中非零元素信息的查看
>> S=sparse(2:16,3:17,4:18) %创建行数从2至16，列数从3至17，值为4至18的稀疏矩阵
①若要查看矩阵S中非零元素的个数，可在命令窗口输入：
>> n = nnz(S)
②若要返回矩阵S中非零元素按列顺序构成的列向量，可在命令窗口输入：
>> s = nonzeros(S)
③若要返回分配给稀疏矩阵中所有非零元素存储单元的个数，可在命令窗口输入：
>> k=nzmax(S)
④用函数'exp'对S中非零元素求值，在命令窗口输入：
>> f= spfun('exp',S)

3.4.6 用图形方式查看稀疏矩阵的信息

将稀疏矩阵中非零元素的分布用图形方式显示，特别适用于较大的稀疏矩阵及图形处理过程中的分析。MATLAB的函数spy提供了一个用图形显示稀疏矩阵非零元素的模板，图形中的每个点表示稀疏矩阵中非零元素的位置。该函数的调用格式如下：

①spy(S)
②spy(S,markersize) markersize为整数，指定点阵大小，其他参数与上相同
③spy(S,'LineSpec')
④spy(S,'LineSpec',markersize)

其中①画出稀疏矩阵S中非零元素的分布图形，S也可以是全元素矩阵；②命令中markersize为整数，指定点阵大小，其他参数与①相同；③'LineSpec'指定绘图标记和颜色。

【例3.50】用图形方式查看稀疏矩阵的信息
>> load west0479 %向工作空间导入west0479数据
>> A=west0479;
>> spy(A) %画出稀疏矩阵A中非零元素的分布图
结果如图3.1所示。

j = colperm(S) 返回一个稀疏矩阵S的列变换的向量。列按非0元素升序排列。有时这是LU分解前有用的变换：LU(S(:,j))。如果S是一个对称矩阵，对行和列进行排序，有利于Cholesky分解：chol(S(j,j)) p = dmperm (A) 返回A的行排列向量p，这样，如果A满列秩，就使得A(p,:)是具有非0对角线元素的方阵 [p,q,r] = dmperm(A) A为方阵，p为行排列向量，q为列排列向量，使得A(p,q)是上三角块形式，r为索引向量 [p,q,r,s] = dmperm(A) A不是方阵，p,q,r含义与前面相同，s也是索引向量 p = randperm (n) 对正整数1，2，3，…，n的随机排列，可以用来创建随机变换矩阵 p = symamd(S) S为对称正定矩阵，返回排列向量p r = symrcm (S) 返回S的对称逆Cuthill-McKee排序r，使S的非0元素集中在主对角线附近 p = symmmd(S) 返回S的对称最小度排列向量p，S为对称正定矩阵

【例3.52】比较稀疏矩阵S与排序后的矩阵p
>> A=sprandsym(200,0.03)+100*speye(200,200) %生成系数矩阵
>> p=symmmd(A) %计算矩阵A的对称最小度排列向量p
>> spy(A) %画出稀疏矩阵A中非零元素的分布图
结果如图3.4所示。

注意：指令symmmd采用最小度排序算法，其中心思想是根据消元的每个阶段和选取可能的主元，获得填充项和运算次数的最小化，因而列高斯消元法能够与最小度算法较好地结合。

3.5 本章小结

本章重点介绍了矩阵的相关运算，包括矩阵的基本运算、矩阵的各种分解运算、稀疏矩阵的相关运算以及线性方程组的求解。

矩阵的基本运算部分使用大量的实例介绍了矩阵的四则运算、矩阵的乘方、矩阵的转置以及一些矩阵函数的使用方法，同时将矩阵和数组的运算进行比较，以便加深读者对矩阵和数组运算的区别的理解。另外该部分还使用实例介绍了矩阵的关系操作和逻辑操作。

矩阵的分解部分使用大量的实例介绍了经常使用的MATLAB提供的矩阵的各种分解函数的使用，包括矩阵的LU分解、奇异值分解、特征值分解、Cholesky分解、QR分解、Schur分解等。矩阵的分解是矩阵运算的重要部分，在实际的工程应用中经常会使用，因此掌握矩阵分解对解决实际问题是很有帮助的。

线性方程组的求解是解决线性问题时经常遇到的问题，本章使用实例对该线性方程组的求解方法进行了系统的介绍，重点介绍了使用矩阵LU分解、Cholesky分解和QR分解来求解线性方程组的方法。在求解大型方程组时使用矩阵分解的方法来求解方程组解很有用，其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。