1、表达式

在cvxpy中表达式由变量、参数、数值常量(例如Python floats、Numpy matrices)、标准算数运算符(+, -, *, /) 和标准库函数。
如下是cvxpy表达式的例子：

from cvxpy import *
# Create variables and parameters.
//建立变量与参数
x, y = Variable(), Variable()
a, b = Parameter(), Parameter()
# Examples of CVXPY expressions.
//cvxpy表达式：
3.69 + b/3
x - 4*a
sqrt(x) - min_elemwise(y, x - a)
max_elemwise(2.66 - sqrt(y), square(x + 2*y))

表达式可以是标量、向量或者矩阵。表达式的维度被存储在 expr.size ，如果使用表达式的维度没有意义，cvxpy将会抛出异常，例如两个不同size的矩阵相加。

import numpy
X = Variable(5, 4)
A = numpy.ones((3, 5))
# Use expr.size to get the dimensions.
print "dimensions of X:", X.size
print "dimensions of sum_entries(X):", sum_entries(X).size
print "dimensions of A*X:", (A*X).size
# ValueError raised for invalid dimensions.
try:
    A + X
except ValueError, e:
    print e
dimensions of X: (5, 4)
dimensions of sum_entries(X): (1, 1)
dimensions of A*X: (3, 4)
Incompatible dimensions (3, 5) (5, 4)
CVXPY uses DCP analysis to determine the sign and curvature of each expression. 
 CVXPY使用DCP分析来求每个表达式的正负号与曲率 
2、正负号Sign 
每一个表达式或者子表达式被标记为非负、非正、零或者未知。复合表达式的正负号可以从它的子表达式的正负号求出。 
 例如，expr1*expr2的正负号： 
Zero if either expression has sign zero.只要expr1或者expr2一个为0，则表达式为0
Positive if expr1 and expr2 have the same (known) sign.
Negative if expr1 and expr2 have opposite (known) signs.
Unknown if either expression has unknown sign.
 给一个表达式符号总是正确的，但是当一个表达式能通过更加复杂的分析标记符号时，DCP可能标记一个表达式为unknown。 
 例如x*x符号为正，但是x被标记为unknown。 
 cvxpy根据常量的值决定它的符号，对于标量常量，它的符号是容易求的。如果向量或者矩阵的每一项都是正(负)，则向量或者矩阵常数被标记为正(负)。如果向量或矩阵的每一项有正有负，则向量或者矩阵被标记为unknown sign. 
The sign of an expression is stored as expr.sign:
x = Variable()
a = Parameter(sign="negative")
c = numpy.array([1, -1])
print "sign of x:", x.sign
print "sign of a:", a.sign
print "sign of square(x):", square(x).sign
print "sign of c*a:", (c*a).sign
sign of x: UNKNOWN
sign of a: NEGATIVE
sign of square(x): POSITIVE
sign of c*a: UNKNOWN 
3、曲率Curvature 
每个表达式或子表达式被标记为下列曲率(根据它们的变量)： 
 使用如下的曲率规则。正如符号分析，结论总是正确的。但是当一个表达式是凸的或者凹的时，一个简单的分析能标记表达式是unknown。注意常量标记为affine，任何仿函数能标记为凸的或者凹的。 
4、DCP problems 
一个问题能够由目标函数和一系列约束构造。如果问题遵从DCP规则，这个问题将是凸的，能够被cvxpy解决。DCP规则要求目标函数有以下两种形式： 
Minimize(convex)
Maximize(concave) 
 在DCP规则下的有效约束为：
affine == affine
convex <= concave
concave >= convex 
 你能调用object.is_dcp()来检查一个问题、约束、目标函数是否满足DCP规则。 
//Here are some examples of DCP and non-DCP problems:
x = Variable()
y = Variable()
# DCP problems.
prob1 = Problem(Minimize(square(x - y)), [x + y >= 0])
prob2 = Problem(Maximize(sqrt(x - y)),
                [2*x - 3 == y,
                 square(x) <= 2])
print "prob1 is DCP:", prob1.is_dcp()
print "prob2 is DCP:", prob2.is_dcp()
# Non-DCP problems.
# A non-DCP objective.
prob3 = Problem(Maximize(square(x)))
print "prob3 is DCP:", prob3.is_dcp()
print "Maximize(square(x)) is DCP:", Maximize(square(x)).is_dcp()
# A non-DCP constraint.
prob4 = Problem(Minimize(square(x)), [sqrt(x) <= 2])
print "prob4 is DCP:", prob4.is_dcp()
print "sqrt(x) <= 2 is DCP:", (sqrt(x) <= 2).is_dcp()
prob1 is DCP: True
prob2 is DCP: True
prob3 is DCP: False
Maximize(square(x)) is DCP: False
prob4 is DCP: False
sqrt(x) <= 2 is DCP: False 
CVXPY will raise an exception if you call problem.solve() on a non-DCP problem. 
# A non-DCP problem.
prob = Problem(Minimize(sqrt(x)))
try:
    prob.solve()
except Exception as e:
    print e
Problem does not follow DCP rules.
                    凸问题的编程规则(Disciplined Convex Programming)   前言：DCP(Disciplined convex programming )是一个系统，它从已给的基础函数库构造已知曲率的数学表达式。CVXPY使用DCP确保目标函数为凸.这部分解释了DCP规则以及在CVXPY中的应用。   凸优化问题：凸优化之所以如此重要，是因为凸优化的重要特性，凸优化的任意局部最优解也是
				1. 从线性规划到二次规划
LP算法主流主要是Dantzig的Simplex和Karmarkar的IPM算法:
Simplex Method：大部分中小规模问题超快，大规模问题不如IPM，偶尔情况很差。
Interior-point Method, IPM：大规模情况比较快， 中小规模不如Simplex， 但是不会出现最坏情况。
2. Cvxpy介绍
CVXPY是一种可以内置于Python中的模...
在使用matlab cvx求解凸优化问题时遇到了一些问题，在这里记录一下。
Disciplined convex programming error: Cannot perform the operation: {real affine} .* {invalid}
这个问题困扰了我好久TAT
先前的代码中定义variable为x
看报错的意思应该是，x为real affine，那么就是与x(i)相乘的后面那几项中出现了问题
最后找到是Y(1,i)的问题
因为Y在定义的时候，表达式在第一次迭代时，分
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前面第二章介绍了print的语法，其语法如下：
print(value, ..., sep=' ', end='\n', file=sys.stdout, flush=False)
其中有几个参数，分别说明一下：
sep：表示前面打印的几个参数之间的分隔符是什么，默认是一个空格，我们可以替换成为我们想要的字符串，甚至是一个字符串变量；
end...
1.1关系运算（除运算）
关系R(X,Y)和关系S(Y,Z),其中X,Y,Z是属性集。则R÷S得到一个新的关系T,且T有以下特点：
是R(X,Y)关于X（集合运算：{X}=R-S）投影的子集
T中的任一元组，在R中的象集，包含关系S中的Y属性集的所有字段的域
意义：R÷S得到的结果是，一个关系某些元组，拥有另一个关系的某一字段的所有值。
还是难以理解，看看下面例子吧，有时候结合例子可以更好的理解。
1.2 SQL语句实现 除运算
没有特定运算符实现除运算。
需要用到not exist
直接看例子：
				cvx报错Invalid quadratic form(s): not a square
最近在用matlab的CVX工具箱解决凸优化的一些问题，这里整理一下我遇到的一些问题和解决办法。
Invalid quadratic form(s): not a square
出现这个问题的原因是因为CVX是不支持两个变量直接相乘的，如果在约束中或者目标函数中不能避免的话，这里有两个方法可以解决。
GP mode模式
调用方法   cvx_begin gp 就可以了，就不会出现上述报错了。
利用 prod_inv函
				本文介绍一种基于凸优化的图像去噪方法。　该方法采用L1范数来衡量图像的平滑度，即能滤除澡声，又能最大限度地保存图像的边缘。　模型如下：　
其中f(x)为差分矩阵，存放了Ｘ每个元素与其4邻域的差值。 I为输入的灰度图像。　对于三通道彩色图像，可对每个通道进行单独处理。gamma为权重，值趣大则图像越平滑。
上述模型为无约束的最小化问题　，用线性规化可解。　在这里用一个很强大通用的matlab算法包CVX[1]进行求解
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				CVXR 是斯坦福大学 CVX* 系列的一个凸优化求解器，面向 R 的封装接口，专注于凸优化问题的求解。
凸优化，因为它易于求解全局最优解的特性，在许多场景下都有应用，比如 投资组合优化
使用凸优化求解的前提是，问题的定义需要满足 DCP 规则（Disciplined convex programming）
DCP 规则
含义...
				如果PyCharm找不到Python.exe，可能是因为Python解释器的路径没有正确设置。您可以尝试以下步骤来解决此问题：
1. 确认您已经安装了Python，并且知道Python的安装路径。
2. 在PyCharm中打开“设置”（Settings）对话框。
3. 在左侧面板中选择“解释器”（Interpreter）选项。
4. 在右侧面板中，单击“添加”（Add）按钮。
5. 在弹出的对话框中，选择“本地”（Local）选项，并浏览到Python.exe所在的路径。
6. 点击“确定”（OK）按钮，然后等待PyCharm完成解释器的配置。
7. 现在，您应该能够在PyCharm中使用Python了。
如果您仍然遇到问题，请尝试重新安装Python，并确保将其路径添加到系统环境变量中。