那本书的第八章，写了一个非常具体的技术问题----如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件（ 英文版 ）。

我没完全看懂那一章。当时是硬着头皮，按照字面意思把它译出来的。虽然译文质量还可以，但是心里很不舒服，下决心一定要搞懂它。

一年过去了，我读了一些概率论文献，逐渐发现贝叶斯推断并不难。原理的部分相当容易理解，不需要用到高等数学。

下面就是我的学习笔记。需要声明的是，我并不是这方面的专家，数学其实是我的弱项。欢迎大家提出宝贵意见，让我们共同学习和提高。

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贝叶斯推断及其互联网应用

作者：阮一峰

一、什么是贝叶斯推断

贝叶斯推断（ Bayesian inference ）是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。

它是贝叶斯定理（ Bayes' theorem ）的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。

贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有计算机诞生以后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显现。

二、贝叶斯定理

要理解贝叶斯推断，必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。

所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。

根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。

同理可得，

这就是条件概率的计算公式。

三、全概率公式

由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式。

假定样本空间S，是两个事件A与A'的和。

上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。

在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。

在上一节的推导当中，我们已知

这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A'构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。

将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：

四、贝叶斯推断的含义

对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：

我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

所以，条件概率可以理解成下面的式子：

后验概率　＝　先验概率 ｘ 调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里，如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。

五、【例子】水果糖问题

为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子。

第一个例子。两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。

再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。

根据条件概率公式，得到

已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，

将数字代入原方程，得到

这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。

六、【例子】假阳性问题

第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系紧密。

已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？

假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。

根据条件概率公式，

用全概率公式改写分母，

将数字代入，

我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性"，即阳性结果完全不足以说明病人得病。

为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？答案是与它的误报率太高有关。（【习题】如果误报率从5%降为1%，请问病人得病的概率会变成多少？）

有兴趣的朋友，还可以算一下"假阴性"问题，即检验结果为阴性，但是病人确实得病的概率有多大。然后问自己，"假阳性"和"假阴性"，哪一个才是医学检验的主要风险？

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关于贝叶斯推断的原理部分，今天就讲到这里。下一次，将介绍如何使用贝叶斯推断 过滤垃圾邮件 。

（未完待续）

阮哥，你好。在第五章里 作者主要表达的意思是 互联网软件（B／S软件）是微机诞生后的最大机会 也提到了用户需要的上网终端应该越来越小巧便捷 最后发展得像手机一样（iphone）同时包括网络浏览器。这一章看的我很兴奋 呵呵
经过思考 我产生了如下疑问：现在智能手机很普遍了 而且浏览器也是必不可少的客户端 但是现在在智能机上并没有出现互联网软件很火的现象 反而是智能机上的客户端软件开发很吃香 像以前PC机开发桌面软件一样 是不是互联网软件只适用于PC机 而且这个机遇已经过了 因为已经产生了好多互联网巨头 gooele facebook amzon等公司 而不适用于智能机上 还是在智能机上的盛行还没来 要等客户端开发热潮退了 才开始盛行 演变规律像在PC机上发生的一样
现在的智能机都支持JavaScript(是不是说的太绝对了) JavaScript有这么逊吗
小弟不才 请阮哥点拨

两个问题讨论一下：
1、为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？应该不是与误报率有关，而是跟发病率太低有关。即便误报率为0.01，计算出的患病概率为0.049773，尽管比0.019高了3个百分点，但仍难以说明患病的概率。
2、“假阴性”的概率非常小，几乎是0.19的1/100。所以可以认为检出阴性则没有患病的可靠性很高。

以前学的时候没想太多，现在想通了。如果用面积表示，那么P(A)=Sa/S,P(B)=Sb/S,P(AB)=Sab/S.
现在要求B发生的情况下，A发生的概率，其实就是AB同时发生的概率（B已经发生，A再发生不就是AB同时发生吗），只不过此时B发生的概率为1.
就是P(B)=Sb/S=1,此时Sb=S。AB同时发生的概率为P(AB)=Sab/S=Sab/Sb。其实这就是条件概率公式了。因为P(A|B)=P(AB)/P(B)=(Sab/S)/(Sb/S)=Sab/Sb。

仍然用A表示发病，用Y表示为阴性，则
P(A|Y) = P(A)*P(Y|A) / P(Y)
= P(A)*P(Y|A) / ( P(A)*P(Y|A) + P(A')*P(Y|A') )
= 0.001*0.01/(0.01*0.001+0.95*0.999)
= 1.053674161802204286346490211367e-5
其实分母中的一部分和分子是相同的。

所以医学检测中，检测结果若为阴性，结果有误的概率非常小，因此结果为阴性的被检测者可以不去复查了。
阳性的话，根据推算可知，误报率比较高，需要进一步、最好使用其他方式复查。

http://math.stackexchange.com/questions/469974/why-would-i-use-bayes-theorem-if-i-can-directly-compute-the-posterior-probabili

看到这个，感觉还是有一点区别。

其实您的思想和观点我90%以上是赞同的，科研、学历对市场来说对大部分人来说却是没多大意义。只是我想说一句：您的东西里有些东西消极了，小孩不一定能理解。他们可能会误解里面的思想观点。
您比我稍长几岁，您经历过的，也是我正在经历的。是什么情况，我心里也清楚了。
但对90后来说，稍显灰色了。

假阳性问题 得病概率 P(A)=1/1000 阳性概率 分为两种 试剂正常（1/1000*（99/100））和 错误 （999/1000 *（5/100））,p(B) =（1/1000*（99/100））+ （999/1000 *（5/100）），得病是阳性 p(B|A) = (99/100) *P(A)/P(B)
(99/100/1000)/((99/100/1000)+(999/1000*5/100))
0.019434628975265017