奇异上同调群

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奇异上同调群是一种上同调群。设(X,A)是空间偶，G是任意交换群。记C(X,A)表示(X,A)的奇异链复形。定义(X,A)的系数在G中的q维奇异上链群

CY(X,A;C})=Hom(C4(X,A) ,G)，

这里Hom(CQ(X,A),G)表示群C(X,A)到G的全体同态之集，它依照以G中诱导的二元运算成为一个交换群; 上边缘算子

占:(} % (A;G)~CY+1(X,A;G)

定义为C(X,A)中边缘算子的对偶.即对于

C4任CI (A;G)，}(c")=CY。汉

于是，{C4(X,A;G),}}qEZ}是一个链复形，其q维同调群称为(X,A)的系数在G中的q维奇异上同调群，记为Hq(X,A;G)。系数在交换群G中的奇异上同调满足系数在交换群G中的上同调理论的所有公理。

与奇异同调理论类似，奇异上同调理论也是将每个拓扑空间(偶)联系上一系列交换群，称为上同调群。从纯代数观点看，它的引入似乎更为自然。上同调理论可用于研究流形上的微分形式。此外，当系数群是一个有单位元的交换环时，上同调群上有一种自然的环结构，即上同调环，这是同调群上所没有的。

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