1. (a) 首先介紹二階行列式計算法,彼即轉入三階行列式之計算法,并以個位數之情形進行心算訓練。 (b) 行列式之性質可分兩節課講述,其中“把某一列(行)元素乘同一常數後加至另一列(行),行列式值不變”這一性質應以足夠重視。 行列式之因式分解和四階行列式之計算亦分兩節進行。 2. (a) 介紹矩陣之定義時,特別注意不要與行列式混淆。 (b) 矩陣運算重點是乘法,可要求學生舉出 A × B = B × A×B≠B×A之例子。 (c) 注意 KA之行列式不等於K|A|。 (d)|A.B|=|B|.|A|=|A|.|B|。 (e) 講述逆矩陣A -1 時,應強調A -1 不是 。 (f) 三階方陣之逆矩陣一般采用CofA→abjA→A -1 途徑,但應首先計算|A|,因為|A|=0,A -1 便不必計算了。 3. (a) 線性規劃方面,建議先講實例,引起學生學習興趣。預備知識為一元二次不等式之圖解法。在掌握了凸多邊形之作法後,介紹基本定理:線性函數之極大極小值必於頂點上達到,從而計算凸多邊形頂點(只有數個)上函數之值加以比較,即可求解線性規劃問題。 若要探討三元問題,因圖解法不適用,故用節點計算法,先解聯立方程得全部頂點,逐個驗證其是否在約束條件之內,淘汰不適合者,再在餘下節點上計算函數f之值,加以比較而得出結論。 第二章 函數、極限 6. 正確理解常量與變量,無窮小變量與無窮大變量。 7. 掌握求序列極限之一些簡單方法,認識擠壓定理(三文治定理)并能加以應用。 8. 認識連續變量和函數之限極 (限於代數函數和簡單三角函數)。 9. 認識兩個重要極限 (a) = 1 (○) (b) (*) 10. 認識分段定義函數和連續函數概念。

1. 函數概念

(a) 函數之定義域、值域 (b) 複合函數、反函數 2. 序列之極限 (a) 直觀概念 (b) 運算法則 3. (a) 函數之極限和 (b) 函數之連續性
1. y=f(x) 由x決定y,而且一個x對應一個y,則稱y為x之函數,x為主動變量,而y為被動變量 (因變量)。 介紹此一概念之後,舉一些常用例子以及日常生活中兩變數之間的函數關係。 2. 介紹幾種常用的函數分類分式: 奇函數與偶函數、單調上升與單調下降函數、代數函數與超越函數(三角函數,對數函數,指數函數)。 3. 求一些簡單函數之定義域和值域。 例:y=常數c,定義域為整個實數集,值域為單點集{c}。 y=3x-2,定義域R,值域亦為R。 y=sinx定義域R,值域為[-1,1]。 進而 y= 求定義域和值域等等,并闡明區間之表示法。 4. 函數之複合應按步就班,由簡入繁。  例:(1) y=f(x)=3x– 2     x=g(t)=t+4    則y=f[g(t)]=3(t+4)-2=3t+10    (2) 反向情形:已知f (3x-2)=x+1     求f (x) [ f (x)= ]    (3) y = log(1+x) x= 複合為 y=log( +1 )    (4) y= x= 複合為 y= 5. 介紹反函數概念和存在條件  例 y = f(x) x = 一般來說,單調上升(下降)之函數可建立反函數…非單調之函數,例如 y = sinx,y = x 2 等等,採用選取單值分支方法,亦可建立反函數。 介紹無窮序列時,以無窮等比級數開始,緊接著舉出下列例子:  進而引入極限概念: a n =a 7. 證明貝努里不等式:(1+h) n ≧1+nh ( 其中 h>-1 )-採用數學歸納法。 8. 講述三文治定理 (擠壓定理),及證明一些序列之極限。 序列極限的運算法則只講述而不加以證明,重點在舉例應用。 10. 引入無窮小變量和無窮大變量之名詞解釋含義。 11. 講述函數y = f(x) 在點x = x 0 連續之定義: f(x)=f(x 0 ) 同時引入分段定義函數 (如:y=|x|等) 12. 證明: *及介紹e之一種定義:

1. 認識導數之幾何意義---切線鈄率。利用導數寫出曲線在指定點之切線方程和法線方程。

2. 認識曲線之升降和導數之對應關係(* 凹凸和二階導數之關係 ) 并利用此知識描繪二次曲線、三次曲線。 3. 理解相對極大(小)和最大(小)值之區別,利用導數求某些函數之極大(小)值和最大(小)值,解決一些實際應用問題。 認識導數在物理學(和其他方面)之應用,明暸改變率之概念(主要針對瞬時速度和加速度問題)。 1. 曲線之切線與法線 2. 極值問題 3. 改變率 4. 代數函數之圖象 複習解析幾何,在圓錐曲線中已知切點求切線方程,引入“導數即切線鈄率m”并寫出切線方程作一對比。隨即深入到三次曲線之切線方程和法線方程。 2. 複習函數之上升、下降概念: (a) 引入f ' (x)≧0 則 f(x)↑  及f ' (x)≦0 則 f(x)↓之結論。 探討函數作圖要則:奇偶、對稱、截部、走向無窮大、上升、下降、轉向點。 若可能,亦探討凹凸性和二次導數之對應關係以及拐點。 3. 介紹求相對極值之一般方法 : (a) 先求 f'(x)→令f ' (x)=0并求出相對應之根 x,→考慮 x = x 1 前後之符號是否改變(或f '' (x 1 )之正負)→作出判定。 例:二次函數 y=1-x-x 2 求極大值   三次函數 y= y 3 -1( 沒有極值 )   y=x 3 -6x 2 +9x-2(有極大及極小值) *(b) y=f(x) x [a,b]最大值之求法,在考慮了(a)之後,要和端點值比較。  例如:若x [0,5]    求y=f(x)=x 3 -6x 2 +9x-2之最大值    用(a)求出 x=1 y取相對極大值2    但 f(0)= -2 f(5) = 18    故最大值為 f(5) = 18 4. (a) 導數在物理上之應用,可採用自由落 體運動作為例子。  (b) 改變率可採用下述例子:一個5米長之梯,斜靠於垂直的牆上,地面梯足離牆3米,若以4/3米/秒速度抽離,求頂部下落之速度。 函數作圖是較為困難之項目,建議介紹三次函數。(*)  例如:y=x 3 +2x 2 -4x-8 第五章 不定積分與定積分 作為導數之反運算建立不定積分概念,為了對積分常數加深認識,可考慮下例: 若曲線f(x)在點(x,y)之切線鈄率為2x,且曲線通過點(3,1),求該曲線方程。  解f ' (x)=2x→f(x)=x 2 +c

∵過點 (3,1)   1=3 2 +c c=   故 y = x 2 - 8 2. 積分公式表,建議逐步建立。 3. 先要求學生掌握多項式之積分法,後以∫(x+1) 4 dx ∫(2x-3) 5 dx為例,介紹換元法,并輔以大量之練習。 至於三角函數 sinx  secx  cosecx 之積分略為困難。 許可時,講授分部積分法以及相關的遞推公式。分項分式和分式積分亦視實際情況而定。 5. (a) 黎曼和之概念是定積分理論基礎,是十分重要的,應予介紹: 例1: y = x,x [0,1] 計出黎曼小和: s ' = 黎曼大和: 例2:y=x2 x [0,1]  同樣,計出大和及小和 (由學生計算) (b) 介紹微積分基本定理 (牛頓-萊布尼茲定理),利用此定理計算定積分。 4. 物理上之應用 定積分之定義已顯示了,曲多邊形之面積可由定積分而得.主要的工作是求兩曲線圍成之面積,鑒於作圖有一定的困難,不宜過分深入.一般重點在於圓、拋物線、橢圓、雙曲線以及直線圍成之面積。 2. (a) 建立旋轉體體積公式:   ( y=f(x) 繞X軸旋轉 ) (b) y=f(x) x [a,b]繞 y 軸旋轉時之 3. 以錐體為例,先求截面面積f(x),再由定積分求取體積。 定積分在物理上之應用可以路程問題和功,以及平面圖形之重心為目標。 第七章 統計學初階 3. 離散趨向參數要分清方差Var和標準差S.D (方差比標準差更方便於應用)。 隨機變量,分佈函數,密度函數之概念應予介紹,二項分佈則視實際情形作剪裁,一般來說,應講授正態分佈及正態分佈表之態應用,這方面實例很多,同學有濃厚興趣。 恆生指數和物價指數已是日常生活名詞,此內容極受歡迎(主要是區分拉氏指數和裴氏指數)。 相關係數,不妨討論中文與英文,數學與物理之相關係數.取十人為樣本進行實際計算,必定令同學們興趣盎然。 介紹“迴歸”此一名詞之數學上意義及其產生背景,以小麥之施肥量X和產量Y之數據為例加以闡述:

a=80-7-3=59

為直線配適公式。

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第八章 高中數學的複習、鞏固與提高

重溫不等式的基本性質,能正確掌握和應用不等式的性質。 4. 能解一元n次不等式,含絕對值的不等式,二元一次不等式組,含已知條件的不等式。 5. 不等式的證明,要求掌握幾種常用的證明方法:比較法、綜合法、分析法、放縮法、判別式法、數學歸納法。 熟練掌握不等式在對數、指數、函數等問題中的應用。 (二) 不等式 (1) 不等式的基本概念 (2) 不等式的基本性質 (3) 解不等式(不等式組) (4) 不等式的證明 (5) 綜合應用題 (二) 不等式 1. 不等式的基本概念:  強調 a≦b 與 a不大於b等同    a b 與 a不小於 b等同  學生容易產生的錯誤:對不等式的含義理解不足,認為 2≦3 是錯誤的。 不等式的性質:強調數不能比較大小,所以不等式只能定義在實數集上,因此不等式的基本性質與實數的基本性質有關。在重溫不等式的基本性質時,可著重溫習以下幾個性質,并注意不等式成立的條件:  若 a> b 且 c< 0 則 ac< bc  若 a,b 都是正數,則a 2 +b 2 2ab  (當且僅當 a = b 時,等式成立)  若 a,b都是正數,則 (當且僅當 a = b 時,等式成立) 當不等式中有n項含有絕對值時,應先求出每個絕對值符號里使代數式為零的x的根,這些根把數軸分成若干個區間,在各個區間內討論去掉絕對值符號,化為一般的不等式,然後取其公共解。 3. 不等式的證明: (a) 比較法:  要證a>b,只要證a-b>0  或 >1 ( b>0 ),對a<b情況亦然。 (b) 綜合法與分析法:  根據已知條件或已證明的基本不等式,運用不等式的性質,推出所要證明的結論,綜合法是不等式證明常用的方法。  對於一些不等式證明較難時,可用分析法,假設結論成立,利用不等式性質,推出已知條件或絕對不等式,然後再倒推回去。 (三) 方程 1. 能正確地解二元一次及三元一次聯立方程組。 2. 能用因式分解法和公式法解一元二次方程。 3. 能應用一元二次方程根的判別式和韋達定理解題。 4. 能用因式分解法或換元法解一元高次方程(一元三次方程或準一元二次方程)。 5. 能解分式方程和無理方程。 6. 掌握指數、對數凡基本性質及運算法則,能靈活運用對數的換底公式。 7. 會解指數方程的對數方程。 (三) 方程 (1) 二元一次及三元一次聯立方程組 (2) 一元二次方程 (3) 一元高次方程 (4) 分式方程 (5) 無理方程 (6) 指數方程和對數方程 (三) 方程 1. 一元二次方程是本章的重點,宜著重複習韋達定理的應用:求值或求作新方程。 2. 解一元三次方程多用因式分解法,應掌握雙交叉法或運用綜合除法及餘式定理分解出一次因式。 3. 解分式方程和無理方程時,特別要注意驗根,避免產生增根或失根的情況。 4. 解指數方程和對數方程時,可利用指數和對數的互化關係及化為同底的方法解之。 (四) 函數 1. 理解函數、函數的定義域、值域的概念。 2. 能求函數的定義域和值域。 3. 能求反函數的定義域,值域及表達式。 4. 能判定函數的奇偶性、單調性、周期性。 5. 能求二次函數的最大值或最小值。 (四) 函數 (1) 函數概念 (2) 函數的定義域、值域 (3) 函數的性質、圖象 (4) 函數的最大值或最小值 (四) 函數 1. 在討論函數的定義域、值域時,宜複習帶有根式、絕對值、對數的函數(例如,一次函數,二次函數,指數函數,對數函數)。 2. 複習常用的初等函數的性質及圖象。 3. 求函數的最大值或最小值的方法: (a) 二次函數的極值可用配方法、判別式法。 (b) 根據函數的值域 (特別是三角函數的值域)。 (c) 應用函數的單調性。 (d) 應用不等式性質 (算術平均數和幾何平均數之間關係)。 (e) 應用幾何、三角的變換方法。 (五) 級數 1. 能運用等差級數和等比級數的通項公式、求和公式解題。 2. 掌握無窮等比級數的應用。 (五) 級數 (1) 等差級數 (2) 等比級數 (五) 級數 著重複習等差級數和等比級數的應用題。 (六) 複數 1. 理解複數的定義,複數相等及共軛複數的定義。 2. 複數的表示法要求掌握:複數的代數形式,複數的幾何表示,複數的三角形式。 3. 複習用代數形式進行複數的加、減運算。 4. 掌握用三角形式進行複數的乘法、除法、乘方、開方運算。 5. 理解複數加、減、乘、除運算的幾何意義。 (六) 複數 (1) 複數的概念 (2) 複數的表示法 (3) 複數的運算 (4) 複數之極式 (六) 複數 1. 複習i 乘冪的運算。 2. 複數的化簡常常用到三角函數的公式,可針對性地重溫有關的三角函數公式。 3. 複數運算的幾何意義較為重要,宜重點複習複數乘除的幾何意義。 例z 1 =1+i,z 2 =-2+3i 在複平面上對應點分別是P 1 和P 2 ,將P 1 P 2 繞P 1 逆時針轉動 到P 1 P 3 ,求P 3 所對應的複數z 3 。 4. 建議在此章中提出:一元n次方程在複數集中,一定有n個根。  若a + bi (a,b R) 是實系數一元n次方程的根,則它的共軛複數a- bi也是這個方程的根。 二項式定理、數學歸納法、排列、組合、概率 1. 能求二項展開式中指定項的係數。 2. 能求二項展開式中各項係數的和。 3. 能用數學歸納法證明數列的和及整除性。 4. 正確解決有條件排列、重覆排列、同物排列的問題。 5. 正確解決有條件組合及排列組合的混合問題。 6. 能求有關問題的概率及期望值。 二項式、數學歸納法、排列、組合、概率 二項式定理、數學歸納法、排列、組合、概率  在講述二項式定理時,除複習二項展開式的通項公式外,宜補充三項展開式的通項公式。 例:求(3x 2 -x+1) 5 展開式中x 4 的係數。 解:通項公式 由條件:p+q+r=5     2p+q=4 含x 4 的係數: =5+90+90=185 1. 掌握正弦函數、餘弦函數圖象和性質,能求出Asin(ωx+Φ)的周期、振幅、六頻率。 2. 理解三角函數定義,掌握三角函數符號,熟記特殊角的三角函數。 3. 掌握同角三角函數之間的關係、誘導公式、兩角和與差的三角函數、倍角公式、半角公式。 4. 能用正弦定理、餘弦定理解應用題。 5. 能求簡單三角方程的解。 (九) 三角函數 圖象、周期、振幅、頻率、三角學 的應用、簡單三角方程的解 (九) 三角函數  在複習三角學之應用時,可加插下列類形的問題:  極值問題:(a) y = cosq 2 -3cosq +2        (代數三角結合)   (b) y = 2cosq +3sinq (輔助角) (十) 直線、解析幾何 1. 掌握兩點間距離公式、點到直線距離公式、定比分點公式 2. 理解斜率的意義及掌握過兩點的斜率公式。 3. 掌握兩條直線平行和垂直的條件,兩直線的交角公式。 4. 能根據已知條件,求出直線方程(點斜式、兩點式、截斜式、一般式)。 5. 理解平面曲線與其方程之間的關係,能根據已知條件選取適當的坐標系求曲線的方程。 6. 掌握圓錐曲線的標準方程,次標準方程及幾何性質。 7. 能求圓錐曲線的切線方程。 (十) 直線、解析幾何 直線、圓錐曲線 (十) 直線、解析幾何 1. 溫習有關概念和定義及方程之後,宜選擇一些綜合性的題目,讓學生練習,并參照近年升大試題,多做一些有關的選擇題,培養答題的速度。 2. 讓學生理解圓錐曲線的切線的定義。