MATLAB优化问题(1)__matlab最优化问题

5.2 foptions函数

对于优化控制， MATLAB 提供了 18 个参数，这些参数的具体意义为：

options(1)- 参数显示控制（默认值为 0 ）。等于 1 时显示一些结果。

options(2)- 优化点 x的精度控制 ( 默认值为 1e-4) 。

options(3)- 优化函数 F 的精度控制 ( 默认值为 1e-4) 。

options(4)- 违反约束的结束标准 ( 默认值为 1e-6) 。

options(5)- 算法选择，不常用。

options(6)- 优化程序方法选择，为 0 则为 BFCG 算法，为 1 则采用 DFP 算法。

options(7)- 线性插值算法选择，为 0 则为混合插值算法，为 1 则采用立方插算法。

options(8)- 函数值显示 ( 目标—达到问题中的 Lambda )

options(9)- 若需要检测用户提供的梯度，则设为 1 。

options(10)- 函数和约束估值的数目。

options(11)- 函数梯度估值的个数。

options(12)- 约束估值的数目。

options(13)- 等约束条件的个数。

options(14)- 函数估值的最大次数（默认值是 100 ×变量个数）

options(15)- 用于目标 — 达到问题中的特殊目标。

options(16)- 优化过程中变量的最小有限差分梯度值。

options(17)- 优化过程中变量的最大有限差分梯度值。

options(18)- 步长设置 ( 默认为 1 或更小 ) 。

Foptions已经被optimset和optimget代替，详情请查函数optimset和optimget。

5.3 非线性规划问题

5.3.1 有约束的一元函数的最小值

单变量函数求最小值的标准形式为 sub.to

在 MATLAB5 .x中使用fmin函数求其最小值。

函数 fminbnd

格式 x = fminbnd(fun,x1,x2) % 返回自变量 x在区间上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。

x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options 为指定优化参数选项

[x,fval] = fminbnd( … ) % fval 为目标函数的最小值

[x,fval,exitflag] = fminbnd( … ) %xitflag 为终止迭代的条件

[x,fval,exitflag,output] = fminbnd( … ) % output 为优化信息

说明若参数 exitflag >0，表示函数收敛于x，若 exitflag=0 ，表示超过函数估计值或迭代的最大数字， exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数 output= iterations表示迭代次数， output= funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。

例 5-2 计算下面函数在区间(0， 1 )内的最小值。

解：>> [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)

0.5223

fval =

0.3974

exitflag =

output =

iterations: 9

funcCount: 9

algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'

例 5-3 在 [0 ， 5] 上求下面函数的最小值

解：先自定义函数：在 MATLAB 编辑器中建立 M 文件为：

function f = myfun(x)

f = (x-3).^2 - 1;

保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令：

>> x=fminbnd(@myfun,0,5)

则结果显示为：

5.3.2 无约束多元函数最小值

多元函数最小值的标准形式为

其中：x为向量，如

在 MATLAB 5.x中使用fmins求其最小值。

命令利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值

函数 fminsearch

格式 x = fminsearch(fun,x0) %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。

x = fminsearch(fun,x0,options) % options 查 optimset

[x,fval] = fminsearch( … ) % 最优点的函数值

[x,fval,exitflag] = fminsearch( … ) % exitflag 与单变量情形一致

[x,fval,exitflag,output] = fminsearch( … ) %output 与单变量情形一致

注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。

例 5-4 求的最小值点

解：>>X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0])

1.0016 0.8335

或在 MATLAB 编辑器中建立函数文件

function f=myfun(x)

f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2;

保存为myfun.m，在命令窗口键入

>> X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0])

1.0016 0.8335

命令利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值

函数 fminunc

格式 x = fminunc(fun,x0) % 返回给定初始点 x0的最小函数值点

x = fminunc(fun,x0,options) % options 为指定优化参数

[x,fval] = fminunc( … ) %fval 最优点 x处的函数值

[x,fval,exitflag] = fminunc( … ) % exitflag 为终止迭代的条件，与上同。

[x,fval,exitflag,output] = fminunc( … ) %output 为输出优化信息

[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc( … ) % grad 为函数在解 x处的梯度值

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc( … ) % 目标函数在解 x处的海赛（ Hessian ）值

注意：当函数的阶数大于 2 时，使用 fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。

例 5-5 求的最小值。

>> fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';

>> x0=[1 1];

>> [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)

1.0e-008 *

-0.7591 0.2665

fval =

1.3953e-016

exitflag =

output =

iterations: 3

funcCount: 16

stepsize: 1.2353

firstorderopt: 1.6772e-007

algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'

grad =

1.0e-006 *

-0.1677

0.0114

hessian =

6.0000 2.0000

2.0000 2.0000

或用下面方法：

>> fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')

fun =

Inline function:

fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2

>> x0=[1 1] ；

>> x=fminunc(fun,x0)

1.0e-008 *

-0.7591 0.2665

5.3.3 有约束的多元函数最小值

非线性有约束的多元函数的标准形式为：

sub.to

其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。

在 MATLAB5 .x中，它的求解由函数constr实现。

函数 fmincon

格式 x = fmincon(fun,x0,A,b)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

[x,fval] = fmincon( … )

[x,fval,exitflag] = fmincon( … )

[x,fval,exitflag,output] = fmincon( … )

[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon( … )

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon( … )

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon( … )

参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义；

x0为初始值；

A 、 b满足线性不等式约束，若没有不等式约束，则取 A=[ ] ， b=[ ] ；

Aeq、beq满足等式约束，若没有，则取 A eq=[ ] ， beq=[ ] ；

lb、ub满足，若没有界，可设lb=[ ] ， ub=[ ] ；

nonlcon 的作用是通过接受的向量 x来计算非线性不等约束和等式约束分别在x处的估计 C 和 Ceq，通过指定函数柄来使用，如：>>x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon) ，先建立非线性约束函数，并保存为 mycon.m： function [ C,Ceq] = mycon(x)

C = … % 计算 x处的非线性不等约束的函数值。

Ceq = … % 计算 x处的非线性等式约束的函数值。

lambda 是 L agrange乘子，它体现哪一个约束有效。

output输出优化信息；

grad 表示目标函数在 x处的梯度；

hessian 表示目标函数在 x处的Hessiab值。

例 5-6 求下面问题在初始点（ 0 ， 1 ）处的最优解

sub.to

解：约束条件的标准形式为

sub.to

先在 MATLAB 编辑器中建立非线性约束函数文件：

function [c, ceq]=mycon (x)

c=(x(1)-1)^2-x(2);

ceq=[ ]; % 无等式约束

然后，在命令窗口键入如下命令或建立 M 文件：

>>fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; % 目标函数

>>x0=[0 1];

>>A=[-2 3]; % 线性不等式约束

>>Aeq=[ ]; % 无线性等式约束

>>beq=[ ];

>>lb=[ ]; %x没有下、上界

>>ub=[ ];

>>[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]

=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)

3 4

fval =

exitflag = %解收敛

output =

iterations: 2

funcCount: 9

stepsize: 1

algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'

firstorderopt: [ ]

cgiterations: [ ]

lambda =

lower: [2x1 double] %x下界有效情况，通过lambda.lower可查看。

upper: [2x1 double] %x上界有效情况，为 0 表示约束无效。

eqlin: [0x1 double] % 线性等式约束有效情况，不为 0 表示约束有效。

eqnonlin: [0x1 double] % 非线性等式约束有效情况。

ineqlin: 2.5081e-008 % 线性不等式约束有效情况。

ineqnonlin: 6.1938e-008 % 非线性不等式约束有效情况。

grad = % 目标函数在最小值点的梯度

1.0e-006 *

-0.1776

hessian = % 目标函数在最小值点的 H essian值

1.0000 -0.0000

-0.0000 1.0000

例 5-7 求下面问题在初始点x=(10, 10, 10)处的最优解。

Sub.to

解：约束条件的标准形式为

sub.to

>> fun= '-x(1)*x(2)*x(3)';

>> x0=[10,10,10];

>> A=[-1 -2 -2;1 2 2];

>> b=[0;72];

>> [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b)

24.0000 12.0000 12.0000

fval =

-3456

5.3.4 二次规划问题

二次规划问题（ quadratic programming ）的标准形式为：

sub.to

其中， H 、 A 、 A eq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量

其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。

MATLAB5.x版中的qp函数已被 6.0 版中的函数 quadprog取代。

函数 quadprog

格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中 H ,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq 满足等约束条件。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub 分别为解 x的下界与上界。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options 为指定的优化参数

[x,fval] = quadprog( … ) % fval为目标函数最优值

[x,fval,exitflag] = quadprog( … ) % exitflag 与线性规划中参数意义相同

[x,fval,exitflag,output] = quadprog( … ) % output与线性规划中参数意义相同

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog( … ) % lambda与线性规划中参数意义相同

例 5-8 求解下面二次规划问题

sub.to

>>b = [2; 2; 3];

>>lb = zeros(2,1);

>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)

x = % 最优解

0.6667

1.3333

fval = % 最优值

-8.2222

exitflag = % 收敛

output =

iterations: 3

algorithm: 'medium-scale: active-set'

firstorderopt: [ ]

cgiterations: [ ]

lambda =

lower: [2x1 double]

upper: [2x1 double]

eqlin: [0x1 double]

ineqlin: [3x1 double]

>> lambda.ineqlin

ans =

3.1111

0.4444

>> lambda.lower

ans =

说明第 1 、 2 个约束条件有效，其余无效。

例5-9 求二次规划的最优解

max f (x1, x2)=x1x2+3

sub.to x1+x2-2=0

解：化成标准形式：

sub.to x1+x2=2

在Matlab中实现如下：

>>H=[0,-1;-1,0];

>>f=[0;0];

>>Aeq=[1 1];

>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,[ ],[ ],Aeq,b)

1.0000

fval =

-1.0000

exitflag =

output =

firstorderopt: 0

iterations: 1

cgiterations: 1

algorithm: [1x58 char]

lambda =

eqlin: 1.0000

ineqlin: [ ]

lower: [ ]

upper: [ ]

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