多面体定义+多面体是凸集+多面体的重要性质_polytope和polyhedron ...

多面体定义

是一组定义面的 线性等式（可选）【超平面 】。

多面体是凸集

从几何上看，多面体可以被认为是一个凸的几何对象。其几何结构可以分解为顶点、边、面等，取决于空间的维数。例如：

在三维空间中，一个多面体可能是立方体、四面体等，由平面限定的几何体。
在二维空间中，满足线性不等式的集合即为多边形。

多面体之所以凸，是因为线性不等式和等式的交集形成了一个凸集。这意味着，对于任何位于多面体内的两点 $时，该多面体可能是无界的。$

极点表示（顶点形式） ：多面体也可以通过顶点的凸组合来表示。这是 极点-极射线表示定理 的内容。

1. 有界多面体（Convex Polytope）

一个有界多面体，或称为 凸多面体 ，是一个由有限个线性不等式所定义的有限闭凸集合，即它的边界是有限的。这类多面体的几何形状是封闭的，并且在有限的空间中存在。

数学定义 ：

P = \left\{ x \in \mathbb{R}^n : x = \sum_{i=1}^k \lambda_i v_i, \quad \sum_{i=1}^k \lambda_i = 1 \right\}。

一个 无界多面体 是由线性不等式或等式约束定义的集合，但这些约束并不完全限制集合在空间中的边界，使得多面体在某些方向上可以 延伸到无限远 。

数学定义 ：

的同时，存在一条无限延伸的方向。 满足线性不等式的时候，存在一条无限延伸的方向可以延伸到无限远

3. 极点表示（顶点形式）与极点-极射线表示定理

极点表示定理 （或称 顶点形式 ）指出，每个多面体都可以表示为其极点（顶点）的凸组合，且对于无界多面体，还需要包含其极射线的正组合。

极点：极点是多面体的顶点，表示那些不能通过其他点的凸组合来表示的点。
极射线 ：对于无界多面体，极射线（或称为方向向量）是那些可以沿其方向无限延伸的方向。

数学定义 ：

P = \left\{ x \in \mathbb{R}^n : x = \sum_{i=1}^k \lambda_i v_i + \sum_{j=1}^l \mu_j d_j, \quad \lambda_i \geq 0, \ \sum_{i=1}^k \lambda_i = 1, \ \mu_j \geq 0 \right\}。

P = { x ∈ R n : x = i = 1 ∑ k ​ λ i ​ v i ​ + j (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); = 1 ∑ l ​ μ j ​ d j ​ , λ i ​ ≥ 0 , i = 1 ∑ k ​ λ = 1 , 1.标准型的表示 通常将 P = {x ∈ Rn | Ax = b, x ≥ 0} 称为 的标准型，即 中所有约束都为等式。其中 A 为 m×n 的矩阵（通常认为m ≤ n）。 现在不妨通过标准型再来回顾一下基解。基解必然包含 n 个严格约束，而对于一个标准型来说，除了 n 个非负约束之外，其余的 m 个约束皆为等式约束，若想找到一个基解，需另寻找 n - m 个严格约束，即令 n - m 个非负约束成为严格约束，即存在 n - m 个变量的值为0，我们称这样的变量为非基变量，而其余的 m 个 一、 多面体 （ Polyhedron ） P={x∣ajTx≤bj  j=1,⋯ ,m,cjTx=dj  j=1,⋯ ,r}P=\{x|a_j^Tx\le b_j\;j=1,\cdots,m,c_j^Tx=d_j\;j=1,\cdots,r\}P={x∣ajT​x≤bj​j=1,⋯,m,cjT​x=dj​j=1,⋯,r} 有界 多面体 二、单纯形（Simplex） 一种特殊的 多面体 。 Rn\R^nRn空间中选择v0,⋯ ,vkv_0,\cdots,v 在学习列生成 分解算法的时候，会频繁用到线性规划 对偶的知识，可以说LP DP是基础。因此理解线性规划 对偶的本质是很重要的。 单纯形法是纯代数运算，从一个顶点跳到另一个顶点；且我们知道最优解一定在顶点取得，可是为什么在顶点一定会取得最优解？为什么从一个顶点跳到另一顶点，通过进基出基就可以实现，它俩为什么是一一对应的？除此以外，在分解算法中的极点 极射线 LP的解是什么样的对应关系？ 这些问题，应该说必须了解了线性规划 对偶的本质才能够深刻理解，而不至于陷入机械无脑的计算。大概看了慕课的课程，感觉山东大 如图，对于此非空闭 凸 集 ，红色点均为极点（）。从图中可以发现极点不能被任意两不同点的严格 凸 组合得到。 如果C为非空闭 凸 集 ，C中至少含有一个极点，当且仅当C中不存在直线。 C为中的闭 凸 集 ，，如果对于，都有，则称为C的方向。 为C的方向，如果对于，都有，则称与方向不同。 为C的方向，若，其中，则称为C的极方向。 凸 集 C存在极方向，当且仅当C无界。 （标准线性规划问题的其可行域）为非空 多面体 ，则其极点 集 非空，且存在有限个极点

多面体定义

多面体是凸集

1. 有界多面体（Convex Polytope）

3. 极点表示（顶点形式）与极点-极射线表示定理

2. 无界多面体（Unbounded Polyhedron）