数学领域分类
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下面简单介绍数学的各领域
一、 基础与哲学
为了阐明数学基础，
数学逻辑和集合论
等领域被发展了出来。
数学逻辑
专注于将数学置在一坚固的公理架构上，并研究此一架构的结果。就数学逻辑本身而言，其为
哥德尔第二不完备定理
所属的领域，而这或许是逻辑中最广为流传的成果－总存在一不能被证明而又为真的定理。
现代逻辑
被分成
递归论、模型论和证明论
，且和理论计算机科学有着密切的关连性，千禧年大奖难题中的P/NP问题就是理论计算机科学中的著名问题。
二、纯粹数学
- 数量
数量的研究起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算。整数更深的性质于
数论
中有详细的研究，此一理论包括了如
费马最后定理
等著名的结果。数论还包括两个被广为探讨的未解问题：
孪生素数猜想及哥德巴赫猜想
。
当数系更进一步发展时，
整数
被视为有理数的子集，而
有理数
则包含于实数中，连续的量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成
复数
。数的进一步广义化可以持续至包含
四元数及八元数
。从自然数亦可以推广到
超限数
，它形式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为大小，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：
阿列夫数
，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。
2. 结构
许多如
数及函数的集合
等数学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于
群、环、域
等抽象系统中，该些物件事实上也就是这样的系统。此为
代数
的领域。在此有一个很重要的概念，即广义化至矢量空间的
矢量
，它于线性代数中被研究。矢量的研究结合了数学的三个基本领域：
数量、结构及空间
。矢量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即
变化
。
创立于二十世纪三十年代的法国的
布尔巴基学派
认为：纯粹数学是研究
抽象结构
的理论。 结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。 布尔巴基学派认为，有三种基本的抽象结构：
代数结构
（群，环，域…），
序结构
（偏序，全序…），
拓扑结构
（邻域，极限，连通性，维数...）
3. 空间
空间的研究源自于几何，尤其是
欧几里得几何
。
三角学
则结合了空间及数，且包含有著名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几里得几何（其在广义相对论中扮演着核心的角色）及
拓扑学
。数和空间在
解析几何、微分几何和代数几何
中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的微积分等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有着
拓扑群
的研究，结合了结构与空间。
李群
被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域，并包含有存在已久的
庞加莱猜想
，以及有争议的
四色定理
。庞加莱猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明，而四色定理已在1976年由凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯用电脑证明，而从来没有由人力来验证过。
4. 变化
了解及描述变化在自然科学里是一普遍的议题，而
微积分
为研究变化的有利工具。
函数
诞生于此，做为描述一变化的量的核心概念。对于实数及
实变函数
的严格研究为
实分析
，而
复分析
则为复数的等价领域。
黎曼猜想
作为数学最基本的未决问题之一，便是以复分析来描述的。
泛函分析
注重在函数的（一般为无限维）空间上。泛函分析的众多应用之一为
量子力学
。许多的问题很自然地会导出一个量与其变化率之间的关系，而这在
微分方程
中被研究。在自然界中的许多现象可以被动力系统所描述；
混沌理论
则是对系统的既不可预测而又是决定的行为作明确的描述。
三、离散数学
离散数学是指对理论计算机科学最有用处的数学领域之总称，这包含有
可计算理论、计算复杂性理论及信息论
。
可计算理论
检验电脑的不同理论模型之极限，这包含现知最有力的模型－图灵机。
复杂性理论研究
可以由电脑做为较易处理的程度；有些问题即使理论是可以用电脑解出来，但却因为会花费太多的时间或空间而使得其解答仍然不为实际上可行的，尽管电脑硬件的快速进步。最后，
信息论
专注在可以储存在特定媒介内的数据总量，且因此有压缩及熵等概念。
作为一相对较新的领域，离散数学有许多基本的未解问题。其中最有名的为 P/NP问题 －千禧年大奖难题之一。一般相信此问题的解答是否定的。
四、应用数学
应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。应用数学中的一重要领域为
统计学
，它利用
概率论
为其工具并允许对含有机会成分的现象进行描述、分析与预测。大部分的实验、调查及观察研究需要统计对其数据的分析。
数值分析
研究有什么计算方法，可以有效地解决那些人力所限而算不出的数学问题；它亦包含了对计算中舍入误差或其他来源的误差之研究。
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