用重合法和相邻论可严密证明 哥德巴赫猜想原题及相关猜想

罗莫

摘要： 本文用重合法和相邻论证明了哥德巴赫猜想原题以及相关猜想。非等量和等量的确定，是一切数学的源头，证明哥德巴赫猜想正是从这里开始。用重合法通过邻函数与类函数的公共交集找到了等量关系，用相邻论通过素数最简本原解与通解的互素并集找到了次第关系。无穷性问题需要等量对称关系来证明，无漏性问题则需要序列相邻关系来证明。而哥德巴赫猜想正是无漏性和无穷性相结合的产物，是序数和基数的原初性质揭开了哥德巴赫猜想的神秘面纱，并由此角度破解了黎曼假设等30个以上系列相关猜想。

关键词： 哥德巴赫猜想 素数 相邻论 重合法 皮亚诺公理 例外偶数 可表偶数 轮值变量 孪生素数 黎曼假设 最简本原解方程 abc猜想 算术基本定理 斋藤猜想 互异互素

何为哥德巴赫猜想？

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中提出：任何不小于9的奇数，都是三个奇素数之和。欧拉在此基础上进行一般化推广：任何不小于6的偶数，都是两个奇素数之和。显然奇数猜想是偶数猜想的一个推论，欧拉的偶数猜想是强命题，哥德巴赫的奇数猜想相对是弱命题，270年来未获证明。这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”原题。而本文将证明的“互素型哥德巴赫猜想”比“欧拉型哥德巴赫猜想”的命题更强，欧拉的偶数哥猜，两个奇素数是可相同可不同的，而互素型哥猜则要求更严，仅用两个不同的奇素数相加，就可以获得不小于8的所有偶数。即须证明的表达式是

p_{1} + p_{2} =2n（n为＞3的所有自然数， p_{1} 、 p_{2} 为互素的所有奇素数）

1.1. 线性二项式奇素数之和与线性多项式奇素数之和等价吗？

如果哥德巴赫猜想成立，在皮亚诺公理 ^{(1)} 条件下，那么算术基本定理便成立；如果哥德巴赫猜想不成立，在皮亚诺公理条件下，那么算术基本定理 ^{[2]} 便不成立。前一条很容易完成证明；关键是第二条，基于哥猜不成立就能推理出算术基本定理不成立，那用反证法证明哥猜就成功了。本文1.4，1.7，1.8，1.9章节通过相邻论完成了该第二条命题的快捷证明，读者可不妨跳过其它部分，直接阅读它，获得哥猜的最简洁证明。其它四种封顶证明见3.2，3.3，3.4，3.5章节，须缓缓细读。

既然算术基本定理成立，根据充要条件假言推理，由此可推理出哥德巴赫猜想成立。该环节是证明哥德巴赫猜想成立的关键所在。即假设哥猜不真就会与算术基本定理冲突。

可见2个奇素数之和是2 k 个奇素数任意连和可获得全部偶数2 n （ n ＞3）的必要条件（这个证明较难，本文主要围绕它展开）。同时，2个奇素数之和还是2 k 个奇素数任意连和可获得全部偶数2 n （ n ＞3）的充分条件（这个显而易见），2个奇素数之和能获得2 n （ n ＞3），就能推理出2 n 个奇素数任意连和的集合也一定能获得2 n （ n ＞3）。因此，哥德巴赫猜想就成了算术基本定理的充要条件。在充分必要条件下，既然算术基本定理成立，那么哥德巴赫猜想就必须得成立。

以上用倒叙的方式将证明的核心结构前置铺叙，由此引出了一些相关概念和判定，将在后文中展开证明。如此行文，是为了让读者带着问题，去理解作者接下来将要完成的写作方向。即二项式奇素数之和的表达与多项式奇素数之和的表达究竟有何不同？它们相互蕴含吗？本文的重心不是数值计算型的证明，而是逻辑推导型的存在性证明，以文字叙述为主，故公式演算不多。

1.2.素数的定义：仅被1等量分拆的正整数叫素数

以下我们开始详细证明。素数之谜扑朔迷离，千百年来不得其解，问题出在始终没有准确定义素数。教科书都是这样定义素数的，仅被1和自身整除的自然数叫素数，不难看出，“自身”这个词在这里是包含等价素数的，像这样用素数描述素数的循环定义，会误导思路，是解决不了素数最后问题的。能够推动解决素数问题前进一步的定义是，仅被1等量分拆的正整数叫素数，偶素数只有一个2，其余都是奇素数。下文所出现的素数，如没有特别所指的话，素数皆指奇素数。任意模数任意余数的同余不定方程组，可等价变换为模数任意余数皆1的同余不定方程组。仅和1同余的整数叫素数，此思想是解决素数问题的方向。这就是中国剩余定理的核心思想。

（中国剩余定理CRT） ^{[3]} 设 m_{1} , m_{2} ,..., m_{k} 是两两互素的正整数，即

gcd( m_{i} , m_{j} )=1, i ≠ j , i,j =1,2,..., k

则同余方程组：

x ≡ b_{1} （mod m_{1} ）

x ≡ b_{2} （mod m_{2} ）

...

x ≡ b_{k} （mod m_{k} )

模[ m_{1} , m_{2} ,..., m_{k} ]有唯一解，即在[ m_{1} , m_{2} ,..., m_{k} ]的意义下，存在唯一的 x ，满足：[ m_{1} , m_{2} ,..., m_{k} ],i=1,2,..., k

从中国剩余定理可知，任何素数都可以表示成模数不同余数皆1的等价表达。素数不仅是乘法模数问题，也是加法余数问题。仅能被1等量分拆的正整数叫素数。这样的素数定义，中国剩余定理，表达得最为精准。狭义可等量分拆，意味着仅用非1的模数表达，可与0同余，或可与非1数同余，狭义的不可等量分拆，即为素数，就是说若用非1的模数表达，都不能与0同余，这是素数的生成秘密。

p ≡1mod[ p_{1} , p_{2} ,..., p_{k} ], i =1,2,..., k （ p_{k} 为素数， k 为正整数）

ab ≡1mod[ m_{1} , m_{2} ,..., m_{k} ], i =1,2,..., k （ m_{k} 为素数， k 为正整数）

a 是 b 模 m_{k} 与1同余的数论倒数，它是剩余定理求解方程的重要环节，其重要思想体现了无论素数合数皆与1同余，不共性是素数除非模1，否则不会与0同余，而合数除1外定存在与0同余。认识到这一点，对证明哥猜意义重大,它体现了相邻无漏的思想。

于是就有，所有的多维空间数(合数）都实存在一维空间上，不小于8的自然数（奇素数与合数的并集）都是一维空间数（素数）的“拓扑拉伸”，因此所有的多维空间数都能在一维空间上 一一 后继、一一映射或一一等值区分（完全重合），所有多维空间数都被一维空间数所蕴含。这就是重合法和相邻论的核心，结合在一起，是一组邻函数和类函数L（ p ）素数连和连积恒等式，其公式是：

L（ p ）=alad∑ p =arad∏ p = n （ p 取遍所有的素数，arad为rad的逆运算，即任意个素数任意幂次方的连积，rad为自然数求互质数1次方素数连积；alad为lad的逆运算，即素数任意连加项的连和，lad为自然数求互质数1倍数的素数连和，与传统微积分数学的连和连积稍有不同，这里的连和连积项可任意重复组合，非级数组合，alad∑、arad∏为自定义符号，alad∑是指已知元素的任意项连加组合，arad∏是指已知元素的任意次连积组合，lad∑为素数不重复连加，rad∏为素数无平方连积）。（本书仅此一处用了自定义符号，这是为了让离散数学区别于连续数学，使组合数学区别于分析数学） 。

即{alad（ p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} +……+ p_{m} ）}={arad（ p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5} … p_{n} ）}，即奇素数的连积值域（任意组合素因子）与奇素数的连和值域（任意组合素余子）是完全重合的，其值域皆为不小于8的所有自然数。

所有的丢番图问题 ^{[4]} 都是在寻找加减法与乘除法之间的关联，即都是在寻找次第与平等之间的关联。也就是数学家们常说的相邻和分类问题，计算和度量问题。群论和微积分学强调的是用元素及乘除运算法则所描述的模数世界，是解决分类问题和度量问题的，积性数论侧重于此，重合法推广了这一思想；矩阵和组合数学强调的是用序列和加减运算法则所描述的余数世界，是解决相邻问题和计算问题的，加性数论侧重于此，相邻论推广了这一思想。朗兰兹纲领 ^{[5]} 强调数论次第性与群论对称性的结合，重视线性与非线性相互关联，其实更深层的关联紧密围绕在相邻性原理中，从相邻论出发，方可找到布控素数规律的上游核心部件。

素数新定义带来的巨大突破是，素数不仅是乘法问题，更是加法问题。分拆，意味着数学中所有的未知数即是乘法问题也定是加法问题。加减法以次第法则为准绳，乘除法以平等法则为准绳。以上数学描述，我们称之为素数连和连积邻-类函数恒等式，即连和的邻函数与连积的类函数有共同重合的目标对象 n ，这是重合法，用来列方程，连和的邻函数与连积的类函数有次第相邻的生成元数1，这是相邻论，用来解方程。

L（ p ）=alad∑ p =arad∏ p = n

（互素的素余子与互素的素因子都能分别用加法和乘法线性映射构造都能得到所有自然数，这是重合法；相同对象用加法和乘法两类不同算法线性映射还原得到基底，这是相邻论。lad是求解互素的素余子运算，alad是该还原逆运算，rad是求解互素的素因子运算，arad是该还原逆运算。）

邻函数和类函数体现了，数学世界从简单到复杂的觉醒相邻关联以及从复杂到简单的传承相邻关联，不同对象不同法则之间存在可比较的等量参照，等量世界皆来自于非等量世界，此所谓有生于无。从无到有，是从强势到弱势的传承，从有到无，是弱势到强势的觉醒。复杂序列只有落实到自然数中，才有等量产生，才有公共的至简，才可实现传承和交流。用数学逻辑语言表达就是，局部来自整体，整体包含对局部的不同等量。这是证明哥德巴赫猜想成立最幕后的公理背景。世界的本原是用至简的1都不能等分的（非皮亚诺公理体系），世界的表象是用至简的1定可等分的（皮亚诺公理体系）。后者由前者派生推出。

在此可顺带定义下可表偶数2 m 和例外偶数2 m’ 。由于所有互异奇素数两两相加所构成的偶数叫可表偶数。当且仅当不能用互异奇素数两两相加所构成的偶数叫例外偶数。 p + q =2 m （ m∈或= 自然数 n， 且≥4， p ， q 为互异的奇素数）， p + aq =2 m’ （ m’∈或= 自然数 n， 且≥4， p ， q 为互异的奇素数，当且仅当正整数 a ≠1）。2 m∪ 2 m’= 2n（n，m ， m’ ≥4）。

1.3.重合法：同构关系的对象有重合的交集

重合法定义，类型素数是无穷的，可反复延伸对称量，用比值迭代函数f（f（ pk ））=2 kp 可迭代描述类型偶数，对应类函数的连积表达部分arad∏ p 。（这个重合法判定与算术基本定理等价）。

各种分类的自然数是无穷的，素数域是无穷的（欧几里德已完成证明），所以被各种分类自然数拦截隔离的区域素数即分类素数也是无穷的。素数中的同类素数可无限延伸，其等分、对称、复踏和重叠可无限进行。素数可用1等分，素数可不断自我叠加构成合数，说明素数的分类延伸是无穷的，是可以等量比较的。Rad（ n ）可以获得所有的非平方素数因子，这是算术基本定理的推论，任意给定的自然数可分解为有限个素数的乘积。素数通过乘法可产生所有的自然数，素数也在自然数的等分区域中全部获得。整数从性态意义上可分为基数和序数，基数代表相同的量，重合的量，这是乘法。与自然数集重合的函数值域因全集重合而相等，这就是重合法，一切测度都基于重合，它侧重于直觉思维，对应公理和可重复实验部分，是一种点状的比对规则。特别象以人类为视角的中心化的相对论思想。

｛ m：p | m ｝或 m ≡0（mod p )， m 能被素数 p 整除， m 就为 p 的同类因子数，因为同类，于是便有了等量。用无法等分的模数减去基数1，余数可等分，余数部分中无法等分的模数减去基数1后又进一步可等分，最后模数都越来越小，把不可用基数1分割的最后余数中的模数皆视为基数1，于是世间万物要么可等量分拆，要么等量分拆后余1。可见无视模数、余数与基数1之间有区别，才有等量产生。对区别的无知，我们把它叫相等，可见等量判断都是权宜之计，是相对的，对缝隙区别不计量才有相等。无法用基数1分割的对象至少是大于基数1的，因为基数1被定义为可理解的最小量，故最后的模数、余数一定包含与基数1相等，等量是非等量的一个推论。不断包容基数1的数，我们可理解为序数1，序数1是表象世界的根本。

因为有先天素数序存在，而后才有自然数序，不等量数序是因，等量数序是果，有了自然数序，才有等式产生。自然数是先天素数生成元所生成的数，凡是可理解的数序都是可用自然数还原的。所以万物都可以从与自然数的关联中找到等量关系。自然数是序列世界中假设存在共有等量的交集而产生的，这个假设就是皮亚诺公理中的等量1，素数连和连积恒等式就是从重合法的思想中推理得到的。本文因为用1定义素数，才使素数变得深刻又简单。

推己及人与平等的价值观，是重合法数学思想的具体体现。万物之间都有一个公共交集，这个公共交集就是最简单表象，就是基本单位元，就是上帝粒子，有了公共交集才可等值度量万物。命题相关的两个对象，若无交集，将无法被证明也无法被证伪，哥德尔不完备定理说的就是这个意思。重合法就是通过等价交换来找到公共交集，因为超级宇宙只有一个，所以公共交集，最终一定会有，而最终会有又仍然是非最终会有的一个子集。于是，我们就得到了这样一个重要数学思想，即一种通过全集元素的“交集”来寻找基本单位元的倒逼机制，让无结构的元素变得在一定范围里有中心，但该“交集”只是临时视角，通过全集元素的扩域，可找到更深刻的“交集”。在抽象代数中，数学家常常用同态关系来捕捉，使失散的孩子找到娘家，此方法我们把它叫重合法。一切测度都基于重合。重合法侧重于直觉思想。

1.4.相邻论：同态关系的对象有互补的并集

相邻论定义，相邻素数是无漏的，可次第延伸后继量，用差值线性迭代函数f（f（ p + q ））= p + q +2可迭代描述相邻偶数，对应邻函数的连和表达部分alad∑ p 。（这个相邻论判定与皮亚诺公理等价）。

（ p + q ）的线性函数可以表达（ p + q ）的后继偶数。如果（ p + q ）不能表达（ p + q ）的后继偶数，那么（ p + q ）的线性函数也不能表达该后继偶数。迭代函数生成元与生成对象每次的解集不同，但累计的解集相同，生成元的初项除外。所有的未来都是历史，但历史不仅是未来，历史与未来是同态单射关系，历史是蕴含未来的，未来仅跟局部历史同构。没有一成不变的历史，历史总是不断觉醒的。

k 个素数均值都是素数 k 项式，但素数 k 项式未必是 k 个素数均值。唯有2个素数均值都是素数二项式，且素数二项式也是2个素数均值。同态关系是同构关系的推论，但同构关系又是更深刻同态关系的推论。同态次第是普遍情形，同构对称是特殊情形。线性是整体的，非线性反而是局部的。加性数论比积性数论更根本。

这个结论可得到，两个素数之和可以迭代表达后继偶数，而这个命题就是哥德巴赫猜想。

假如两素数之和的差值线性迭代函数f(f（ p + q ）)= p + q +2不能迭代描述其相邻偶数，那么将线性迭代函数的两对素数之和自变量生成元换成 n 对素数之和也必不能迭代描述其相邻偶数。所谓迭代表达式就是把变量原值带入所给的表达式算出一个变量新值后，再把也可素数二项式表达的变量新值当做变量原值代入表达式。这个表达式叫素数二项式生成偶数的迭代表达式。

若素数二项式线性迭代函数f(f（ p + q ）)≠ p + q +2，则f(f（ p + q ）)≠ p + q +4，继而f(f（ p + q ）)≠ p + q +6，……，于是f(f（ p + q ）)≠ p + q +2 n 。

即f(f（ p + q ））≠ p + q + p_{1} + q_{1} （ p_{1} + q_{1} 是多次2的相加迭代表达）；

f（f（ p + q ））≠ p + q + p_{1} + q_{1} +… p_{i} + q_{j} （ p_{1} + q_{1} +… p_{i} + q_{j} 也是多次2的相加迭代表达）；

因为素数二项式迭代函数一旦初始自变量生成元不成立，换成任何迭代后的自变量生成元自然也就没有条件成立。这等于是假定皮亚诺公理中的1不存在，那自然数就不存在。即素数多项式是素数二项式的线性映射，素数多项式的后继偶数也是素数二项式的线性映射。如果素数二项式不能表达素数多项式的后继偶数，那么素数二项式的线性映射也不能表达素数多项式的后继偶数。

因为不能蕴含等价素数二项式的素数多项式将无法构造后继偶数。其中素数多项式中的2 n -1项素数必须与素数二项式中的1项素数等价。为何可迭代？就是因为如果不等价，等于1个以上或1个以下新增素数，素数多项式都无法生成后继偶数，因为根据伯特兰-切比雪夫定理 n 与2 n -2之间只能用一个大于 n 的新增素数做加项来构造偶数2 n ，用1个以上肯定不行；一个不用也肯定不行，不用或等价于不用新增素数，将不能构造后继偶数，这一点将由三元互素方程决定， a + b = c 若二元互素，必三元互素，否则整数就会等于真分数，矛盾，二元互素新增素数，第三元不产生新增素数是不可能的或不可持续的。故1项素数一定可任由奇数2 n -1项素数之和表达，继而任何一个奇素数都可由三项素数之和表达，否则素数多项式就不能表达所有偶数。可作为引理的奇素数可表三素数定理获证。因此素数二项式的线性映射是素数多项式的充分必要条件，因为素数1项存在等价素数2 n -1项，凡奇数项之和须有不可等价一个新增素数的素数多项式情形，皆无法构造后继偶数，可见素数二项式是素数多项式可生成后继偶数的必要条件，如果素数二项式不能迭代表达后继偶数，这就与素数多项式可表达所有偶数矛盾。可见f(f（ p + q ）)≠ p + q +2的假设不真。

故两素数之和的差值线性迭代函数f(f（ p + q ）)= p + q +2是成立的， p + q = p_{i} + q_{j} +2一定是成立的，故生成元解集｛ p + q ｝=生成对象解集｛ p + q +2｝也是成立的，（ p + q ）的初项生成元除外。以上说明可表偶数的后继偶数依然是可表偶数，故大于6的所有偶数都是可表偶数，可表偶数成了所有偶数的必要条件。

总之，可表偶数的相邻偶数若不能用可表偶数表达，则也不能用 n 对素数之和表达，可这与算术基本定理矛盾，所有的素数的乘积，都可以换成加法，等价转换成素数一次多项式，素数一次多项式是能够囊括不小于8的所有偶数的。故可表偶数的相邻偶数不能用两素数表达也就不存在。

于是可宣称哥猜获证（这是至简的哥猜证明，想秒证哥猜的可直奔这一段）。故相邻论就是哥德巴赫猜想的核心思想。相邻论的通俗表达，就是兵熊熊一个，将熊熊一窝。如果以上证明，不能让你心悦诚服，下文还有更细致的证明。

相邻论关注数列后继量的唯一性。素数的后继素数定有且只有一个，“定有”说明素数的相邻延伸是无穷的（欧几里德用反证法已完成证明），“只有”说明素数的相邻间隔是无漏的，不能多冒出一个，也不能少冒出一个。整数类数集的函数数序排列都可以与自然数序构成定格型一一映射关系。紧致递增素数序与紧致递增自然数序一样，仅有一种排序。康托尔把具有该种性质的无穷数集叫等势，即两种无穷集合的元素个数一样多。一切连接都基于相邻，它侧重于理性思维，对应开放公理和逻辑部分，是一种线性的连接规则。特别象以上帝为视角的去中心化的量子论思想。

顺其自然与独立自由的价值观，是相邻论数学思想的具体体现。万物之外都有一个完美并集，这个完美并集就是最圆树冠，就是全集序数1，就是时间之始，有了完美并集才可有序编排万物。命题相关的两个对象，若有并集，未知就必将知道且能够知道，希尔伯特的宏伟计划说的就是这个意思。相邻论就是通过相邻递推来找到完美并集，因为超级宇宙只有一个，所以完美并集，最终一定会有，而最终会有又仍然是非最终会有的一个子集。于是，我们就得到了这样一个重要数学思想，即一种通过全集元素的“并集”来寻找全集序数1的成长机制，让无根据的元素变得在一定范围里有序列，但该“并集”只是临时镜像，通过全集元素更细密的归一，可找到更深刻的“并集”。在抽象代数中，数学家常常用同态关系来捕捉，使不变的初心包容万象，此方法我们把它叫相邻论。一切连接都基于相邻。相邻论侧重于逻辑思维。

相邻论是研究差值规律的，而哥猜是研究差值与均值之间关联的。证明数学猜想时，开始常常用具有同构关系的，研究均值规律的重合法来初步完成筑基证明，最后常常用具有同态关系的，研究差值规律的相邻论来优化完成封顶证明。

相邻论比重合法更具有兼容性，非等量先于等量存在，是一种更幕后的等量存在，湮灭了粗糙的等量，是先有序列，而后才有等量，能量现象是因为有差异才发生的，否则等量世界只会是一潭死水。一个苹果加一个橘子等于两个水果（勉强表达1+1=2），宇宙中找不到两个相同的个体，因此所有的1+1=2都并不准确合理，显示了等量是非等量的近似描述。这也是哥德尔认为公理体系不完备的理由。

哥德巴赫猜想仅仅是用自然数序描述成了素数之间的迭代关联。NP完全问题 ^{[6]} 可作如是观。只要世界可用至简的1有效区分，未知量就可以用已知量迭代表达。相邻论的一个重要思想就是，第一相邻量将决定所有的后继迭代量。中国剩余定理已经解决了此问题。但真正的差异化个性化存在，是不可能被一劳永逸表达的，故不但没有通项表达式，也没有既定的迭代表达式。

相邻偶数和相邻素数都是无穷无漏的。素数无穷性证明，欧几里德已经完成，通过欧拉乘积公式也可以得到证明，这里不再叙述，直接用前人的判定定理。素数的无漏性证明，通过皮亚诺公理可以完成，整数在一维空间上的递增，后继数有且只有一个，素数的后继数也定有且只有一个，因此所有的后继素数集结，同自然数映射必是无漏的。

1.5.邻函数和类函数恒等式：乘性和加性之间的枢纽

素数连和连积恒等式，其等式右边体现了算术基本定理，所有的不小于8的自然数都可以用奇素数以及2因子数的连积表示，强调分类思维的一面；方程等式的左边体现了皮亚诺公理，所有的不小于8的自然数都可以用互素的奇素数连和表示，强调相邻思维的一面。侧重于方程等式右边的分析法、群论以及重合法所表达的世界是一个无穷世界，唯有侧重于等式左边的组合论、矩阵以及相邻论所表达的世界才是一个无漏世界。重合法相似于群论和分析学，不同于群论和分析学，重合法是完全开放式无界对称，而非自闭式有限对称；相邻论相似于矩阵和组合学，不同于矩阵和组合学，相邻论是完全开放式迭代继续，而非自闭式替代继续。

任何素数的不断自乘都可以获得无穷数，这是极限思想的根基，但这样的无穷数排列是一种有漏的，跟1的不断自加所获得的无穷数不同，它的排列是无漏的。这就是每次用分析法求解数学问题总是接近解决问题，而不能精准解决问题的原因，精准解决数学问题，要回到算术数论中，但不是只回到初等数论中，而是回到与时俱进的算术数论中，唯有这种算术数论，才是破解哥德巴赫猜想的好工具。

分析的经典筛法思路证明哥德巴赫猜想之所以走入困境，是因为寻找素数陷进了仅用合数去寻找素数，仅用概率分析的思路去解决无穷无漏性问题，从而筛选出素数，这都是从狭义的等量角度去寻找广义的不等量，是通过孙子找爷爷，完全不懂爷爷直接留下的线索。但改进后的筛法不是这样，而是用相邻递增素数去递推筛选素数，是通过爷爷找孙子，路子广，从而摆脱了用概率分析的近似方法，找出了迷宫右手法则。前者用无穷性思想解决问题，从无限基数出发，对应于重合法，后者用无漏性思想解决问题，从首项序数出发，对应于相邻论。如果说分析数论用的是概率论，那么组合数论用的则是梯度法。

筛法改进后的该数学表达式所描述的是，若干素数倍数为组的任意连和数列存在同若干素数幂数为组的任意连积等值。首项为比数的等比数列为幂数，首项为公差的等差数列为倍数。素数取任意幂数叫素数幂数，素数取任意项数叫素数倍数。aRad（ p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5} … p_{n} ）的值等于（ p_{1}^{a} p_{2}^{b} p_{3}^{c} p_{4}^{d} p_{5}^{e} … p_{n}^{m} ）。Rad为取非平方素因子运算符号，如rad12=2×3。alad（ a p_{1} +b p_{2} +c p_{3} +d p_{4} +e p_{5} +…+z p_{n} ）的值等于（ p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} +…+ p_{n} ）。lad为取非同质素余子运算符号。

因为左式为自然数全集，右式也为自然数全集，故存在左右等值集合。自身等于自身，自然数在一维空间上有等值，重合的对象，虽分类（视角）不同，但总量等值。根据逻辑公理4，彼此重合的东西相等，故奇素数连和，在不小于8的值域存在与自然数集等值。

右式中素数的幂数连积还显示，不小于8的自然数是素数及素数的多维空间数的并集，故自然数全集可以被不同维数的多维空间数等值无漏分割（完全重合），这里所说的素数都是指奇素数，但积性表达偶数含偶素数因子2。

所有不小于8的自然数都可以通过互素的奇素数连和得到，这些都是算术基本定理的推论。作者得到以下两个重要公式：

L（ p ）=alad∑ p =arad∏ p = n

上式代表重合法的费马螺线 ^{[7]} 模型邻-类函数素数连和连积公式；

alad∑ p =arad∏ p （用重合法分别得到了希格斯机制[8]下的自然数 n ，它是加性数论和积性数论存在交集的枢纽公式）。

1.6.邻函数的最优化表达：若线性素数二项式不能区分则线性素数多项式也不能区分

这是哥猜证明的核心，若素数二项式不能区分则素数多项式也不能区分，这为线性连接提供了最优化选择。区分一维空间的最少元素是两类，因为两类元素就可以完成交替隔离。那么高维空间的最优化区分隔离最少需要多少类元素呢？

先看一维空间的最优化区分数是多少，我们通过分析最简本原解方程而得到该答案。请看公式推演，我们从分析可表偶数方程的性质开始。

p_{1} + p_{2} =2 m （ p_{1} 、 p_{2} 为所有奇素数， m 解集中含所有素数因子，且每次解须三元互素）

它就是偶数拆分方程的最简本原解方程，非可表偶数的例外偶数因无最简本原解，故为空集。这是哥猜获证的关键，也是相邻论的核心思想，素数二项式是素数多项式的最优化表达，于是也就有了高维空间最优化区分数公式F（ n ）=2^ n ，它是证明四色猜想、蜂巢猜想、六度空间理论、开普勒猜想的关键。

知道了素数二项式表达是素数多项式表达的最优化选择后，高维空间最优化区分数公式就得到了。

F( n )= 2^{n} （用相邻论描述了维数递增时不同类相邻区分即互质素数连接的最优化相邻现象，用此可计算出不同维度空间能完成区分的最优化相邻数）。

当 n =1时，就是哥德巴赫猜想，无论多么复杂的信道都可用最简洁的闭线2项值来刻画；当 n =2时，就是四色猜想 ^{[9]} ，无论多么复杂的地图都可用最简洁的给定螺旋4项值来刻画；当n=3时就是庞加莱猜想 ^{[10]} ，无论多么复杂的空间流形都可用最简洁的三维球形8项值来刻画。佩雷尔曼就是通过分析8种扭结来完成关键证明的。

该公式需要一个证明，为什么一维空间的最优化区分数是2？因为任意线段，含两个无距离的点，在一维空间里都有两个且只有两个端点。欧几里德的几何公理也描述了这一点。这是几何化证明，而哥德巴赫猜想的获证则给出了该问题数论领域的终极证明。当本文完成哥德巴赫猜想算术数论的纯数学证明时，偶数华林问题[11]的推广公式G( K )=2 K 也就得到了证明。

这个最优化素数区分数公式，同偶数华林问题等价。1770年，E.华林推测：每个正整数是4个平方数之和，9个立方数之和，19个4次方数之和等等。也就是说，他认为对任意给定的正整数 k ≥2，必有一个正整数S（ k ）存在，使得每个正整数n必是S（ k ）个非负的k次方数之和。作为华林问题的推广，有定义G( k )为对于足够大的数分解为 k 次幂和的最小项数。这比g( k )的确定难很多，甚至至今尚不知道g(3)的最小项值。希尔伯特完成了G( k )的存在性证明，但对最小项数的确定问题一直没有解决。本文的费马螺线素数拓扑模型大体解决了这个问题。

相邻论的其中一个重要结论， n 维空间相邻点的最优化素数区分数公式：G（ n ）= 2^{n} 。该公式已解决了华林问题特殊类型的推广。相邻论认为，g（3）= 2^{3} =8，其最小项数为8；g(2)= 2^{2} =4,二维空间的最小项数是4，这个结论也是四色猜想，因此华林问题在描述二维空间的性态时，其实质就是描述四色猜想，与四色猜想问题等价。华林问题在描述三维空间的性态时，其实质就是描述庞加莱猜想，与庞加莱猜想问题等价。

要完成华林问题推广的纯数学证明，须先完成哥德巴赫猜想的纯数学证明。因此我们回到邻函数L（ p ）的恒等式证明。根据{ n }={ p }∪{ m }( n 为大于1的自然数， P 为素数， m 为合数)；再根据四则运算法则，积都是和的反复折叠所得，如，7×2=7+7=3+11。所以合数 m 定是素数的连和。

它可从两个方向理解，一是每项素数作为变量无穷递增，素数连和的项数也作为变量随之递增。二是根据乘法交换律和结合律，也可以连和项作为变量无限连续递增，连和素数作为变量随之变化。于是素数用加法所表达的一维空间与素数用乘法所表达的多维空间就重合在了一起。

即alad∑ p =arad∏ p = n （ p 跑遍所有的素数，arad为求取非平方素因子的逆运算，是求公比的符号，即素数的幂次方可任取为arad，只许取一个为rad，alad求取非同质素余子的逆运算，是求公差的符号，即素数的连和项可任取为alad。只许取一项为lad。）（以上为算术基本定理之推论），展开则为{alad（ p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} +…+ p_{m} ）}={arad（ p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5} … p_{n} ）}= n ，这是算术基本定理的综合表达式。alad∑，可理解为给定整数域任意相加运算符号，arad∏，可理解为给定整数域任意相乘运算符号。

1.7.用最简本原解方程的规则完成证明互素型哥德巴赫猜想

本章节可独立完成证明互素型哥德巴赫猜想，希望快速了解哥猜证明的读者，可从此处直接开始阅读。即从分析“偶数分拆方程通过数乘消去律可获得本原解方程”，继而“偶数分拆方程通过内积消去律可获得最简本原解方程”；再根据定义“例外偶数无最简本原解”，故“还原消去律获得的例外偶数通解也必是空集”。任意偶数是可表偶数和例外偶数的并集，既然例外偶数是空集，由此就证明了可表偶数，完全等价任意偶数，于是哥猜获证。

① 我们把任意偶数拆分为两个不同奇数的三元方程化约为互素方程：

p_{1} ^ a_{1} \cdot p_{2} ^ a_{2} \cdot p_{3} ^ a_{3} ...... p_{i} ^ a_{i} + q_{1} ^ b_{1} \cdot q_{2} ^ b_{2} \cdot q_{3} ^ b_{3} ...... q_{i} b_{i} =2 n

ap+bq =2 n （即通过数乘消去律，消去最大公因子，把上式变为不可约多项式方程）

（其中 p、q、a、b 互素，且 p、q 为奇素数 ，a、b 为自然数， n 为 ＞3 的自然数）

每次令第一项与2 n 互素，必三元互素，否则有分数，这与差值必有整数解矛盾。所以2 n 的拆分方程其本原解就是2 n 自身，与原方程解集一样，未发生数域扩张或数域缩减。由于 n 与2 n 之间定有素数（伯特兰-切比雪夫定理），故每个偶数都可以拆分为两个互素的奇数项相加。即2 k 对奇素数连和可获得不小于8的所有偶数，这个结论与算术基本定理等价，任意自然数可用素数乘性表达，也可用素数加性表达。

每次2 n 减去该新素数所得到的奇数差值必与该新奇素数互素。因为可设定它与2 n 互素，就必与差值互素，三元互素方程的性质是，若二元互素则三元必两两互素，若果不是，就会整数等于真分数，矛盾，以此可反证三元方程的互素性质成立。且存在互素的奇数对，包含其中有素数项。到此已完成了所有偶数不等量分割且互素的证明。

总之每一个偶数都能成功拆分为两个互素奇数之和。保证了原方程解集是2 n 全集。为何能保证本原解2 n 还是偶数全集，因为分割时，始终保留一项与2 n 互素，从而必三元互素，即 ap + bq=2n ，其中 p、q 属于所有奇素数， n 属于大于3的所有自然数， a 、 b 属于所有自然数，a=1时， p ＞ bq， 且 ap 、 bq、2n 三元互素。

也就是说偶数不等量分割方程的本原解方程，偶数解集没有发生变化，依然是全集偶数，左边的两互素加项一素数一奇数 。

② 再把2 n 拆分得到的本原解方程化约为最简本原解方程(即两素数拆分可表偶数的方程)。通过化约得到最简本原解方程，是根据内积消去律实现的，该类化约须保留线性相关组，消去匹配的正交基，根据某项未知数的解集要求，就可化约得到匹配的最简本原解方程。总之，可得到系数最简洁的方程。

由 ap + bq =2 cm=2n 可知，核空间向量（ p、q，- 2 m ）与向量（ a，b，c ） ^{T} 是一对正交基，（ a，b，c ） ^{T} 为线性无关组或线性相关组。根据可表偶数定义 p+q= 2 m， 可知（ p、q，- 2 m ）为线性相关组（其中 a，b，c 为正整数）。

p + q= 2 m （可知2 m 的数乘等于2 n， 即2 n 的通解是2 m 的数乘，2 m 是本原解方程、也是原方程的素数基础解系，其中 p、q 为互素奇素数）。

也就是说，可表偶数方程 p + q=2m 就是偶数本原解方程 ap + bq=2n 的素数基础解系方程；同样，原偶数拆分方程 ap + bq=2n 就是素数基础解系方程 p + q=2m 的通解方程 。 即最简本原解方程 p + q= 2 m 在本原解方程的基础上根据内积消去律消去了属一对正交基的向量组（ a，b，c ） ^{T} 。最简本原解通过还原两类消去律，将得到所有通解。在这里素数基础解系，就是素数核空间，就是素数基底解集。

到此我们等于证明了一个重要引理，偶数不等量分割方程的整数域二维线性空间必有素数基底。

我们再来看可表偶数的定义：所有奇素数两两相加所得的和2 m 皆为可表偶数，2 m ’为不同于可表偶数的例外偶数，那2 m 就是2 n 拆分方程的最简本原解。而所有偶数的通解2 n 则等于2 m 和2 m ’的并集。

③ 于是根据定义可推理得到，例外偶数2 m ’不存在最简本原解。也就是说例外偶数不存在基底解。我们知道所有的线性空间都有基，进一步说都有二维向量素数基底。

c F（ x + y + z +…）= c F（ x + y ）= a F（ x ）+ b F（ y ）=x+y；

x + y = a F（ x ）+ b F（ y ）= c F（ x + y ）= c F（ x + y + z +…）

其中 x ， y ， z ，…为奇素数， a ， b ， c 为实数（含整数），上一个等式从左可推得右，满足内积逆运算，外积逆运算，下一个等式也可从左推得右，满足内积运算，外积运算，因此同构等式关系亦成立。

如果例外偶数2 m ’有最简本原解，2 m ’= p + q ，因为彼此互素，不能再简化，那么例外偶数就是自身的最简本原解，就是可表偶数，这与例外偶数不含可表偶数的定义发生矛盾。正是例外偶数的定义决定了它没有素数基底，它不能用两素数之和表示。

④ 还可以推理得到，例外偶数2 m ’的最简本原解集既然是空集 ， 当然其数乘以及点乘后的解集即通解也必是空集。

如果例外偶数2 m ’没有最简本原解，2 m ’≠ p + q ，那么例外偶数的原方程也就没任何解。因为原方程所有解都是最简本原解（素数基础解系）的数乘以及点乘，最简本原解是空集，它的数乘以及点乘也必是空集。总之，例外偶数横竖是空集，可得同构等式 2n =2 m ∪2 m ’=2 m ∪ Ø， 故 2n =2 m。 于是可证2 n = p + q 为同构等式，其中 n ＞3， p 、 q 互素且为所有奇素数。

于是互素型哥德巴赫猜想获证，6可以用非互素型的3+3表示，把它填补上，就完成证明了欧拉型哥德巴赫猜想，因为前者强命题可证明后者，后者弱命题不能证明前者。另外，用 p-q= 2 m 定义为可表偶数，一样可证明2 m 的数乘封闭，从而可证明斋藤猜想，孪生素数猜想和波利尼亚克猜想成立。

1.8.用奇素数三素数可表定理证明二元加法运算在可表偶数上封闭

根据皮亚诺公理，可对无穷无漏的正整数完成不等量分割。2 n 可从等量分割变换为不等量分割，2 n = n + n = n - d + n + d ，共轭差为2 d ， d ≠0，可换成2 n = ak + bk （含共因子 k ， a ≠ b ）。即所有的偶数都存在不等量分割。

再根据伯特兰-切比雪夫定理，可推导出所有偶数都能用奇素数一次多项式表示。定义 n 与 k 互素，可得到2 n 的不等量互素分割方程，即2 n = a + b （ a 与 b 互素），可置换为2 n = p + kq （ n ≥4， k 为整数， p ， q 为互异奇素数）。由此得到偶数分割的本原解方程。因为根据伯特兰-切比雪夫定理，总有 p ＞ n ， p 与2 n 就当然互素，于是就必有2 n 、 p 、 kq 三项互素，2 n = p + kq 自然就是所有偶数互素分割的本原解方程。陈氏定理是该方程的一个特例，即 k 为素数或1时，且2 n 为充分大。但本方程却囊括了大于或等于8的所有偶数，蕴含了比陈氏定理更精准的先天基因。

然后基于可表偶数定义，可推理出素数一次多项式方程中的一些重要线性特征。可完成两个不同奇素数分割的偶数叫可表偶数，用2 m 表示，2 m = p + q （ m ≥4， p ， q 三元互素），与教科书不同，这里的可表偶数强调 p ， q 互异。亦有可表奇数定义。2 s +1可完成三个不同奇素数分割，2 s +1= p + q + t （ s ≥4， p ， q ，三元互素， t 可不互素）。

进一步从例外偶数的定义可知，例外偶数的通解没有基底解。当且仅当奇数 k ≠1时， p + q + p_{1} + q_{1} +... p_{i} + q_{i} = p + k q_{0} 为例外偶数，其中 p ， q ， p_{1} ， q_{1} ， p_{i} ， q_{i} 为互素奇素数。非互异素数一次二项式可表，或者说，仅互异素数一次多项式可表的才叫例外偶数。同理可定义例外奇数，当且仅当奇数 k ≠1时， p + p_{1} + q_{1} +... p_{i} + q_{i} = p_{0} + p + kq_{0} 为例外奇数，其中 p_{1} ， q_{1} ， p_{i} ， q_{1} 为互异奇素数，除 p 外。非互异素数一次三项式可表，或者说，仅互异素数一次多项式可表的才叫例外奇数。

接下来这一步是完成哥猜证明的关键，根据内积消去律获得偶数不等量分割方程的素数基底解。从2 n = a + b （ a 与 b 互素）= p + kq ，通过消去内积向量[ c ,1, k ]，得到正交向量[-2 h , p , q ]，2 h 蕴含2 m ，故可化约到存在线性相关方程2 m = p + q 。由此化约得到的2 m = p + q 为最简本原解方程，或者说叫素数基底解方程。而最简本原解可还原得到偶数通解。外积消去律可得到本原解，内积消去律可得到基底解，一种比本原解还“本原”的解集。本原解具有确定性，基底解不具确定性，但素数基底解具有确定性。无论是本原解方程还是基底解方程都能还原得到通解。

偶数分类满足排中律，不是可表偶数就是例外偶数。方程2 n = p + k q_{0} （含 q_{1} + q_{2} + q_{3} + q_{4} ）中，当且仅当 k ≠1时（存在例外偶数）。假设例外偶数有解，那么就存在奇素数 q 必不能被3个奇素数合并而成，所有能合并的都是解集 k 蕴含1时的可表偶数，例外偶数与可表偶数在全集偶数域上互为补元。所有的偶数都可以用不小于4个奇素数之和来表示，根据2 n = p + kq （ n ≥7， k ≥3， p ， q 为互异奇素数）， kq -3后一定可用2个或2个以上的素数之和表示，因此不小于14的所有2 n 就可以用不小于4个奇素数之和来表示。现如果3个奇素数不能合并为另1个奇素数，那么2 n +1个奇素数也必然不能合并为1个奇素数。因为2 n +1个奇素数可合并为另1个奇素数，全基于存在3个奇素数可合并表示为另一个奇素数。如此这般全集偶数中就没有可用两个奇素数之和表示的可表偶数，这与可表偶数广泛存在矛盾。于是存在关于奇素数 q 的可表奇数定理：所有的奇素数 q 必能被三个奇素数分割，其中两个奇素数互异。可表奇数定理可推得三素数定理，就是哥德巴赫写信给欧拉的奇数哥猜。

由奇素数 q 为可表奇数定理，可推得二元加法运算在可表偶数上封闭。当且仅当k≠1时，两个可表偶数之和（ p + q ）+（ p_{1} + q_{1} ）= p_{0} + k q_{0} 为例外偶数，由于 k =1时是例外偶数的基底解，基底解不存在，例外偶数的通解就不存在，可见二元加法运算在可表偶数上不扩域；同时（ p + q ）+（ p_{1} + q_{1} ）根据加法结合律可变换为 p +（ q + p_{1} + q_{1} ），后者存在3个奇素数之和定可由另1个奇素数替换（三素数定理），于是可表偶数的二元加法运算，就依然是1个可表偶数。如此素数四项式就仍是可表偶数。可表偶数的二元加法运算没有扩域或缩域。

根据等量的传递性，我们可以推得如下结论。2 n 元加法运算在可表偶数上封闭。例外偶数是空集。可表偶数2 m 就是所有偶数2 n ( n ≥4)。因为2 n 元加法运算就是素数一次多项式（2 n = p + kq ），而素数多项式是能够表达所有偶数的。故素数二项式亦能表所有偶数。

可表偶数的 n 元代数运算在可表偶数上也是封闭的，即

p_{1} + q_{1} + p_{2} + q_{2} +… p_{i} + q_{i} =2 m

（ m >3， i >0，属正整数， p_{i} + q_{i} ∈可表偶数2 m ，取∀奇素数 p 、 q， ∃2 n ∈可表偶数2 m 。）

n 个奇素数相加相对于两个奇素数相加并没有扩域。 n 元加法运算在可表偶数上是封闭的。素数多项式偶数相对于素数二项式偶数并没有扩域，而根据算术基本定理，素数多项式表达的偶数是定能囊括不小于8的所有偶数的，故素数二项式表达的偶数也必囊括不小于8的所有偶数。

互素型哥猜获证（不小于8的偶数2 n = p + q ， p ， q 互素），欧拉型哥猜也就获证（不小于6的偶数2 n = p + q ， p ， q 不要求互异），因为非互素型的特例6=3+3只有一个，可添加上。

1.9.用奇素数的2倍为可表偶数定理证明二元加法运算在可表偶数上封闭

根据算术基本定理，确定的素因子可表达任何整数。故所有正整数2 n 都是可表偶数2 m 的数乘2 mc 。其中可表偶（奇）数定义。2 m 可用两个不同奇素数分割，2 m = p + q （ m ≥4， p，q 互素）。例外偶（奇）数定义。当且仅当 c ≠1时，2 mc 为例外偶数。

再根据算术基本定理的推论，给定数的素因子个数唯一。方程2 n =2 mc 中，当且仅当 c ≠1时，2 mc 是例外偶数，而2 w （ w 为所有奇素数）就一定为可表偶数，否则会超过2个因子数。故 c 蕴含1时，存在关于2 w 的可表偶数定理：所有奇素数 w 的2倍数必能被两不同奇素数分割。

然后基于2 w 的可表偶数定理，我们可以得到：2 w ∈2 m ，故可表偶数2 m 蕴含所有素因子。

接着我们来分析本原解方程若三元互异则三元互素性质。2 m_{1} +2 m_{2} =2 m_{0} 是可表偶数上二元运算，其本原解方程为A+B=C（三元或偶或奇），也就是说，三元互素的本原解只能分别单独为偶数，两可表偶数的和，其本原解或偶或奇。当且仅当 c ≠1时，C为例外偶数或例外奇数，2 m_{1} +2 m_{2} =2 m_{0} =2 mc ，2 m_{0} 作为例外偶数时，必不含所有素因子，故2 m_{0} 即为空集。

用反证法证明，假如2 m_{0} 作为例外偶数蕴含素因子，那它的本原解C就不但每次与A,B互素，还累次与A,B互素，因为根据例外偶数定义，C若有例外偶数则与所有的A,B都互异（通解互异，本原解也互异），而A,B是蕴含所有素因子的（通解蕴含所有素因子，本原解也蕴含所有素因子，因为可表偶数可选择互素解集相加），既然C与A,B是互异的，那么C中的素因子，就是A+B产生的，且不能与A,B全部互素，那就至少有一次非互素，但这与本原解方程必须每次三元互素矛盾。因此，2 m_{0} 作为例外偶数的本原解C会蕴含素因子的假设就是不真的，例外偶数的本原解C是空集，当然例外偶数2 m_{0} 就是空集。

例外偶数的通解是空集。故2 m_{0} 仍是可表偶数，二元加法运算在可表偶数上封闭。2 m_{1} +2 m_{2} =2 m 。

根据等量的传递性，我们可以推得以下结论。 n 元加法运算在可表偶数上亦封闭。任意奇素数一次2 n 项式所生成的例外偶数都是空集。也就是说，2 n 个奇素数相加，只能产生可表偶数，不会扩域，所有素数一次多项式所产生的例外偶数都是空集。于是可表偶数2 m 就是所有偶数2 n ( n ≥4)。互素型哥猜获证（不小于8的偶数2 n = p + q ， p ， q 互素），欧拉型哥猜也就获证可添加上，欧拉型的哥猜也就成立了，奇数型的三素数哥猜也就自然成立，因为它是欧拉型哥猜的一个推论。反过来，奇数型的哥猜成立不能推导欧拉型的哥猜成立，欧拉型的哥猜成立不能推导互素型的哥猜成立。互素型哥猜是强命题，相对来说，欧拉型与奇数型哥猜都是弱命题。正因为如此，哥德巴赫猜想的成立就可强势解决黎曼猜想和孪生素数猜想。

该章节浓缩了重合法和相邻论的思想。该思想通俗点说就是，定义基数1分出单位元就是重合法，归纳序数1选出生成元就是相邻论。它继承了代数学传统。代数（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家花拉子米（al-Khowārizmī,约780－850）所写的“代数”一书中，其直译是《通过还原和平衡进行计算》。

而还原就是早期的相邻论，相邻论是还原思想的更深刻解读，平衡就是早期的重合法，重合法是平衡思想的更深刻解读。相邻论强调相邻微调，强调寻找初心，强调第一推动的重要性，因此最简本原解方程就是相邻论思想的体现，只有认知到原始生成元的本质，才能把控未知。同时重合法在此也有所体现，通过分割一个可控的公共交集对象即所有偶数，来构造偶数拆分方程，直到可用二项式素数表达。本章节用公共交集筑基，用重合法列方程，用互素并集封顶，用相邻论解方程，前者重直觉，后者重逻辑，由此完美证明了哥德巴赫猜想。

2.1. 用重合法完成5种筑基证明：2 k 个素数之和能表示所有不小于8的2 n

当读者对1.4，1.7,1.8,1.9章节的证明尚不能心悦诚服地认同时，我们将从2.1开始用重合法和相邻论进行多种方法的详细证明。前文分析了哥猜的证明可分两部分来完成，第一步完成筑基证明，获得一个引理，即“2 n 个奇素数之和能获得全部偶数”，它等价于算术基本定理。将积性多因子表达的偶数等价变换为加性多项式表达。完成证明该定理，选择了四种方法，当然还有更多种证明方法。所有不小于8的偶数都可以用偶数项奇素数之和来表达。哥猜证明的第二步可完成封顶证明，也须完成一个引理证明，即“可表偶数的后继偶数，如果素数一次二项式不可表达，那么素数一次多项式也必不可表达。”

2.2. 根据 n 与2 n -2之间定有素数（伯特兰-切比雪夫定理）构造任意偶数

大于2^（ n -1）小于或等于2^ n 的自然数，都可以用不超过 n个 的奇素数之和表示。这个命题可以用伯特兰定理来证明。

伯特兰定理表示： n 与2 n 之间至少有一个奇素数。因此我们可判定2^（ n -1）与2^ n 之间的自然数一定有一个奇素数，而较小的一半与一半的一半之间又一定有一个奇素数，……如此进行下去，因为是递降分割，故会逼近到8，而较小整数是一定可用两奇素数之和或三奇素数之和表示的。因此可用不超过 n 个奇素数就可以表达该自然数，如果给定数是奇数，用奇数个奇素数之和表示，如果给定数是偶数，可用偶数个奇素数之和表示。总之不小于8的任意偶数都可以用 n 个奇素数之和表示， n 为偶数。

于是我们就得到了如此判定：

p_{1} + q_{1} + p_{2} + q_{2} +… p_{i} + q_{i} =2 k （ k 为＞3的所有自然数， p_{i} 、 q_{i} 为互素的所有奇素数，2 k 可表达的素数个数由2幂数确定，且能做到2 i +1互素，因为每次在一半以上的区间都能找到奇素数加项）。这是“方法1”。

由此我们证明了素数一次多项式可表不小于8的所有偶数。

2.3. 奇数 aq 和一个奇素数 p 相加可获得不小于12的所有偶数

因为所有偶数可由奇数加奇素数表达，根据 aq 可表所有奇数，其中 a 为奇数全集， q 为奇素数。因此 aq +p就可以获得不小于12的任意偶数。由此可证，2 n = aq + p （ n ≥6）。 a 为奇数全集， q 和 p 都为奇素数， a +1就是偶数全集，故偶数个奇素数连和可获得不小于12的任意偶数。 a 个相同的素数 q 连和，还可变换为不大于 a 个不同的素数连和，如5+5=3+7，5+5+5+5=3+17,总之，可等价变换为，比 a +1个更少的即偶数项素数多项式的不同素数连和定能得到不小于12的任意偶数。这是“方法2”。可见算术基本定理与 p_{1} + q_{1} + p_{2} + q_{2} +… p_{i} + q_{i} =2 n 等价，偶数个不同奇素数连和可获得不小于8的无穷无漏个偶数。

2.4.两个奇数3a和5b任意连和可获得不小于8的所有偶数

下面介绍任意项连加有限种素数获得全部偶数的证明“方法3”。

因为所有偶数可由奇数加奇数表达，根据3 kq 可表所有3倍数奇数，其中 a 为奇数全集， q 为奇素数，5 hp 可表所有5倍数奇数，其中 k、h 为奇数全集， q 为奇素数，因为任意偶数模3或余0或余1或余2，余2可等价余5，余1可等价余10，余0可等价余15，三种余数情形都可以模5余0，故不小于8的任意偶数都可以用 3kq +5 hp 表示。因此 3kq +5 hp 就可以获得不小于8的任意偶数。由此可证，不小于8的2 n = 3kq +5 hp 。 q 和 p 都为奇素数，3 k +5 h 就是偶数全集，故偶数个奇素数连和可获得不小于8的任意偶数。这是“方法3”。有限几个较小的定义域外的偶数，可列举补充获得。

2.5. 陶哲轩：大于1的奇数可用不多于5个素数之和表示

在陶哲轩[18]的自然数可表5个素数之和的基础上证明“所有的奇素数进行有限项连和可获所有的偶数”以及“有限类奇素数进行无限项连和可获所有的偶数”的这两个重要判定，是非常直接的。同刚刚用洛书定理推论1证明一样，不小于8的偶数可表为不多于6个素数之和，这是素数用加法获得全部偶数的证明“方法4”。陶哲轩的证明结论是，大于1的奇数可表为不多于5个奇素数之和。根据这个证明结论：

p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} =2 n +1，两边同时加一个 p_{0} ，即 p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{0} =2 n +1+ p_{0} ，当 p0 取素数3时，有 p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{0} =2 n +1+3。

也就是说，6个素数之和可得到不小于6的任何偶数。有了这个基础然后证明偶数强哥德巴赫猜想的基础部分当然就变得非常简单了。这个结论说明偶数个任意类的素数连和可以得到不小于8的所有偶数是完全成立的。但还无法证明，都是奇素数连和得到的。因为陶哲轩的判定里是允许偶素数2参与的，这得需要一个证明，用奇素数取代偶素数参与的连和。若六项连和得到偶数，有2个或4个或6个2素数参与连和才获得，那说明可用小于6项的奇素数连和可得到大于4的任意偶数，事实上，2个2可由3+3-2得到（-2可移到方程右边变成2 n +2），4个2可由3+5得到，6个2可由5+7得到，所有的偶素数2都可以用奇素数替换。由此证得，所有的大于4的偶数（2 n +2即等价2 n ）都可表为不多于6个奇素数之和。

2.6. 陈景润：充分大偶数可表为两个素数之积或一个素数加上另一素数

陈氏定理 ^{[15]} 同样可以证明“所有的奇素数进行偶数项连和可获所有的偶数”这个重要结论，陈氏定理的两素数之积的合数部分，把较小的素数理解为连和项，因此获得新增相邻偶数的，让等式成立的连续变量就是素数变量，而不是项数变量，而素数变量只能变一个新增量，不能同时变两个新增素数量才能获得相邻偶数，本文下半部分将详细证明这一点。

前后两个选项，说明了素数变量、项数变量在获得无限连续偶数这个函数值时，有两个有效解，一是有限间断域素数无限连续项连和可获得无限连续偶数，一是无限连续域素数的有限间断项连和可以获得无限连续偶数。而当连和的项数变小时，参与连和的起点素数也变小时，大偶数的下确界会大大缩小，从而扩大了陈氏定理成立的范围。但下确界值域仍无法用计算机全部验算，这跟前苏联数学家维诺格拉多夫[19]曾证明过的三素数定理相似：对于奇数 n ，当 n ＞e^(e^16038)时， n 可以写成三个奇素数之和。即都是下确界值域很大， n 大于计算机所能承受的400万位，故截至目前为止，因有限特例无法全部验算完毕，三素数定理还不算完美证明。

还有一点，从陈氏定理出发，仍无法证明，是所有的奇素数连和得到的。这需要一个证明，当有2素数时， q p_{1} + p_{2} 中的 q p_{1} 可理解为有2个素数相加，那么 p_{2} 必是偶素数2，否则其他素数都加不出偶数，说明这样的特别偶数加1所得到的奇数都可用2个奇素数加一个奇素数3获得，其他奇数都可以由给定奇数个奇素数连和得到。如此就都把问题转换成了用奇素数的连和来探讨。

这是素数用加法获得全部偶数的证明“方法5”，任意充分大偶数可表为 q p_{1} + p_{2} ，把 q 作为连和项，说明任意两类素数都可以通过无限项连和获得无限连续偶数。同样可以根据乘法交换率和结合律来说明，无限连续域素数的有限项连和获得无限连续偶数，同时有限域素数的无限间断项连和可以获得无限连续偶数。由于陈景润的“1+2”证明是在大偶数范围里且在殆素数条件下才成立，故陈景润这个结果和维诺格拉多夫的结果一样，都是有待弥补漏洞的证明，没有用重合法和相邻论根据算术基本定理得出的结论更圆满。

攻克哥猜的进程史上有比“（ a+b ）和（1+ b ）格式”更完美的结果，1930年，苏联数学家什尼尔列曼证明，任意整数都可以表为不超过 k 个素数之和，且k小于800000。1935年， k 小于等于2208（苏联，罗曼诺夫），1936年， k 小于等于71（德国，海尔布伦），1937年，k小于等于67（意大利，里奇），1950年，k小于等于20（美国，夏彼得）。1956年，k小于等于18（中国，尹文霖），1976年，k小于等于6（旺格汉），以上都是在偶数充分大条件下成立的。1977年旺格汉证明了所有正整数均可表为至多26个质数之和，1983年中国张明尧博士改进为：所有正整数均可表为至多24个质数之和。可见至多24个素数之和也可以得到所有偶数。以上判定中的素数域都含有偶素数2，不是限于奇素数范围里的判定，但都可简单实现替换。故“无限连续域奇素数无限项或有限项连和可获无限连续偶数”的判定，在陈氏定理的基础上稍加变换下就可得到证明。

综合以上证明，“素数一次多项式可表不小于8的所有偶数”，总结一下用了5条路径，皆可得到这个结论。

一是用伯特兰定理构造素数多项式来表达任意偶数；二是奇数 a 个奇素数 q 与另一个奇素数 p 连和可获得所有偶数；三是根据同余关系推论1得到3和5的素数无限连续项连和可以获得所有偶数，根据乘法交换率和结合律，3 a 项和5 b 项的无限连续域素数进行有限间断项连和；四是根据陶哲轩的结论得到大于1的偶数可表为不多于6个奇素数之和；五是陈景润的大偶数可表为两素数之积再加另一素数，可推理出大偶数可表为奇数个有限倍的素数再与另一素数之和。（以上证明应用了重合法数学工具）。

3.1.用相邻论完成四种封顶证明：例外偶数的最简本原解是空集故通解为空集

素数多项式能表达所有偶数，但不是最优化选择，相邻论通过最简本原解方程捕捉到了素数二项式函数能表达所有大于6的偶数，并且这一思想，还可用四种方式来证明。它们分别是，算术的，代数的，几何的，分析的。它们都从不同角度体现了相邻论的思想。即相邻微调是远程控制的关键，把握住了相邻微调就把握住了全局。所谓核心技术和底层思想就来自于相邻微调。通过相邻论的思想可证明例外偶数是空集，于是哥德巴赫猜想获证。重合法所得到的引理，还可以用相邻论得到最优化表达，证明哥猜就是完成这两个过程。素数多项式能表达所有偶数，这是重合法所得到的结论，素数二项式也能表达所有偶数，这是相邻论所得到的结论。

3.2.算术数论角度完成封顶证明

以上用“5种方法”完成了哥德巴赫猜想的筑基证明，下面来完成哥德巴赫猜想的封顶证明。已知“素数一次多项式可表不小于8的所有偶数”，可等价变换为“任意域奇素数2 n 项连和可获不小于8的任意偶数”，那在此前提下，任意域素数2项连和获得不小于8的全部偶数是否成立呢？且看以下的进一步证明，尽量满足读者的直观理解，展示数感细节。

邻函数定理[20]：已知给定偶数2 p 大（ 或2 n ） ， 其中 p 大 ≤ n， 用2项或2 k 项奇素数之和可表，则所用素数必有上限，用一个大于上限的新增素数 p 新来更换其中一个素数，那么两素数之和2 p 大（或2 n ）的相邻偶数2 p 大 （或2 n ）+2，可由一个新增素数 p 新（或等价1个 p 新的多个奇素数）同其≤ n 的 p 大 的其中一个素数相加获得，即2 p 大（或2 n ）+2= p 新 + p 小 ，或者2 p 大 （或2 n ）+2 = p 新 + p 大 。而用仅等价1个以上 p 新 或用仅等价1个以下 p 新 的素数去替换其中一个素数都不能获得2 p 大（或2 n ）+2。

邻函数定理的简单表述就是，要线性新增后继偶数必须可线性新增后继素数。

下面就来证明这个邻函数定理。该定理证明的难点是为何每个相邻偶数的奇数解集必蕴含新增素数 p 新。

给定偶数2 p 大不是可表偶数的非1数乘，因为它只有两因子，故它是可表偶数，一定可表两互素素数之和。

已知“任意域奇素数2 n 项连和可获任意偶数”，又因为有限域奇素数其两两排列组合成的素数对有限，其相加值必有限，两素数之和一旦要获得大素数2 p 大+2的新增相邻偶数，须增加或更换新素数连和项。

2 n = p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{6} + … + p_{2n} （2 n 项连和）。

或者2 p 大= p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{6} + … + p_{2n} （奇数 a +1项连和）我们还知道，所有偶数都是在给定偶数的基础上通过不断获得新增相邻偶数而产生的（皮亚诺公理）。而给定偶数的连和项是有限的，素数域是有限的。

假如2 n 或2 p 大为给定偶数，那么2 p_{2n} +2=2+ p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{6} + … + p_{2n} =2+ p_{1} + p_{2} ，还因为“任意域奇素数2 n 项连和可获任意偶数”，因此等式的右边可以表示成奇素数的连和，2可以等价替换为奇素数。

把2拆分成两个1加到素数中去，显然不行，那样素数项变成偶数项了。

现更换或等价更换2个或2个以上新增素数连和都不能得到给定偶数的相邻偶数，新增相邻素数之比大于1小于2，故更换2个新增素数之和必大于新增相邻偶数，就算差值最小的孪生素数出现，它们的两倍之差是4，也大于2。可见更换2个新增素数是不能获得相邻偶数的。更换小于1个即0个是不作为，显然更不可。因表达2 p 大的素数多项式有2 n 项故不存在项数的增减。只探讨须更换多少项素数才能获得2 p 大的相邻偶数。

那更换或等价更换0个新增素数参与连和，能否得到后继相邻偶数呢？经证明，如果隐性增加了两项或2 k 项新增素数或转换不出任意一项新增素数，将不能获得中值数2倍的后继相邻偶数。因为都不大于中值数，就无法得到中值数2倍的相邻数。

故只能轮值更替两项素数中的其中一项，才能获得2倍素数的相邻偶数。

但因为“任意域奇素数2 n 项连和可获任意偶数”，故不能排除给定偶数的相邻偶数可通过素数连和获得。因此给定偶数2 n 的相邻偶数2 n +2，可由一个新增素数（ p 新＞n）或等价的素数多项式同原素数（ p 原≤ n ）的其中一个素数连和获得，即：

2 n （ n 含 p 原）+2= p 新+ p 原，或者2 n （ n 含 p 原）+2= p 原+ p 原，

2 n （ n 含 p 原）+2= k 合+ p 原，或者2 n （ n 含 p 原）+2= p 新+ p 新。

因为两素数之和表示2 n （ n 含 p 原）+2必有一个 p 新参与相加，两个或两个以上的 p 新参与相加或同以上等价的 p 原多项式参与相加为不可能，0个 p 新参与相加或同以上等价的 p 原多项式参与相加也为不可能，故2 n （ n 含 p 原）+2仅存在 p 新+ p 原可表，否则所有的素数多项式都不能表达这一偶数，这与所有偶数皆能用素数一次多项式表达矛盾。因为当原素数一次多项式不蕴含 p 新时，意味着2 n （ n 含 p 原）+2= p 原+ p 原+…+ p 原的方程右边，其中部分原素数项相加永不产生大于 p 原的新增素数，这与二元互素相加会不断产生新素数因子数矛盾，也会与伯特兰-切比雪夫定理 n 与2 n 之间必有素数矛盾，故原素数多项式就是可蕴含一个 p 新的，仅蕴含一个以上或一个以下 p 新加项都是不存在的，因为这样就不可能构造出后继偶数。

也就是说素数连和连积恒等式已证明存在偶数个素数连和是可以得到全部偶数的（5种等价方法已经完成证明），因此，新增素数个数经过可穷分类（ n ＞1， n =1， n ＜1）的头尾两项排除后，剩下中间 n =1的唯一选项无法排除，“偶数个素数连和项中只有轮值更换一个新增素数方能取得相邻偶数”，此判定就是产生所有无限连续偶数的充分必要条件，故相邻论表达式成立。

简单表达就是，现有给定偶数能用素数一次多项式或素数一次二项式表达，即素数一次多项式的表达2 t = p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{6} + … + p_{2n} ，或素数一次二项式的表达2 t = p_{1} + p_{2} 。

那么该多项式的后继偶数就必有2 t +2= p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{6} + … + p_{2n} （任意个素数重组等价一个 p 新）。若更换对象的值没有 p 新而是奇数，这样就不能产生新增素数了，如果下划线上的素数多项式不能生成新增素数或新增素数因子，那么很多后继偶数就不能构造生成，因为后继偶数中的新增素数因子是无穷的；如果新增素数因子有多个也不能产生后继偶数，或有非1数乘新增素数因子那也不能产生后继偶数。可见欲生成后继偶数，下划线上的素数一次多项式只能必须蕴含等价一个新增素数。因此我们可以得到一个奇素数多项式可表定理，任意一个大于7的奇素数必能用奇数个奇素数之和来表达。

或者该二项式的后继偶数也就能用 p 新更换 p2 来表达2 t +2= p_{1} + p 新（或只能用奇数来更换，但这样就不属于素数二项式了，而多项式的情形上文已解决）。大于1个或小于1个 p 新都不能表达后继偶数，而所有偶数是一定能够用一次素数多项式表达的。其中 p_{1} 在素数一次二项式或素数一次多项式中皆可素数域保持不变。

也就是说，后继偶数只能用1个新增素数或1个新增素因子奇数去更换其中一个加项来构造；可是该后继偶数却不能用一个以上或一个以下的新增素数或新增素因子奇数去更换其中一个加项来构造。故后继偶数只能用1个或必须蕴含等价1个新增素数去更换其中一个加项来构造。更换有新增素数因子的奇数（另一因子若仅取非1）为不可能，因为那样就有一个以上的新增素数了。如果更换的是永不含新增素因子的奇数，那样就有后继偶数不能构造它，因为不新增素数必不能构造密集偶数，算术基本定理决定了这一性质。因此只有素数一次多项式等价素数一次二项式，才能构造后继偶数。否则会与素数一次多项式可表所有偶数矛盾。

以上邻函数定理得证。该结论证明了，2 k 个素数连和定能得到全部偶数，2 k 为任意给定值，且每次获得2 p 的相邻偶数2 p +2时，只能更换一个新增素数才能连和获得新增相邻偶数。这个结论说明了，任何一个奇素数的2倍之相邻偶数，都需要更替一个且仅需更替一个新增素数（或蕴含一个新增素数的原素数多项式）参与连和获得。我们把形如2 p +2的相邻偶数，叫龙头相邻偶数。我们把形如2 n +2的相邻偶数，叫任意相邻偶数。

要获得龙头相邻偶数一定需要大于 p 的新增素数参与连和才能获得。要获得任意相邻偶数一定需要大于中值数 n 的新素数对参与同小于中值数 n 的原素数连和才能获得，因为当 n 是偶数，或者是非素数的奇数时，都需要大于 n 才能得到素数，其它选项都形如2 p +2。也就是说只要有 n 递增获得任意相邻偶数，就有新素数对递增，只要有龙头相邻偶数递增，就有确定的新增素数递增，而不仅仅是新素数对递增。

广义上也就是说，任何一个自然数 n 的2倍数的相邻偶数，都需要更替一个且仅需要轮值更替一个大于 n 的素数参与连和才能获得。这是相邻论的核心，这个结论证明了，2 n 的相邻偶数，一定存在大于 n 的素数参与连和可以得到。

因为在三元互素方程中，只要左右一方有互异数值新增，就必有互素因子新增，否则原素数多项式就不能囊括所有的奇素数，于是就有很多相邻偶数不能表达。故“原素数多项式不会扩域产生新增素数”的假设就是错误的。该情形即新增素数的个数属于可穷分类（ k ＞1， k =1， k ＜1），其中 k ＜1型，即不产生新增素数型，被排除， k ＞1型，即产生一个以上新增素数型，也被排除，剩下的就是 k =1了，原二项式素数仅需更换一项素数为新增素数即可获得2 n 的相邻偶数。如果一个也没有，就会与“ n 与2 n 之间必有素数”矛盾。

由此可知，2 n 必至少有一对共轭数定是共轭素数，因为2 n 的每一个相邻偶数，都需要一个大于 n 的素数（或奇数）参与连和才能获得，若无可匹配更换的一个新增素数能满足构造新增偶数，必无可匹配更换的一个新增奇数能满足构造新增偶数。若有新增奇数能满足构造新增偶数，则必有新增素数能满足构造新增偶数。

用排除法进一步证明这个结论，任何2 n 都至少由一对差值非0的共轭素数相加获得，可见不小于8的偶数都可以用非0共轭差的素数对之和表示。偶数6只能用相同的素数对之和表示。这个结论比欧拉型哥德巴赫猜想还要强势得多。这意味着用自然数个数所全部对应的素数两两相加可得到全部偶数。正是因为这个强结论，哥德巴赫猜想才比黎曼假设的势更强。

3.3.代数数论角度完成封顶证明

再介绍从代数数论领域出发，用反证法和数学归纳法完成哥德巴赫猜想的证明。两素数之和等于偶数，我们把它叫可表偶数，但不确定可表偶数是否等于所有的偶数，偶数集里存在可表偶数，不小于8的偶数全集中，可表偶数的补集就是例外偶数。只要证明所有例外偶数是空集，哥德巴赫猜想就可获得证明。而通过代数数论相邻论，确能证明例外偶数是空集。

在自然数 a + b = c 中，若 a 、 b 互素，所得的和 c 必与 a 、 b 两两互素，此时 a + b = c 为本原解方程，只要本原解方程的定义域和值域清晰可确定，非本原解方程即清晰可确定。为何确定 a 、 b 互素就能确定 c 也会两两互素？用归谬法证明，因为 c 同 a 或 b 如果有共因子，两边除以共因子，整数就会与分数相等，显然矛盾，这就反证了 a 、 b 、 c 若有一对互素必两两互素。可表偶数 m_{3} = 可表偶数 m_{2} +可表偶数 m_{1} ，约掉共因子后，是彼此互素的，且各自的素数范围虽然不同时一样，但定义域是一样的，和项所获得的值域可迭代给加项扩充定义域，因为符合交换律，所以2 n 项奇素数相加所得的和可在可表偶数加项中互换定义域。假如， t_{1} （例外偶数）= m_{1} （可表偶数）+ m_{2} （可表偶数），那么约掉共因子后，是彼此互素的，且各项的素数不但不同时一样，而且各项定义域范围也要求不一样。

可表偶数定理 ：能用两个不同奇素数之和表示的偶数叫可表偶数，只能用两个以上奇素数之和表示的偶数为例外偶数，而这样的例外偶数定必是空集。即加法二元运算在可表偶数上是封闭的。且其推广，加法 n 元运算在可表偶数上也是封闭的。

1）从可表偶数 pa + qb =2 mi 中，可判定2 mi 的素数因子特征。根据互素关系，2 mi 定与 pa 、 qb 互素，若奇素数 pa 、 qb 有密集无漏新增素数，可表偶数2 mi 就有密集无漏新增素数因子。即二元加法运算在奇素数域中虽不是封闭的，但在奇素数因子域中是封闭的。

假如三元方程不交互使用奇素数因子，根据三元互素分配，奇素数因子可分成三大类奇素数子集 pa 、 qb 、2 mi ，其中 pa 、 qb 扩充定义域，2 mi 就缩小，2 mi 扩充定义域， pa 、 qb 就缩小， pa 、 qb 为所有奇素数，2 mi 就空集，2 mi 为所有奇素数， pa 、 qb 就空集，左右两边任何一方有非空奇素数因子子集，另一方就不会有奇素数因子全集。因此三元不交互使用奇素数因子，不可能出现左右两边任何一边奇素数因子满域的。现左边的素数已知为全体奇素数，故与假设推导的结论矛盾，所以2 mi 不会缺漏任何奇素数因子，方程左右两边没有不同的奇素数因子域。一旦可交互使用，奇素数因子就必都是同域的。方程左边奇素数因子满域，那么方程右边奇素数因子也必是满域。故可表偶数2 mi 中的素数因子含所有奇素数域。所以，加法二元运算在素数域上虽不是封闭的，但在素数因子域上仍是封闭的。

2）任意抽取两个可表偶数进行二元代数相加运算，惊异发现在可表偶数上是封闭的。即2 m_{a} +2 m_{b} =2 m_{i} ，其中2 m_{a} 、2 m_{b} 、2 m_{i} ，皆为可表偶数。

三元互素本原解方程 a + b = c 中，已知 a 、 b 为可表偶数，虽然每次都互异互素，但累计三元互异互素，与累计三元互异互素，其结果是完全不同的。前者由于例外偶数的条件要求，要始终保持互异互素，始终不共用 a 、 b 用过的素数因子，导致所有素数因子数，只能二元分配，而用二元分配中的素数因子数无论构造什么数，都会与二元中的一元同素。故例外偶数就成空集。当 a 、 b 与 c 的定义域始终不共用素数因子时，其简化表达就是：

根据例外偶数 c 的定义，它与 a、b 从数集上是互异的，由于本原解方程在解集互异的前提下每次要求互素，故 c 从未产生过一次 a、b 中有的素因子，累计数集 c 也就不会有 a、b 中的素因子作为生成元。因此数集 c 与数集 a、b 一定是互素的。

a + b = c （当二分素数因子， a 、 b 为素数因子的全集构成时， c 可由互素的空集素数因子构成。 c 中的素数因子缩编为0个， a 、 b 就为满域素数因子。）

于是本原解方程中的 c， 其例外偶数就为空集，原方程 c 中的例外偶数也自然为空集， c 仍为可表偶数，即可表偶数加可表偶数还是可表偶数，可表偶数的加法二元代数运算在可表偶数上是封闭的。

还可从逻辑上证明方程“若左右互异则左右互素”就是真命题，即 a、b 与 c 互互异就一定互素。证明如下：

已知偶数拆分方程 a + b = c 是有解的，故方程“若左右互异则左右互素”与“若左右互异则左右同素”的矛盾命题就不能同假，现已知“若左右互异则左右同素”是假命题，因为“若左右互素则左右同域”是假命题，根据算术基本定理可知，所以方程“若左右互异则左右互素”就是真命题。

解集 c 与 a、b 互素， c 就只能为空集素因子，故例外偶数c为空集，即二元加法运算在可表偶数上是封闭的。

3）可表偶数的 n 元代数运算在可表偶数上也是封闭的，即

p_{1} + q_{1} + p_{2} + q_{2} +… p_{i} + q_{i} =2 m

（ m >3， i >0，属正整数， pi + qi ∈可表偶数2m，取∀奇素数 p 、 q， ∃2 n ∈可表偶数2 m 。）

n =1时，1对奇素数之和， p + q =2 m ,2 m 为可表偶数，成立。

n =2时，2对奇素数之和，由2 m_{a} +2 m_{b} =2 m_{i} ，2 m_{i} 为可表偶数，前文已经完成证明，成立。

假如 n = i -1时， i -1对奇素数之和，即 p_{1} + q_{1} + p_{2} + q_{2} +… p_{i-1} + q_{i-1} =2 m _{i-1} （ m >3， i >0，属正整数， pi + qi ∈可表偶数2 m ，∀（ p 、 q ）为奇素数），是真的。则

p_{1} + q_{1} + p_{2} + q_{2} +… p_{i-1} + q_{i-1} + pi + qi =2 m _{i-1} +2 mi =2 m （根据结合律，可简化为可表偶数的二元代数运算）

于是当 n +1时，可得到 p_{1} + q_{1} + p_{2} + q_{2} +… p_{i} + q_{i} =2 m ，依然成立。

故，可表偶数的 n 元代数运算在可表偶数上也是封闭的，于是就得到了数学归纳法的证明。 n 个可表偶数相加，所得到的结果，依然是可表偶数。

而前文已证明的算术基本定理的偶数多项式推广定理 p_{1} + q_{1} + p_{2} + q_{2} +… p_{i} + q_{i} =2 n ，就是可表偶数的 n 元代数运算。由此可证，所有不小于8的偶数都是可表偶数。

故不小于8的所有偶数可用不同的奇素数之和表示，强偶数哥德巴赫猜想也就获得了证明。该猜想的势显然大过欧拉的偶数哥德巴赫猜想，因为它可推理得到欧拉的偶数哥德巴赫猜想，而欧拉的偶数哥德巴赫猜想即便成立，也不能推理出，两不同奇素数之和可表大于等于8的所有偶数。

3.4.几何数论角度完成封顶证明

除了算术法相邻论、代数法相邻论外，还有几何法相邻论，任意线段有且只有两个端点，故在一维空间上长短区分线条的符号两类足够（前文已证），甚而两条足够（下文证明）。线条延伸与可区分是等价的，判定延伸的依据是不同于原来，即可长短区分，若没有两类区分，便只有混沌，这可反证出不等量关系比等量关系更本质，尽管后继数都是加一个等量的1构成，但1的位置不同，故严格意义上自然数相邻差值并不相同，而是取近似相同。线条延伸是从两类区分数开始的。既然2 n 根线条区分出了所有的偶数线条，那么2根素数线条必足以区分所有的偶数线条，因为终端区分的线条必须是两素数区分的，而终端线条也都是任意给定的。因此2 n 根素数线条区分一维空间的线条与2根素数线条区分一维空间的线条是等价映射的。

如果{ p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} +…… p_{2m} +2 m_{i} } ={2 m + p_{2m} }=2 n （所有的 p 为奇素数）（重合法），下文将完成该等式的证明，不同表达的目标重合，则不同表达相等；那么所有的偶数就一定能用素数一次多项式表达。因为满足算术基本定理。

只需{ p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} +…… p_{2m} }=｛ p_{1} + p_{2} ｝（所有的 p 为奇素数）（相邻论），下文将完成该等式的证明，二元加法运算在可表偶数上封闭；那么素数二项式就是素数多项式的最优化表达。因为二元运算封闭，其迭代运算就封闭。

即两类素数符号就足以最优化可穷尽区分所有的线条。可见重合法是证明哥德巴赫猜想筑基用的，相邻论是证明哥德巴赫猜想封顶用的。证明哥德巴赫猜想这两个方法缺一不可。

偶数类线条2条可区分与2 n 条可区分，以及映射等价的判定，是用欧几里德的几何公理完成证明的。一维线条，任何一节线段，有且只有两个端点，因此能和线段衔接的就只有两处。一维空间的连线必须做到不同类相邻，因为同类相邻即合数，合数的叠加就是同类相邻完成的，区别于多维空间，一维空间的连线必须是不同类相邻，即互素相邻，故决没有相同数或合数相连，比如说不能用很多相同的1区分，相同的1之所以能完成区分，是因为每个1距离起点的距离不同，虽然不同的1乘积一样，但它们的单位不同，每个1的基数虽然相等，可它们作为位置上序数是没有一个相同的，这就是君子和不同的道理。如果相同则混沌不可比较，逻辑关系崩溃。根据乘法交换律。给定线段用1条2个素数区分，跟用n条2个素数区分，两者都能唯一确定对象。

我们也把2条区分叫做是2 n 条区分的最优化组合。华罗庚的优选法原理[23]要追本溯源就来自于此。相邻论的一个重要公式是，f（ n ）=2^ n ,一维空间的最优化相邻组合元素是2，求2维空间的最优化不同类相邻组合元素，可将维数变量2代入相邻论公式，可得f（ n ）=2^ n ,f（2）=2^ n =4，故4就是平面的最优化组合元素，这就是为什么区分地图四色足够的内在原因，由此四色猜想也就得到了证明。另文还将细化这一证明。

“可表偶数与非可表偶数之并集同全体偶数格网线条”等价定理：2^ n 个奇素数可区分的 n 维线条以及不可区分的 n 维线条，定含大于6的所有偶数格网线条。

证明：：任意给定 n 维空间，连接成一条对称格网线条2 k 时，都可用2^ n个 不同的两奇素数对称格网线条区分。此区分又叫可表偶数区分（即“ n 维空间最优化区分数”定理，后文将证明这一定理。在这里先假设，只是完成了局部区分，还有例外偶数的区分。）

在偶数8的基础上每后继添加一条对称格网可表线条，都可用两素数区分，根据皮亚诺公理， n 条不同的对称格网线条，连接成 n 条对称格网线条分别为2 k 时，也就都可以用两素数区分。而2^ n 个素数连和可以表达大于6的 n 维空间中的所有对称格网线条2 k ，可见大于6的所有偶数无论是用可表偶数区分，还是非可表偶数区分，都是可用偶数个素数区分的。即一对的可表偶数和 n 对的非可表偶数之并集等于大于6的全体偶数。费马螺旋模型直观描述了这一判定。

素数因子封闭定理：2个奇素数可区分的一维连接的线条，定含所有的奇素数因子，线条解集存在所有的几何部件。仅能一维连接的空间叫几何部件，几何部件等价素数，几何高阶部件等价合数。

证明：根据互素关系，在 p +3= m 中，已知线条 p 为所有素数，线条 m 必为一条不含3因子而含其他因子的偶合数；将3换成5，在 p +5= m 中，已知线条 p 为所有素数，线条 m 必为一条不含5因子而含其他因子的偶合数。在 p + q = m 中，已知线条 p 、 q 为所有奇素数，线条 m 必为不含 q 因子而含其他因子的偶合数，由于每次不含的素数，都可以在其他组合中获取，故 m 是含所有奇素数因子的偶合数。 m 若缺位奇素数因子 r ，那么 m 必不含2n r ，2n r -3就一定是合数，因为是素数的话， p 就不能包括所有素数了，而是合数的话，就一定含素数 p 或3，而 p 包括 r 素数，但互素关系2n r -3不能被 r 或3整除，矛盾。故 m 不能有任意奇素数因子缺位。可见奇素数加法二元运算，值域可表偶数虽不是封闭的，但其奇素数因子域是封闭的。也就是说奇几何部件加奇几何部件，从全集域上看，不会产生新的奇几何部件，也不会丢失旧的奇几何部件。这个结论将对证明霍奇猜想有用。

“1维空间可表偶数与2维空间可表偶数”等价定理：4素数可区分的对称格网线条，也可用2素数区分，2素数不能区分的线条，4素数也不能区分。即奇素数可表三素数定理成立（前文已证明），二素数定理也就成立。

证明：因为AB+BC=AC’∪非AC’=AC，由于其本原解方程必三元互素，如果非AC’不能用两素数区分，则属另类对称格网线条，其本原解与AB、BC必互素互异，由于互异的可表偶数的素数因子定义域充满所有素数（上文已证），而可表偶数AC’与可表偶数AB、BC除互素外，且在可表偶数域上每次互异，累计同域，那么非AC’若不能两素数区分就一定是空集，因为又要互素，又不能使用AB和BC中的素因子，这是互异关系假设下的必然结论。二元线性空间都有二元素数基底，若非AC’没有二元素数基底，故非AC’就是空集。根据已知AB,BC囊括了所有的素数因子，AC由AC’以及非AC’构成，而这样的补集是空集，故AC就等于AC’。故AC一定也是可用两素数区分的对称格网线条，即也是可表偶数。凡能四素数区分平面空间，就定能二素数区分一维空间。二元加法运算在二维空间的可表偶数上是封闭的。

“2维空间可表偶数与 n 维空间全体偶数”等价定理：4个奇素数可区分的对称格网线条，也可用2n个奇素数区分，4个奇素数不能区分的线条2 k ，2n个奇素数也不能区分。

证明：既然 “1维空间区分的可表偶数与2维空间区分的可表偶数”等价，现假设 “ k 维空间区分的可表偶数与 k -1维空间区分的可表偶数”等价，根据皮亚诺公理，可推理出，“ k +1维空间可表偶数与 k 维空间可表偶数”也等价。既然2维空间上可表偶数同 n 维空间上的可表偶数一样，那么只能说明能 n 维区分表示而不能2维区分表示的偶数就是空集，因此2维空间上的可表偶数就囊括了大于6的全体偶数。

用几何直观思维再简洁证明之。一根素数多项式可表的格网线条是素数二项式可表的偶数2 k ，一分为二挂在手指上，现延伸两格成2 k +2，根据伯特兰-切比雪夫定理，那新增素数就大于 k ，不大于 k 的素数为已有素数，那么2 n 个加项的素数多项式如果更换2 n -1个素数等价一个以上新增素数来构造可表偶数的后继偶数会“过犹”，2 n 个加项的素数多项式如果更换2 n -1个素数等价一个以下新增素数来构造可表偶数的后继偶数会“不及”，因此素数二项式如果不能通过更换1个新增素数来构造2 k +2，那么素数多项式也不能构造表达2 k +2，而素数多项式等价算术基本定理，是可以表达所有偶数的，这就与算术基本定理矛盾。为了取中庸思想，不再过犹不及，于是可表偶数之后继偶数也必须素数二项式可表就必须成立。再列举初项8=3+5是可表偶数，10=3+7是可表偶数，现已证明假如2 k 是可表偶数，则2 k +2也是可表偶数。根据数学归纳法，所有不小于8的偶数都是可表偶数，都可以用两互异的奇素数之和表示。

“ n 维空间最优化区分数”定理：f（ n ）=2^ n ，即 n 维空间的2^ n 个奇素数相加，都能得到全体偶数（有限项较小偶数对应除外）。

例外偶数都是空集，即1维空间最优化数f（1）=2^1所对应的可表偶数，与大于6的所有偶数等价。于是哥猜命题也就得到了证明。加上2+2=4，3+3=6，大于2的偶数都可以用两素数之和表示也就顺带得到了证明。到此用几何法相邻论就证明了偶数强哥德巴赫猜想原题是成立的。另外，用“ n 维空间最优化区分数”定理，可以证明四色猜想，蜂窝猜想，庞加莱猜想等。“2维空间可表偶数与 n 维空间全体偶数”等价定理，这个定理与庞加莱猜想的本质是一致的，“任何一个单连通的，闭的三维流形乃至高维流形一定同胚于一个三维的球面。”，同胚，显示了拓扑对象其整数素数性质的不变性。本定理是庞加莱猜想的命题内核。

3.5.分析数论角度完成封顶证明

我们再用解析法相邻论来证明哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想关注素数二项式中的素数变量与自然数的关联，黎曼假设关注幂次流复数中的复数变量与自然数的关联。

黎曼假设的奥秘是，蔡塔方程的多项式连和只有一个均值变量的系数选项可以同构表达2 n ，有同构关系才可构造解析延拓后的非平凡0点解，否则同态关系时多项式只能构造不等式。

这个线性代数的思想就是：在原函数求和与负扩域函数求和两者相加的多项式方程中，若实部Re s 所在位置是多项式方程系数向量平直的一维直线斜率，所对应的级数向量线性组合是线性相关的，那么斜率系数改变量的级数向量线性组合就会依然是线性相关的；若改变量Re s 所在位置是多项式系数向量弯曲的高维流形导数，所对应的级数向量线性组合是线性相关的，那么导数系数改变量的级数向量线性组合就是线性无关的。

因为斜率是导数或高阶导数的生成元，在亚纯函数中，互异斜率会对应互异导数，互异斜率会对应互异函数，自然地互异导数就会对应互异函数。这个性质可由洛必达法则推导得到。如果不能得到常数，还可以迭代多次，进行多阶求导。

Zate函数虚部ims的所有解都是与离散点有一一映射关系的极值点，故称是弱解析的连续量。原函数与负扩域函数的极值之比等于 A, 即f（ x )- A g( x )=0,-1/ A f（ x )+g( x )=0,g( x )为扩域函数。 A 就是zeta函数指复数函数的实部为1时的均值函数的特征数，其中扩域函数就是均值函数。特征数生成元改变为A+△A，则f（ x )就发生改变，f（ x )- A g( x )也随之发生改变，也就是说会等于非0。

这个结论可由选择公理来印证，新算法会带来新的数集，满足超限数学归纳法，而强连续量本文不予探讨。

含正弦值因子项的都是虚部，显然当每项有两处因子的指数发生变化时，可等价于级数系数因子的导数发生变化，或者说，级数系数因子的曲率相关量发生变化，这个变化量因子系数，我们管它叫导函数向量，该导函数向量跟级数向量的线性组合除有一个切点斜率满足线性相关外，其它都是线性无关的。

根据通项导函数未变化前，级数的每一项都是剩余项向量的线性组合，可知原系数向量跟级数向量的线性组合是线性相关的。这个可由哈代证明过的蔡塔函数存在无穷个非平凡0点解而得到证实。

同构关系的多项式，各项经数乘和内积运算变换后，多项式的解集仍然还可以是同构关系，因每一次都是纯量数乘，但同构关系的多项式，各项经用导数性质的对象叉乘和点乘变换后，多项式的解集立马都变成同态关系了。原级数的线性相关就会变成线性无关了。数乘是各项均衡变换，故可延续同构关系，内积是各项不均衡变换，但可做到互补均衡，故也可延续互补关系，但导数的内积和数乘就没有这样的性质，它不是各项的均衡变换，也不是各项互补但左右总量均衡的变换，它是随着各项变量而加速变换的量，由于导数的马太效应，使大值更大，小值相对更小的性质，同构关系的均衡不再继续。

既然原级数系数向量是线性相关的，又已知该级数线性组合不是通过极限获得0值的，只能是正负值抵消得0，即解析延拓后新产生的正负交错级数从而有了条件收敛。因此可判定，正值项级数和与相反的负值项级数和，相加后会得0。

我们来看zeta函数的差分算子。不难发现高阶素数多项式的差分算子，其重要生成元是素数的项数，即特征数，也就是导数差商 A 就是斜率。当项数超过2时，差分算子就不是原斜率了，而是加上了改变量的斜率或者是加上了改变量的相应导数，正负项不再是原等值变化的单调递增，而是一边越来越大。那两边就是同态关系了，故求和相减后不能收敛于0。

只有差分算子等价于一阶素数二项式时，zeta函数才是正负同构等价的。

f（ x ）的 n 阶向前差分公式为：

当系数向量的通项式导数因子发生变化后，级数较小项与级数较大项的和值就会随之发生变化。因为级数系数多项式的导数单调性变化会随着级数值的导数增大而加倍增大，于是级数正负项的和值绝对值增大。由于导函数在各正项值和各负项值上的缩放能力因项值不同而不同，故除1/2外的级数各项指数无论怎么变化，级数的和值都不能得0，因此级数各项指数1/2外的导数所构造的系数向量，必跟级数向量的线性组是线性无关的。

通过差分算子的通项再算差分算子，不断迭代进行，就会得到差分算子常数，这个算法也可以用洛必达法则进行多阶求导运算，得到常数 A ,或其中一个重要公因数。对zeta函数求导，会得到重要斜率常数1/2，可见实部常数Res=1/2是zeta函数中导数的生成元，改变1/2就是改变zeta函数中导数的生成元，Res互异，zeta函数的导数即互异。导数互异，求和所得到函数就互异。原1/2对应函数0点，非1/2就对应函数非0点。

在多项式原函数求和与负扩域函数求和两者相加的多项式方程中，我们把负扩域求和看成是纯负扩域求和，是特征数为1的均值数函数求和。而原函数的斜率是1/2,把方程左边的斜率移到右边就变成斜率是2的均值函数，这就与哥猜引理一致了：线性算子作用素数一次二项式与特征数作用多项式的均值等价。

若不用这个等价关系证明黎曼假设，可用洛必达法则得到，若斜率互异，则导数互异，导数互异则斜率互异，而导数互异，原函数必互异。当然原函数互异，解析延拓后求和值即原函数减去均值函数的差值也必互异。现已知斜率为1/2时，原函数减去均值函数的差值为0，并有无穷组虚部解，哈代已证，根据互异关系，可得，斜率为非1/2时，解析延拓后求和值不能为0。所以zate函数值为0时所对应的实部常数是唯一的，这样根据黎曼分析zate函数性质就可以推理出，所有解都在实部等于1/2的临界线上。因为s=1-s=0，实部虚部都有共轭解，既然要共轭又要唯一，那zate函数的实部只能是1分为2的中间数1/2了。这是洛必达法则根据导数的生成元互异，则通项函数互异，则均值变量的特征数互异，则级数的和值互异，从而推得实部有唯一非平凡0点解，继而根据zate函数性质，得到实部解为1/2。

于是不含1/2常数的导函数向量，跟级数线性向量的线性组必线性无关，此时的黎曼蔡塔函数就没有非平凡0点解。也就是说，当Res＞1/2,Res＜1/2时,zate函数都没有非平凡0点解。这个结论获证，说明所有的解都在临界线上，于是黎曼猜想就得证。

这一线性规律与哥猜引理很相似。只不过哥猜引理更明确，线性相关的特征数是2，而这一线性规律是建立在假设的基础上的，若函数的生成元 k 有线性相关，则函数的生成元 k +△ k 就线性无关。现在已知哈代证明了有无数个解在临界线上，故生成元Res=1/2存在线性相关，即有0点非平凡解，那1/2+△ k 就线性无关，无0点非平凡解 。 如此可证明，所有解都在临界线上了。于是也就可以反过来证明，线性相关的特征数是2，这就可推理出，例外偶数是空集，线性变换不扩域，据此就可以证明，哥猜也成立了。

为何zate函数均值变量的特征数是2就可证明例外偶数是空集呢？因为zate函数的均值变量的数乘是解析延拓出来的负数，而它的数乘系数由zate函数的实部决定。由于均值变量乘以特征数2时才有同构关系，特征数2可由生成元1/2构造出来，其它数构造出来的非2数，数乘均值变量后，相较于多项式变量都是同态关系（因为无非平凡0点解）。zate函数的通项决定了这一性质。正负通项的绝对值同构，它们的级数会等量抵消为0，当然非同构的正负通项也可能级数会等量抵消，但同态关系的正负通项不可能级数会等量抵消，因为一方蕴含另一方，故它们的级数不会等量抵消。因此实部非1/2时的zate函数值不会等于0，唯一等于0了，只能说明变量多项式只有等于2 n 时，才有同构关系，即所有的偶数都是素数二项式的线性映射，素数二项式的线性映射也都是偶数。再加上素数二项式的线性映射变换不扩域，因为线性变换后所得到的等价新增素数的个数若不等于1时，都不能获得可表偶数的后继偶数，而是会要么过犹要么不及，于是可证区别于可表偶数的例外偶数是空集。如此互素型哥猜获证。

可见哥猜，孪生素数猜想与黎曼假设三者之间是可以相互证明的等价命题。

以上从四个角度进行了哥德巴赫猜想的封顶证明，用一句话表达就是，火车能跑，是因为火车头能跑。历史若不是英雄创造的，人民也必将无法创造历史，现人民创造了历史，因此必有英雄在创造历史。人民军队把老人背过了河，若没有一个活雷锋背了老人，那人民军队就没有把老人背过了河，现人民军队把老人背过了河，所以一定有活雷锋把老人背过了河。多项式可表，必二项式可表，集体能行，必个体能行，二项式可表，未必多项式可表，个体能行，未必集体能行。哥猜获证，为开明精英执政提供了合理性，为效率民主执政带来了依据性。精英不开明等于专制，民主无效率等于幼稚。

哥猜被证明，意味着数学思想中的核心引擎浮出水面。相邻论的本质是，远邻关系由近邻关系所决定，地面上的炮弹远控能打中目标，全靠镜面上的准星微调能到位。（以上证明应用了相邻论数学工具）。

4.1.用邻函数L（ p ）与相邻素数迭代递推公式探索素数分布

有人把素数通项公式作为哥德巴赫猜想是否被证明的试金石，因为一旦有通项公式，哥德巴赫猜想可直接得到证明。而素数的定义决定了，它是不可能有通项公式的，但可以存在递推公式。黎曼假设和素数定理都不能成为素数通项公式，有些所谓通项公式只不过是将递推公式进行集结而已，都不能算是严格意义上的通项公式。解析数论中的积性数论概率公式就更不算了，加性数论差额公式也不算，一个从公比的角度，一个从公差的角度。黎曼假设是求幂次方的解，属于前者，是概率法求解素数；哥德巴赫猜想是求共轭素数的解，属于后者，是差额法求解素数。二者都不是素数的通项公式，但可以把二者结合起来，寻找出素数递推公式。特别是差额法求解素数有其优越性，通常人们会问“为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的”，可偏偏素数的秘密不仅隐藏在乘法中，更隐藏在加法中。

新增相邻素数递推公式是：

p_{m+1} =orad（ p_{1} * p_{2} * p_{3} * p_{4} * p_{5} *… p_{m} *+2）；

p_{1} =3， p *为素数幂数，*为各素数可同可不同的任意指数，且小于或等于 pm ，orad表示用小于或等于 pm 内的素数将括号内的数值减2做取无平方素数运算后，再将所得值域做取无同质素数运算，直到括号内的数出现比序素数 p m更大的单素数，在任意幂不大于 pm 的前提下，这个孤单出现的最小新素数就是 p m的新增相邻素数 p_{m+1} 。

这个公式的意思是，依次对各因子任意数列首项的2邻数用小于或等于 p m内的素数做取无平方素数后，再与新增值域做取无同质素数运算，直到出现：

｛ p_{m+1} :（ p_{1} * p_{2} * p_{3} * p_{4} * p_{5} *… p_{m} *+2）｝是最小的单素数，即非连积素数。当若有同质时，则取下一个幂数连积的2邻数进行orad计算，即对自然数 n 的每个数从小到大次第做orad运算，所得到单素数即为素数序列。更为重要的是，我们得知，*虽为各素数可同可不同的任意幂数，但在求相邻素数时，并不是一个任意数，它不能大于新增素数，它由费马小定理所决定。

若 p 是合数m中的素因子，则 m/2 ≤ p ≤ m ^1/2。给定数n要么是合数 m ，被 m/ 2≤ p ≤ m ^1/2中的任意素数筛去，要么是素数 q ，不能被筛去。

从以上表达式看，它就是筛法，那么在哪里有所改进呢？首先它仅在奇数域里筛选，且用相邻递增的奇数与奇素数进行一一映射的筛选，由大规模捕捞改进到小范围狙击。

这就是古典数论中应用性较强的埃拉托色尼筛法[25]，它是乘法筛，它的重点不是筛去了什么数，而是如何获得新数，是差值为2的后继数产生了无漏的新素数。前者为重合法，后者为相邻论，重合的世界往往是等量的无穷的，相邻的世界往往是次第的无漏的。而次第的世界更加根本，次第而生的素数原来是可以通过有限递增的已知获得的，不能被已知证伪的存在就是成长中的真理，知无漏比知无穷更加重要。相邻论从解析筛法中挣脱出来的一个关键是，从关注无穷转向关注无漏，解析法建立在无穷极限值的基础上，因而都是因子的，概率的，相邻论建立在无漏序列1的基础上，因而都是差额的，优选的。将筛法推进一步的做法是，进一步在 m /2≤ p ≤ m ^1/2范围里缩小范围。

根据重合法和相邻论，可以把递推公式进一步改进。2 p大 +2= p新 + p小 ，或者2 p大 +2= p新 +p大，据此可得， p新 =2 n +2- p （ p 不能大于 n ，它们相等时， p新 是 p 的孪生素数， p新 和 p 是2 n +2的标准共轭差最小的共轭素数， p新 为未知素数， p 为已知素数，未知素数要通过不断获得的已知素数递推得到，因为要首先通过已知的相邻素数验证而获得新增素数，然后次第找到更小的素数看是否有共轭素数连和可等值该相邻偶数。

那么有新增相邻素数差额法递推公式是：

p_{m+1} =alad（ p_{1} ∨ p_{2} ∨ p_{3} ∨ p_{4} ∨ p_{5} ∨…+ p_{m} +2）

p_{1} =3， p 为素数，alad表示用小于或等于 p_{m} 内的素数将括号内左边素数选项的数值做取无等值共轭素数运算后，直到括号内的数出现比序素数 p_{m} 更大的单素数，这个孤单出现的最小新素数就是 p_{m} 的新增相邻素数 p_{m+1} 。这是用差额法求解任意偶数里共轭素数对中的非同质非遗漏大素数。由于存在孪生素数以及素数的差值的差值为2的缘故，故此可以不断相邻产生新素数，对应相邻偶数，由于孪生素数在不同的位置中存在，于是新增相邻素数的差值就可以不断变化，可以等于任意偶数。通过迭代计算，任意给定数的后继素数就可以依此公式求得。给定数若是素数 p_{m} 则有唯一的后继素数 p_{m+1} ，若没有， p_{m} 和数 p_{m+1} 之间的每个合数则有唯一的后继素数数 p_{m+1} 。显然，它是不同于埃拉托色尼除法筛的一种减法筛。用 m /2≤ p ≤ m +2之间的素数进行减法筛。

4.2.数学的内在本质是含可逆的不可逆“非运算”

本文除了完成互素型哥德巴赫猜想成立的存在性证明外，还给出了素数分布的迭代计算公式，这些公式还可以完成更复杂的有关哥猜的构造性证明，本文不表。故此，根据偶数序，就可以求解到素数序。随着计算机完成迭代运算的性能升级，为寻找素数分布之路打开了绿灯。但由于光速有限，计算机寻找素数之路在一个遥远处必然会中断，除非有大于光速的介质横空出世，用灵质运动推动新计算机，素数大门才会继续打开，而“量子纠缠”的思想，已闪烁灵光，灵质是不能用光子检测的，度量单位具有不可逆性，仅在目测的世界里，光速是极值。只有将素数大门无限打开，体现相邻论核心精神的不可逆“非运算”才会真正展开，纯数学的直觉世界才会扑面而来。

何为可逆“非”运算与不可逆“非”运算；不可逆“非”始终包含可逆“非”，而可逆“非”则无法囊括不可逆“非”。不可逆“非”为基数表达的并运算，可逆“非”为基数表达的交运算；相反，不可逆“非”为序数表达的交运算，可逆“非”为序数表达的并运算。负数进行非运算变成正数，这是可逆非运算，正数进行非运算重新变成负数，这是可逆非运算。正数进行非运算变成二阶正数，这是不可逆非运算。负数进行非运算变成2阶负数，这是不可逆非运算。虚数进行非运算变成2阶虚数，这是不可逆非运算。不是互补关系的越级非运算，都是不可逆非运算。数学的突破性发展都是某个层面的不可逆非运算推动的。群论所描述的是对称互补关系，相对小范畴是不可逆运算，相对大范畴仍是可逆非运算，而相邻论所要表达的则是不可逆延伸关系。群论表达了数学的形式结构，而相邻论则表达了数学的内在本质。研究和探索 n 阶负数， n 阶虚数， n 阶无理数的新数学时代即将来临。

不可逆“非运算”是中国乃至世界传统思想的核心，无论是老子的道可道非常道，还是佛陀的非想非非想，孔子的不偏不倚，耶稣的无知之幕，都将“非运算”伸向了极致，无穷延伸的素数就是不可逆“非运算”的象征。布尔代数将所有的逻辑运算概括为“交”“并”“非”三种，其实还可以进一步概括为一个字就是“非”，有交运算性质（收敛）的“非”和并运算性质（发散）的“非”，有收敛才有等量关系，有发散才有序列关系，交集是公共混沌存在，不是根概念，根是指开放的全集。基数1是交运算的最后结果，序数1是并运算的最后结果。世界传统思想的核心是，一切来自序数1，一无所有，应有尽有都是序数1派生出来的。序数1是不可量化的，一切都是序数1的子集。如果把序数1作为公理体系的话，该公理是开放的，它不受哥德尔定理的约束，它能证明的命题是发散的，而哥德尔宣告了现有的公理体系所能证明的命题是收敛的，图灵机会死机。哥猜获证所带来的思想收获是，图灵机就像薛定谔的猫，或生或死或不生不死。素数思想的突破将成为超弦理论以及凝聚态物理学的最佳数学工具。

无穷个离散量的自变量通过矩阵运算获得一个无穷连续量的值域，经证明该运算的幕后引擎其实质往往可归结为是由一个离散量的自变量决定的。高维度离散量的自变量通过积分运算获得一个高维连续量的值域，经证明该运算的幕后引擎其实质往往可归结为是由一维离散量的自变量决定的。也就是说自变量的第一个相邻关系至关重要。相邻论构建了一种包含同类集结且能异类区分的数学思想，建立了比集合论更基础的数学。如果自然数不能表达无限复杂的世界，那么有理数，实数，复数，代代数，超越数亦不能表达无限复杂的世界。真的应了克罗内克的那句话：“上帝创造了正整数，其余都是人的事情”。而这样一个伟大判定，就基于哥德巴赫猜想获证后的一个简单推论。即首个相邻运算，决定了无穷无漏迭代运算；无穷无漏迭代运算，将归结为最后极限运算。如此可将离散和连续融为一体。前者是蛋生鸡，集合论是其基础，对象开放，是基数思维；后者是鸡生蛋，相邻论是其基础，算法开放，是序数思维。前者为还原论，后者为整体论。

2013.12.3 于深圳

2018.12.28修改于深圳

附注： 本文原稿关键部分发表于国家专业数学期刊《数学学习与研究》2013年第3期上，这里稍有改动。该文2017年5月被收录于由海天出版社出版的《深圳基础理论原创文集》一书中。本文新校稿已收录于论文专集《数学核心引擎相邻论》一书中，将由海天出版社于近期出版。该书收录了本文作者21篇有关数论猜想的证明。

文献参考：

【1】《数论的方法》，闵嗣鹤，科学出版社。

【2】《华罗庚文集》，华罗庚，科学出版社。

【3】《初等数论》，潘承洞，潘承彪，北京大学出版社。

【4】《纯数学教程》，哈代，人民邮电出版社。

【5】《伽罗瓦理论:天才的激情》，章璞，2013年高等教育出版社。

【6】《数学问题》，希尔伯特，2009年大连理工大学出版社。

【7】《千年难题》，基撕·德夫林，上海科技教育出版社。

【8】《数论导引》华罗庚，北京科学出版社。

【9】《Everyoddnumbergreaterthan1isthesumofatmostfive primes》，TerenceTao ，http://arxiv.org/abs/1201.6656

【10】《素数之恋》，约翰·德比希尔，2008年上海科技教育出版社。

【11】《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，陈景润，1973年《中国科学》杂志。

【12】《用河图洛书原理破解了考拉兹猜想》，罗莫，2012年第11期《数学学习与研究》杂志。

【13】 《河洛精蕴》，江永，2011年九州出版社。

注释：

[1]皮亚诺公理，也称皮亚诺公示，是数学家皮亚诺（皮阿罗）提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

[2]算术基本定理，任何一个大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个素数的乘积，这里均为素数，其诸指数是正整数。最早证明是由欧几里得给出的。此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。

[3]中国剩余定理CRT），设 m1 , m 2,...,mk是两两互素的正整数，即ｇｃｄ( ｍｉ,ｍｊ )=１, ｉ ≠ ｊ,ｊ =１,２,..., ｋ 则同余方程组： ｘ ≡ ｂ１ （mod m1 ） x ≡ b2 （mod m2 ）... x ≡ bk （mod mk )模[ m1,m2,...,mk ]有唯一解，即在[ m1,m2,...,mk ]的意义下，存在唯一的 x ，满足： x ≡ bi mod[ m1,m2,...,mk ], i =1,2,..., k 。

[4]丢番图问题，围绕丢番图方程（DiophantineEquation）而展开的数论谜题：有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。

[5]朗兰兹纲领，是数学中一系列影响深远的构想，联系数论、代数几何与约化群表示理论；纲领最初由罗伯特·朗兰兹于1967年在一封给韦伊的信件中提出。它的核心精神是，就是将一些表面看起来不相干的内容建立起来本质联系，使数学难题可以借助不同的桥梁而获得解决。朗兰兹预言，围绕蔡塔函数和二次互反存在层层有待揭示的奥秘，还提出了数论中的伽罗瓦表示与分析中的自守型之间的一个关系网。

[6] NP完全问题，是世界七大数学难题之一。即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是 ＮＰ ＝ Ｐ ？，问题就在这个问号上，到底是 ＮＰ 等于 Ｐ ，还是 ＮＰ 不等于 Ｐ 。

[7]费马螺线，是等角螺线的一种，表达式： ｒ ＝ θ ＾１／２。文中所提到的费马螺线，是在此基础上构建的一种几何格点数论模型，螺线角度可以任意变形，只取双螺线中的紧邻关系不变，从任何一个格点进行相邻延伸，获得系统全部关系数据，都存在唯一可确定的路径，存在可实现目标的最优化步骤。

[8]希格斯机制，与相同个体不存在的假设相反，认为存在最小的上帝平等粒子，于是空间领域朝两个方向发展出了非欧几何和欧氏几何，时间领域朝两个方向发展出了非等量算术和等量算术。基于上帝粒子的概念，有了等量算术。基于上帝初始的概念，有了不等量算术。

[9]四色猜想，借助计算机已获证明，现在叫四色定理了，但数学界依然在呼唤简洁的文本证明。四色猜想是一个著名的数学猜想，通俗的说法是：每个平面地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。

[10]庞加莱猜想，法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于２００３年左右完成几何化证明。本书给出了算术化证明。

[11]华林问题，数论中的一个问题。１７７０年，Ｅ．华林推测：每个正整数是４个平方数之和，９个立方数之和，１９个４次方数之和等等。也就是说，他认为对任意给定的正整数 Ｋ ≥２，必有一个正整数Ｓ（ Ｋ ）存在，使得每个正整数 ｎ 必是Ｓ（ Ｋ ）个非负的ｋ次方数之和。

[12]欧拉连和连积恒等式，也叫欧拉乘积公式，这一公式将一个对自然数的求和表达式与一个对素数的连乘积表达式联系在一起，蕴涵着有关素数分布的重要信息。为了纪念Riemann的贡献，Euler乘积公式左端的求和式被冠以Riemann的大名，并沿用Riemann使用过的记号ζ(s)，称为Riemannζ函数。

[13]黎曼假设，德国数学家黎曼提出，关于黎曼ζ函数ζ（ ｓ ）的零点分布的猜想，希尔伯特２３个数学问题中第８问题，千禧年七大难题之一。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ( s )非平凡零点（在此情况下是指 s 不为-2、-4、-6等点的值）的实数部分是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2+ t i（“临界线”（criticalline））上。

[14]鸽笼原理（抽屉原理）：“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子。”这个简单的事实就是著名的鸽笼原理。

[15]陈氏定理，中国数学家陈景润于1966年发表的数论定理，1973年公布详细证明方法。这个定理证明任何一个足够大的偶数都可以表示成一个素数和一个半素数（2次殆素数）的和，也就是我们通常所说的“1+2”。

[16]考拉兹猜想，该猜想由日本数学家角谷静夫发现，是指对於每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1，故又称为3 n +1猜想。本书通过洛书定理完成了证明。

[17]洛书定理推论，整数自乘时的尾数理论，叫洛书定理，奇数自乘尾数存在1、3、9、7的4周期，偶数自乘尾数存在2、4、8、6的4周期，偶数0居中不变，奇数5居中不变。在此基础上衍生出许多判断，就是洛书定理的推论。

[18]陶哲轩，澳洲华裔数学家，1996年获美国普林斯顿大学博士学位后任教于UCLA，24岁时便被UCLA聘为正教授。2004年荣获“菲尔茨奖”，主要成就有，证明了“存在任意长度素数等差数列”，“每个大于1的奇数都可以用不超过5个素数的和表示”。

[19]维诺格拉多夫，苏联数学家（1891-1983），主要贡献在解析数论方面。1934年提出了估计外尔三角和的新方法，对华林问题作了重大改进。1937年他引进了线性素变数三角和的概念，从而证明了三素数定理。即：存在正数 c 使得每个大于 c 的奇数是3个奇素数之和。他一生不断完善和发展估计各种三角和的方法，在许多数论问题上得到重要结果。他的方法已成为解析数论的强有力的工具，并在分析学、近似计算、概率论及数学物理等领域得到应用。

[20]邻函数定理，与欧拉乘积公式相比：相同点，都找到了连续量与离散量之间的关联，自然数与素数之间的联系；不同点，欧拉乘积公式需要复分析来概率求解模糊范围关联，而邻函数则用构造性方法通过素数逐级任意连和、素数逐级任意连积获得全部自然数来定点求解精准范围关联。

[21]威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明。在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时：( p -1)!≡-1(mod p )。

[22]哈代，剑桥大学教授。他和J.E.李特尔伍德长期进行合作，写出了近百篇论文，在丢番图逼近，堆垒数论、黎曼ξ函数、三角级数、不等式、级数与积分等领域作出了很大贡献，同时是回归数现象发现者。在20世纪上半叶建立了具有世界水平的英国分析学派。

[23]优选法以数学原理为指导，合理安排试验，以尽可能少的试验次数尽快找到生产和科学实验中最优方案的科学方法。即最优化方法。优选法的应用在中国从70年代初开始，首先由数学家华罗庚等推广并大量应用,优选法也叫最优化方法。

[24]群变换，数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群Ｇ的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑——这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

[25]埃拉托色尼筛法简称埃氏筛法，是古希腊数学家埃拉托色尼提出的一种筛选法。是一种在自然数中用自然数打捞素数的方法。本文的“搭桥法”不同于“筛选法”，“搭桥法”加性数论是以自变量无漏相邻变化所带来的因变量无漏相邻变化为研究方向的一种揭示素数相邻规律的数论。