《利用组稀疏残差约束进行图像去噪》

题目： 《利用组稀疏残差约束进行图像去噪》

来源： Zha Z, Liu X, Zhou Z, et al. Image denoising via group sparsity residual constraint[C]. 2017 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP). IEEE, 2017: 1787-1791.

作者： Zhiyuan Zha1,3, Xin Liu2, Ziheng Zhou2, Xiaohua Huang2, Jingang Shi2, Zhenhong Shang3, Lan Tang1, Yechao Bai1, Qiong Wang1, Xinggan Zhang1,3

作者单位： 1 南京大学电子科学与工程学院；2 机器视觉和信号分析中心，芬兰奥卢大学；3 昆明理工大学信息工程与自动化学院

1.摘要

组稀疏残差在各种图像复原任务中显示出巨大的潜力，对此本文作者提出了一种通过组稀疏残差约束进行图像去噪的先验模型。为了提高组稀疏图像的去噪性能，提出了组稀疏残差的概念，将图像去噪问题转化为降低组稀疏残差的问题。为了能够减少残差，本文作者首先通过对含噪图像进行估计来获得对原始图像的组稀疏系数的一些好的估计，然后将噪声图像的组稀疏系数集中到估计中。实验结果表明，本文算法的去噪结果不仅优于已有的BM3D、WNNM等图像处理算法，而且具有更高的效率。

2. 组稀疏残差约束建模

2.1 基于组稀疏表示

最近的研究表明[1-3]，结构稀疏、组稀疏表示在图像去噪任务中能够获得更好地性能。具体地，对于一幅图像 \boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{N} 被分割成 n 个尺寸为 d \times d 的图像块 \mathbf{x}_{i} ， i=1,2, \dots n 。这时，对于每个样本块 \mathbf{x}_{i} ，在大小为 W \times W 的窗口中寻找 m 个相似块生成一个组 \mathbf{x}_{i} ，定义为 \boldsymbol{X}_{i}=\left\{\boldsymbol{x}_{i, 1}, \boldsymbol{x}_{i, 2}, \dots, \boldsymbol{x}_{i, m}\right\} ，其中 x_{i, m} 表示第 i 组中的第 m 个相似块（列向量）。相似于块稀疏表示模型，设计一个字典 \boldsymbol{D}_{i} ，每个组 \mathbf{x}_{i} 的稀疏表示可以表示为 \boldsymbol{B}_{i}=\boldsymbol{D}_{i}^{-1} \boldsymbol{X}_{i} ，并通过求解下面的 \ell_{p} 范数最小化问题，

\boldsymbol{B}_{i}=\arg \min _{\boldsymbol{B}_{i}}\left\{\left\|\boldsymbol{X}_{i}-\boldsymbol{D}_{i} \boldsymbol{B}_{i}\right\|_{F}^{2}+\lambda_{i}\left\|\boldsymbol{B}_{i}\right\|_{p}\right\}

这时，整个图像就可以通过所有的组稀疏编码集合来表示。基于此，图像去噪问题就转换为利用组稀疏编码从噪声组中重建图像，表示为：

A_{i}=\arg \min _{A_{i}}\left\{\left\|Y_{i}-D_{i} A_{i}\right\|_{F}^{2}+\lambda_{i}\left\|A_{i}\right\|_{p}\right\}

如此一来，一旦能够获得所有的组稀疏系数 \left\{A_{i}\right\} ，就能够通过 \mathbf{x}_{i} 重建原图像 X 。

2.2 组稀疏残差约束

尽管组稀疏已经证实了在图像去噪问题上的有效性，但是由于噪声的影响，很难从噪声图像Y中估计出来真实的组稀疏系数B。因此，图像去噪的质量很大程度上取决于组稀疏残差的水平，即定义组稀疏系数A与组稀疏系数B的差值，

\boldsymbol{R}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}

因此，为了减少组稀疏残差R，以及提升组稀疏系数A的精确度，作者提出了一种新的图像去噪模型，组稀疏残差约束（Group Sparsity Residual Constraint, GSRC）模型，因此能够得到下式：

\boldsymbol{A}_{i}=\arg \min _{A_{i}}\left\{\left\|\boldsymbol{Y}_{i}-\boldsymbol{D}_{i} \boldsymbol{A}_{i}\right\|_{F}^{2}+\lambda\left\|\boldsymbol{A}_{i}-\boldsymbol{B}_{i}\right\|_{p}\right\}

2.3 GSRC算法

在上式中，处理估计B的值，也需要决定p的取值。因此作者通过一些实验来研究残差的统计特性。在这写实验中，Leave（树叶）图像被用来进行图像去噪的操作，其中原图X已经加入了方差为30的高斯白噪声。作者绘制出来了R的直方图以及R拟合的高斯，拉普拉斯以及超拉普拉斯分布，如图1(a)所示。为了更好地观察其分布情况，在图1(b)中画出在对数域的直方图。

很明显，R的直方图能够更好地通过拉普拉斯分布来描述，因此使用L1范数来调整残差，利用下式对提出的模型进行求解，

\begin{aligned} \boldsymbol{A}_{i} &=\arg \min _{A_{i}}\left\{\left\|\mathbf{Y}_{i}-\boldsymbol{D}_{i} \boldsymbol{A}_{i}\right\|_{F}^{2}+\lambda\left\|\boldsymbol{A}_{i}-\boldsymbol{B}_{i}\right\|_{1}\right\} \\ &=\arg \min _{\boldsymbol{\tilde { \alpha }}_{i}}\left\{\left\|\tilde{\boldsymbol{y}}_{i}-\tilde{\boldsymbol{D}}_{i} \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{i}\right\|_{2}^{2}+\lambda\left\|\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{i}-\tilde{\boldsymbol{\beta}}_{i}\right\|_{1}\right\} \end{aligned}

通过上述分析，作者提出一种基于组稀疏残差约束的图像去噪算法，目前的去噪算法如下表所示。

3 实验结果

在这一节中，作者将本文提出的算法与现有的图像去噪算法BM3D，NCSR[4]，AST-NLS[5]，MSEPLL[6]进行对比。GSRC算法的参数设置如下，对相似块的搜索窗半径为30*30，同时 \tau 设置为0.0001，每一个图像块的大小设置为6*6，7*7，8*8，9*9。并且文章中的源代码能够在网站： http://www. ee.oulu.fi/ ˜xliu/research/gsrc/gsrc.html .中下载得到。文中首先在图2中的12幅图像中进行实验，加入方差为30，40，50，100的高斯白噪声。

各种去噪方法的PSNR结果如表1所示，能够发现本文提出的GSRC具有较强的性能。它能够得到0.39-0.6dB、0.46-0.76dB、0.08-0.14dB、0.3-0.41dB和0.61-0.66dB的提升针对BM3D、NCSR、WNNM、AST-NLS和MSEPLL算法，这说明本文提出的GSRC算法能够得到更好地图像去噪结果。举例来看，针对图像 foreman 和 House 而言，当噪声的标准差为100的时候，GSRC算法的PSNR比BM3D算法在数值上要高出1.24dB和1.37dB。

图3和图4分别显示了在噪声级别为40和100时各种去噪算法的结果图像。可以发现BM3D、NCSR、WNNM、AST-NLS和MSEPLL不仅生成了一些不良的伪像，而且丢失了一些细节。相比之下，GSRC能够更好地保留图像的边缘信息。由此来看，本文提出的GSRC算法能够获得更好地图像去噪结果。

效率是评估算法的另一个关键因素，因此作者比较了上文提到的图像去噪方法的速度。所有实验都是在Matlab 2012b环境下，在装有Intel（R）Core（TM）i3-4150、3.56Hz CPU和4GB内存的计算机上进行的。表2显示了各种去噪方法在测试图像上的运行时间。可以看出，与BM3D相比，本文提出的GSRC使用的计算时间比其他所有方法（除了BM3D）都要少，这可能是因为BM3D是通过C++实现的，而GSRC是在Matlab中实现的。

4 结论

在本文中，作者提出了一种新的先验模型，用于通过组稀疏残差约束进行图像去噪。为了提高组稀疏图像去噪的性能，提出了组稀疏残差的概念，从而将图像去噪问题转化为减少组稀疏残差的问题。为此，作者首先通过噪声图像的初步估计来获得对原始图像的组稀疏系数的一些好的估计，然后将噪声图像的组稀疏系数集中到估计中。实验结果表明，在PSNR和时间方面，该方法优于许多最新的去噪方法，例如BM3D和WNNM图像去噪算法。

5 思考

本文作者提出一种基于组稀疏残差约束的图像去噪算法。不同于传统的基于单一非局部自相关先验信息方法，2种非局部自相关先验信息被用于图像去噪，即噪声图像的非局部自相关先验信息以及自然图像的非局部自相关先验信息。为了提升图像去噪的性能，提出了组稀疏残差的概念，将图像去噪问题转化为如何减少组稀疏残差，由于自然图像组包含了许多非局部自相关先验信息，作者首先利用高斯混合模型从自然图像中学习原图像的组稀疏估计；其次，噪声图像的组稀疏系数被用来逼近原图像的组稀疏估计。实验结果表明提出的图像去噪算法相比于现有的图像去噪方法，可以获得更好的去噪性能。

6 参考文献

[1] Julien Mairal, Francis Bach, Jean Ponce, Guillermo Sapiro, and Andrew Zisserman, “Non-local sparse models for image restoration,” in 2009 IEEE 12th International Conference on Computer Vision. IEEE, 2009, pp. 2272–2279.

[2] Kostadin Dabov, Alessandro Foi, Vladimir Katkovnik, and Karen Egiazarian, “Image denoising by sparse 3-d transform domain collaborative filtering,” IEEE Transactions on image processing, vol. 16, no. 8, pp. 2080–2095, 2007.

[3] Hui Ji, Sibin Huang, Zuowei Shen, and Yuhong Xu, “Robust video restoration by joint sparse and low rank matrix approxi mation,” SIAM Journal on Imaging Sciences, vol. 4, no. 4, pp. 1122–1142, 2011.

[4] Weisheng Dong, Lei Zhang, Guangming Shi, and Xin Li, “Nonlocally centralized sparse representation for image restoration,” IEEE Transactions on Image Processing, vol. 22, no. 4, pp. 1620–1630, 2013.

[5] Hangfan Liu, Ruiqin Xiong, Jian Zhang, and Wen Gao, “Image denoising via adaptive soft-thresholding based on non-local samples,” in Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, 2015, pp. 484–492.

[6] Vardan Papyan and Michael Elad, “Multi-scale patch-based image restoration,” IEEE Transactions on Image Processing, vol. 25, no. 1, pp. 249–261, 2016.