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Gamma 分布首先与Possion 分布(离散型)、Possion 过程发生密切的联系。我们容易发现Gamma分布的概率密度和Possion分布在数学形式具有高度的一致性。参数为
的Possion分布,其概率(probability mass function,pmf)为:
而Gamma分布的密度(
α
=
k
+
1
,
β
=
1
G
a
m
m
a
(
x
|
α
=
k
+
1
)
=
x
α
e
−
x
Γ
(
k
+
1
)
=
x
k
e
−
x
k
!
所以这两个分布在数学形式上是一致的,只是Possion分布是离散的,Gamma分布是连续的,
可以直观地认为Gamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本
。
我们在概率论与数理统计的课程中都学过,
P
o
i
s
s
o
n
(
λ
)
分布可以看成是二项分布
B
(
n
,
p
)
n
p
=
λ
,
n
→
∞
条件下的极限分布
:
书归正传,我们再来看上面的公式,
该等式即为著名的
Poisson-Gamma duality
,接下来我们来点好玩的,对上面的等式两边在
λ
→
0
取极限,左侧Poisson分布表示的是至少发生
事件的概率,