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Code  ›  伴随勒让德多项式
勒让德多项式
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伴随勒让德多项式

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数学上对常微分方程解函数序列的称呼
本词条由 “科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。
伴随勒让德多项式 （Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对 常微分方程 解函数序列的称呼，在数学和 理论物理学 中有重要的意义。 [1]
中文名
伴随勒让德多项式
外文名
Associated Legendre polynomials
分    类
数学物理、微分方程
领    域
数理科学

目录

  1. 1 定义
  2. 2 正交性
  3. 3 与勒让德多项式的关系
  1. 4 与超几何函数的关系
  2. 5 负数阶连带勒让德多项式
  1. 6 与球谐函数的关系

定义

播报
编辑
数学上对如下形式 常微分方程 解函数序列：
该方程是在 球坐标系 下求解 拉普拉斯方程 时得到的，因上述方程仅当
和
均为整数且满足
时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把
和
均为 整数 时方程的解称为 伴随勒让德多项式 ；把
和
为一般实数或复数时方程的解称为广义 勒让德函数 （generalized Legendre functions）。
当
为整数时，方程的解即为一般的 勒让德多项式 。
注意当 m 为 奇数 时，连带勒让德多项式并不是 多项式 。 [2]

正交性

播报
编辑
与勒让德多项式一样，伴随勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。
这是因为，与 勒让德方程 一样，伴随勒让德方程也是施图姆-刘维尔型的：
正交性 的另一种表述如下，它与下面提到的 球谐函数 有关。

与勒让德多项式的关系

播报
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伴随勒让德多项式可以由勒让德多项式求m次导得到：
等号右边的上标 (m) 表示求m次导。

与超几何函数的关系

播报
编辑
伴随 勒让德函数 （即 l, m 不一定要是整数）可以用高斯 超几何函数 表达为：
注意 μ 为正整数 m 时 1-μ 是伽玛函数的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 μ 趋于 m 时的极限。

负数阶连带勒让德多项式

播报
编辑
显然伴随勒让德方程在变换m→-m下保持不变，传统上习惯定义负数阶伴随勒让德多项式为：
容易验证，这样定义的伴随勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m 为负数的情况。
注意在个别文献（如图1）中会直接取
图1 l=5时连带勒让德多项式的图像

与球谐函数的关系

播报
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球谐函数 是 球坐标 下三维空间 拉普拉斯方程 的角度部分的解，构成一组完备的 基组 ，有着重要的意义。采用本文中定义的伴随勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：
由伴随勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：
式中 dΩ 是 立体角 元。
 
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