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本文深入探讨最优化方法的基础，包括二次型与正定矩阵，方向导数与梯度，特别是Hesse矩阵和泰勒展开式在函数极小点判定中的应用。还介绍了凸集、凸锥的概念，以及极小点的数学条件和约束优化问题的分类。
摘要由CSDN通过智能技术生成
Hesse(/ˈhɛsə/)矩阵
▽ 2 f ( X 0 ) = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 1 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 ∂ x 1 ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 ∂ x n ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ▽ 2 f ( X 0 ) = [ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 2 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 ∂ x n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ( X
▽ 2 f ( X 0 ) = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 1 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 ∂ x 1 ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 ∂ x n ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ▽ 2 f ( X 0 ) = [ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 2 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x 2 ∂ x n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∂ 2 f ( X 0 ) ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ( X
1. 凸集
Def:Set XXX\ in RnR^nRnis convex iff
αx1+(1−α)x2∈X ∀x1,x2∈X,∀α∈[0,1]\alpha x_1+(1-\alpha)x_2\in X \ \forall x_1,x_2\in X,\forall\alpha\in[0,1]αx1+(1−α)x2∈X ∀x1,x2∈X,∀α∈[0,1]
凸集意味着：凸集中的任意两点之间的连线上的点也是凸集中的点。
2. 超平面
超平面被定义为一个点集X={x∣cTx=z}X=
1.1 矩阵内积与迹
类似于向量的内积，我们可以定义矩阵的内积。具体地，对于两个m×nm\times nm×n的矩阵A,BA,BA,B，其内积定义为：
⟨A,B⟩=∑i,jaijbij\langle A,B\rangle=\sum\limits_{i,j}a_{ij}b_{ij}⟨A,B⟩=i,j∑aijbij
从定义可以看出⟨A,B⟩=⟨B,A⟩\langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle⟨A,B⟩=⟨B,A⟩。对于方阵A∈Rm×mA\in\mathbb{
从本质上讲，人工智能的目标就是最
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：在复杂环境与多体交互中做出最优决策。几乎所有的人工智能问题最后都会归结为一个
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理论同样是人工智能必备的
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理论（optimization）研究的问题是判定给定目标函数的最大值（最小值）是否存在，并找到令目标函数取到最大值（最小值）的数值。如果把给定的目标函数看成连绵的山脉，最
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的过程就是判断顶峰的位置并找到到达顶峰路径...
一.百度百科单峰函数定义：
单峰函数是在所考虑的区间中只有一个严格局部极大值(峰值)的实值函数。
如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上只有唯一的最大值点C，而在最大值点C的左侧，函数单调增加；在点C的右侧，函数单调减少，则称这个函数为区间 [a, b] 上的单峰函数。反之，这个函数叫做单谷函数。
二
.在...
范数：有别于标量，向量和矩阵并不能直接进行大小比较。所以向量范数和矩阵范数给出了一种长度计量方式向量范数（范数）：如果满足以下条件，那么就称一个从向量空间Rn\R^{n}Rn到实数域R\RR的非负函数||▪||为范数最常用的向量范数即我们所熟知的ppp范数（p≥1p \geq1p≥1）∣∣v∣∣p=(∑i=1n∣vi∣p)1p||v||_{p}=(\sum\limits_{i=1}^{n}|v_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}}∣∣v∣∣p=(i=1∑n∣vi∣p)p1
（2）向量范
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