一文读懂异常检测 LOF 算法（Python代码）
大家好，我是东哥。
本篇和大家介绍一个经典的异常检测算法：局部离群因子(Local Outlier Factor)，简称 LOF算法 。
背景
Local Outlier Factor（LOF）是基于密度的经典算法（Breuning et. al. 2000）, 文章发表于 SIGMOD 2000, 到目前已经有 3000+ 的引用。
在 LOF 之前的异常检测算法大多是基于统计方法的，或者是借用了一些聚类算法用于异常点的识别（比如 ，DBSCAN，OPTICS）。这些方法都有一些不完美的地方：
- 基于统计的方法：通常需要假设数据服从特定的概率分布，这个假设往往是不成立的。
- 聚类方法：通常只能给出 0/1 的判断（即：是不是异常点），不能量化每个数据点的异常程度。
相比较而言，基于密度的LOF算法要更简单、直观。它不需要对数据的分布做太多要求，还能量化每个数据点的异常程度（outlierness）。
下面开始正式介绍LOF算法。
LOF 算法
首先，基于密度的离群点检测方法有一个基本假设： 非离群点对象周围的密度与其邻域周围的密度类似，而离群点对象周围的密度显著不同于其邻域周围的密度。
什么意思呢？看下面图片感受下。
集群
C1
包含了 400 多个点，集群
C2
包含 100 个点。
C1
和
C2
都是一类集群点，区别是
C1
位置比较集中，或者说密度比较大。而像
o1
、
o2
点均为异常点，因为基于我们的假设，这两个点周围的密度显著不同于周围点的密度。
LOF 就是基于密度来判断异常点的，通过给每个数据点都分配一个依赖于邻域密度的离群因子 LOF，进而判断该数据点是否为离群点。 如果 ，则该点为离群点，如果 ，则该点为正常数据点。
那什么是LOF呢？
了解LOF前，必须先知道一下几个基本概念，因为LOF是基于这几个概念而来的。
1. k邻近距离
在距离数据点 最近的几个点中，第 个最近的点跟点 之间的距离称为点 的 K-邻近距离，记为 k-distance (p)，公式如下：
点 为距离点 最近的第 个点。
比如上图中，距离点 最近的第 个点是点 。
这里的距离计算可以采用欧式距离、汉明距离、马氏距离等等。比如用欧式距离的计算公式如下：
这里的重点是找到第 个最近的那个点，然后带公式计算距离。
2. k距离领域
以点 为圆心，以k邻近距离 为半径画圆，这个圆以内的范围就是k距离领域，公式如下：
还是上图所示，假设k=4，那么点 1-6 均是邻域范围内的点。
3. 可达距离
这个可达距离大家需要留意点，点 到点 的第 可达距离：
这里计算 到点 的第 可达距离，但是要以点 为中心，取一个最大值，也就是在点 与 的距离、距离点 最近的第 个点距离中取较大的一个，如图下所示。
距离 远，那么两者之间的可达距离就是它们的实际距离。如果距离足够近，如点 ，实际距离将被 的 距离代替。所有 接近 的统计波动 可以显著减少，这可以通过参数 来控制， 值越高，同一邻域内的点的可达距离越相似。
4. 局部可达密度
先给出公式。
数据点 的局部可达密度就是基于 的最近邻的平均可达距离的倒数。距离越大，密度越小。
5. 局部异常因子
根据局部可达密度的定义，如果一个数据点跟其他点比较疏远的话，那么显然它的局部可达密度就小。 但LOF算法衡量一个数据点的异常程度，并不是看它的绝对局部密度，而是看它跟周围邻近的数据点的相对密度。
这样做的好处是可以允许数据分布不均匀、密度不同的情况。局部异常因子即是用局部相对密度来定义的。数据点 的局部相对密度（局部异常因子）为点 邻域内点的平均局部可达密度跟数据点 的局部可达密度的比值，即：
LOF算法流程
了解了 LOF 的定义以后，整个算法也就显而易见了：
- 对于每个数据点，计算它与其它所有点的距离，并按从近到远排序；
- 对于每个数据点，找到它的 k-nearest-neighbor，计算 LOF 得分;
- 如果LOF值越大，说明越异常，反之如果越小，说明越趋于正常。
LOF优缺点
优点
LOF 的一个优点是它同时考虑了数据集的局部和全局属性。异常值不是按绝对值确定的，而是相对于它们的邻域点密度确定的。当数据集中存在不同密度的不同集群时，LOF表现良好，比较适用于中等高维的数据集。
缺点
LOF算法中关于局部可达密度的定义其实暗含了一个假设，即： 不存在大于等于 k 个重复的点。
当这样的重复点存在的时候，这些点的平均可达距离为零，局部可达密度就变为无穷大，会给计算带来一些麻烦。在实际应用时，为了避免这样的情况出现，可以把 k-distance 改为 k-distinct-distance，不考虑重复的情况。或者，还可以考虑给可达距离都加一个很小的值，避免可达距离等于零。
另外，LOF 算法需要计算数据点两两之间的距离，造成整个算法时间复杂度为 。为了提高算法效率，后续有算法尝试改进。FastLOF （Goldstein，2012）先将整个数据随机的分成多个子集，然后在每个子集里计算 LOF 值。对于那些 LOF 异常得分小于等于 1 的，从数据集里剔除，剩下的在下一轮寻找更合适的 nearest-neighbor，并更新 LOF 值。
Python 实现 LOF
有两个库可以计算LOF，分别是
PyOD
和
Sklearn
，下面分别介绍。
使用
pyod
自带的方法生成200个训练样本和100个测试样本的数据集。正态样本由多元高斯分布生成，异常样本是使用均匀分布生成的。
训练和测试数据集都有 5 个特征，10% 的行被标记为异常。并且在数据中添加了一些随机噪声，让完美分离正常点和异常点变得稍微困难一些。
from pyod.utils.data import generate_data
import numpy as np
X_train, y_train, X_test, y_test = \
generate_data(n_train=200,
n_test=100,
n_features=5,
contamination=0.1,
random_state=3)
X_train = X_train * np.random.uniform(0, 1, size=X_train.shape)
X_test = X_test * np.random.uniform(0,1, size=X_test.shape)
PyOD
下面将训练数据拟合了 LOF 模型并将其应用于合成测试数据。
在
PyOD
中，有两个关键方法：
decision_function
和
predict
。
- decision_function：返回每一行的异常分数
- predict：返回一个由 0 和 1 组成的数组，指示每一行被预测为正常 (0) 还是异常值 (1)
from pyod.models.lof import LOF
clf_name = 'LOF'
clf = LOF()
clf.fit(X_train)
test_scores = clf.decision_function(X_test)
roc = round(roc_auc_score(y_test, test_scores), ndigits=4)
prn = round(precision_n_scores(y_test, test_scores), ndigits=4)
print(f'{clf_name} ROC:{roc}, precision @ rank n:{prn}')
>> LOF ROC:0.9656, precision @ rank n:0.8
可以通过 LOF 模型方法查看 LOF 分数的分布。在下图中看到正常数据（蓝色）的分数聚集在 1.0 左右。离群数据点（橙色）的得分均大于 1.0，一般高于正常数据。
Sklearn
在
scikit-learn
中实现
LOF
进行异常检测时，有两种模式选择：异常检测模式
(novelty=False)
和 novelty检测模式
(novelty=True)
。
在异常检测模式下，只有
fit_predict
生成离群点预测的方法可用。可以使用
negative_outlier_factor_
属性检索训练数据的异常值分数，但无法为未见过的数据生成分数。模型会根据
contamination
参数（默认值为 0.1）自动选择异常值的阈值。
import matplotlib.pyplot as plt
detector = LOF()
scores = detector.fit(X_train).decision_function(X_test)
sns.distplot(scores[y_test==0], label="inlier scores")
sns.distplot(scores[y_test==1], label="outlier scores").set_title("Distribution of Outlier Scores from LOF Detector")
plt.legend()
plt.xlabel("Outlier score")
在novelty检测模式下，只有
decision_function
用于生成异常值可用。
fit_predict
方法不可用，但
predict
方法可用于生成异常值预测。
clf = LocalOutlierFactor(novelty=True)
clf = clf.fit(X_train)
test_scores = clf.decision_function(X_test)
test_scores = -1*test_scores