定义二（拉普拉斯矩阵，Laplacian Matrix） ：

• 给定一个图 D = d i a g ( d ( v 1 ​ ) , ⋯ , d ( v N ​ ) ) 。

定义三（对称归一化的拉普拉斯矩阵，Symmetric normalized Laplacian） ：

• 给定一个图 \begin{aligned} &L^{r w}=D^{-1} L=I-D^{-1} A \\ &L_{i, j}^{r w}:= \begin{cases}1 & \mathrm{i}=\mathrm{j} \\ \frac{-1}{\sqrt{\operatorname{diag}\left(v_{i}\right)}} & \text { if } i \neq j \text { and } v_{i} \text { adjacent to } v_{j} \\ 0 & \text { othewise }\end{cases} \end{aligned} ​ L r w = D − 1 L = I − D − 1 A L i , j r w ​ : = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ​ 1 d i a g ( v i ​ ) ​ − 1 ​ 0 ​ i = j if i  ​ = j and v i ​ adjacent to v j ​ othewise ​ ​

  1.3 拉普拉斯矩阵的优良性质：

  • 拉普拉斯矩阵是半正定对称矩阵
  • 对称矩阵有n个线性无关的特征向量，n是Graph中节点的个数 ⇒ U T U = E

  1.4 GCN为啥要用拉普拉斯矩阵

  • 拉普拉斯矩阵可以谱分解（特征分解）GCN是从谱域的角度提取拓扑图的空间特征的。
  • 拉普拉斯矩阵只在中心元素和一阶相邻元素处有非零元素，其他位置皆为0.
  • 传统傅里叶变换公式中的基函数是拉普拉斯算子，借助拉普拉斯矩阵，通过类比可以推导出Graph上的傅里叶变换公式。

  二、Python代码实现

  这是networkX库对稀疏矩阵A的处理方式，有少量改进（将所有内容保持稀疏）：

  n,m = A.shape
  diags = A.sum(axis=1)
  D = sps.spdiags(diags.flatten(), [0], m, n, format='csr')
  D - A
  numpy和scipy两个库中模块中都提供了线性代数的库linalg，但scipy的linalg的更全面一些。
   
  # laplacian矩阵
  import numpy as np
  def unnormalized_laplacian(adj_matrix):
      # 先求度矩阵
      R = np.sum(adj_matrix, axis=1)
      degreeMatrix = np.diag(R)
      return degreeMatrix - adj_matrix
  # 对称归一化的laplacian矩阵
  def normalized_laplacian(adj_matrix):
      R = np.sum(adj_matrix, axis=1)
      R_sqrt = 1/np.sqrt(R)
      D_sqrt = np.diag(R_sqrt)
      I = np.eye(adj_matrix.shape[0])
      return I - np.matmul(np.matmul(D_sqrt, adj_matrix), D_sqrt)
  matlab的代码实现为：
   
  L = diag(
  
  
  
  
      
  sum(A,2)) - A   % or L=diag(sum(A))-A because A is symmetric
  那么如何求矩阵的特征值呢——利用numpy的linalg.eig：
   
  # !/usr/bin/python
  ## -*-coding:utf-8 -*-
  import numpy as np
  A = np.array([[3,-1],[-1,3]])
  print('打印A：\n{}'.format(A))
  a, b = np.linalg.eig(A)
  print('打印特征值a：\n{}'.format(a))
  print('打印特征向量b：\n{}'.format(b))
  得到特征值和特征向量：
   
  [[ 3 -1] 
   [-1  3]]
  打印特征值a：
  [4. 2.]
  打印特征向量b：
  [[ 0.70710678  0.70710678] 
   [-0.70710678  0.70710678]]
  三阶矩阵试试，回归考研线代的题目：
   
   
   
  import numpy as np
  A = np.array([[2,-3,1],[1,-2,1],[1,-3,2]])
  print('打印A：\n{}'.format(A))
  a, b = np.linalg.eig(A)
  print('打印特征值a：\n{}'.format(a))
  print('打印特征向量b：\n{}'.format(b))
  结果如下，看结果的特征向量矩阵，每一列代表一个一个特征向量，都是
   
  [[ 2 -3  1]
   [ 1 -2  1]
   [ 1 -3  2]]
  打印特征值a：
  [2.09037533e-15+0.00000000e+00j 1.00000000e+00+5.87474805e-16j
   1.00000000e+00-5.87474805e-16j]
  打印特征向量b：
  [[0.57735027+0.j         0.84946664+0.j         0.84946664-0.j        ]
   [0.57735027+0.j         0.34188085-0.11423045j 0.34188085+0.11423045j]
   [0.57735027+0.j         0.17617591-0.34269135j 0.17617591+0.34269135j]]
  三、关于图Fourier变换
   
  根据卷积原理，卷积公式可以写成
   
           D(i, j)=\left\{\begin{array}{ll}{d_{i}} & {\text { if } i=j} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right. 
       D(i,j)={di​0​ if i=j otherwise ​
   
           A(i, j)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { if } x_{i} \sim x_{j}} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right. 
       A(i,j)={10​ if xi​∼xj​ otherwise ​
   那么图上的Laplacian算子可以写成
   
                      学习心得（1）laplacian matrix就是无向图中定义 L=D−AL=D-AL=D−A，其中D为邻接矩阵，A为度矩阵（是一个对角矩阵）。（2）本文用的python计算拉普拉斯矩阵及其特征值、特征向量。文章目录学习心得一、背景介绍二、Python代码实现三、关于图Fourier变换Reference一、背景介绍定义一（图的邻接矩阵）：给定一个图G={V,E}\mathcal{G}=\{\mathcal{V}, \mathcal{E}\}G={V,E}，其对应的邻接矩阵被记为A∈{0,1
  def laplacian_matrix(graph):
    # 求邻接矩阵
    A = np.array(nx.adjacency_matrix(graph).todense())
    A = -A
    for i in range(len(A)):
    	# 求顶点的度
  				
  图神经网络（Graph Neural Network，GNN）是一类能够从图结构数据中学习特征规律的神经网络，是解决图结构数据（非欧氏空间数据）机器学习问题的最重要的技术。
  1 图神经网络的基础知识
    图神经网络（Graph Neural Network，GNN）是一类能够从图结构数据中学习特征规律的神经网络，是解决图结构数据（非欧氏空间数据）机器学习问题的最重要的技术之一。
    前面章节中主要介绍了神经网络的相关知识。接下来，让我们了解一下图神经网络相关的基础知识。
  1.1 欧氏...
  从图中可以看出当前点的位置与周围4个点位置之差， 即周围四个点之和 - 4*当前位置像素点，这种算法容易受到噪声点的干扰，不存在x和y轴的计算过程
  P5lap =( P2 + P4 + P6 + P8 ) - 4* P5
  import cv2
  img = cv2.imread("images/img2_small.jpg", cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
  laplacian = cv2.Laplacian(img,cv2.CV_64F)
  laplaci
  				
  谱聚类算法步骤
  整体来说，谱聚类算法要做的就是先求出相似性矩阵，然后对该矩阵归一化运算，之后求前个特征向量，最后运用K-means算法分类。实际上，谱聚类要做的事情其实就是将高维度的数据，以特征向量的形式简洁表达，属于一种降维的过程。本来高维度用k-means不好分的点，在经过线性变换以及降维之后，十分容易求解。谱聚类的步骤如下：
  1.按照式计算相似性矩阵
  2.使用KNN计算邻接矩阵A...