方差，标准差，均方误差，极差

云水禅心

一、方差

（1）百度百科上方差是这样定义的：

方差（variance)： 是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

（2）方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式。

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异（离散）程度。
总体方差计算公式： \sigma^{2}=\frac{\sum_{}^{}{\left( X-\mu \right)}^{2}}{N}

\sigma^{2} 为总体方差，X为变量， \mu 为总体均值，N为总体例数；

实际工作中，总体均数难以得到时，应用样本统计量代替总体参数，经校正后，样本方差计算公式： S^{2}=\frac{\sum_{}^{}{\left( X-\bar{X} \right)}^{2}}{\left( n-1 \right)}

S^{2} 为样本方差，X为变量， \bar{X} 为样本均值，n为样本例数；

思考：为什么要求差的平方？可以参考这个链接里面的注解

（ https://www. shuxuele.com/data/stand ard-deviation.html ）

（1）方差和标准差的关系很简单，标准差（也称均方差）的平方就是方差。

标准差能反映一个数据集的离散程度（或理解为数据集的波动大小）。
既然都能反映数据集的离散程度，既生瑜何生亮？因为我们发现，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的（单位不一致），虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
比如一个班男生的平均身高是170cm，标准差是10cm，那么方差就是100cm^2。可以简便的描述为本班男生身高分布在170±10cm，方差就无法做到这点。

（2）标准差的应用

衡量基金波动程度的工具就是标准差（StandardDeviation）。标准差是指基金可能的变动程度。标准差越大，基金未来净值可能变动的程度就越大，稳定度就越小，风险就越高。

股票价格的波动是股票市场风险的表现，因此股票市场风险分析就是对股票市场价格波动进行分析。波动性代表了未来价格取值的不确定性，这种不确定性一般用方差或标准差来刻画。

企业债务性资金和权益性资金完全正相关，即相关系数pDE为1。

一支值得信赖的球员队伍，他最不想要的就是表现时好时坏，水平反复无常，波动很大的队员。他需要的是评分高且发挥稳定的球员。

均方误差 是各数据偏离 真实值 的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫 均方根误差 ，均方根误差和标准差形式上接近。均方误差是各数据偏离 真实值 的距离平方和的平均数。

这里有个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据 [x1,x2,x3,x4,x5]，假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差e=x-xi

均方误差计算公式： MSE=\frac{\sum_{}^{}{\left( x-x_{i} \right)}^{2}}{n}

那么均方根误差计算公式为： \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{\left( x-x_{i} \right)}^{2}}{n}}

总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系。

百度百科的解释：极差又称范围误差或全距 (Range)，以R表示，是用来表示统计资料中的变异量数 (measures of variation)，其最大值与最小值之间的差距，即最大值减最小值后所得之数据。

例：求下列数据集的极差

65、81、73、85、94、79、67、83、82

解：极差指的是这些数字分开得有多远，计算方法是：用其中最大的数减去最小的数。

极差是： 94−65=29

这个数字越大，表示分得越开，最大数和最小数之间的差就越大；该数越小，数字间就越紧密，这就是极差的概念。

生活中很多概念很久之前就知道了，但是细想起来还是不够理解，今天先总结到这吧。大家还有什么更深的理解，欢迎留言探讨～❤️

发布于 2019-07-02 18:35