题目
给定一个矩阵m，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有路径中最小的路径和。
例子：
给定m如下：
1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0
路径1,3,1,0,6,1,0是所有路径中路径和最小的，所以返回12。
使用动态规划，定义
dp[M][N]
, M ,N 分别代表矩阵的行和列数 dp[i][j] 表示从左上角到矩阵（i，j）位置是的最短路径和。则可知 到（i，j）位置有两种情况：1）由（i-1，j）向下走，2）由（i，j-1）向右走，所以dp[i][j]=Math.min（dp[i-1][j],dp[i][j-1]）+m[i][j];对于dp[0][j] 只能由 dp[0][j-1] 向右走，dp[i][0] 只能由 dp[i-1][0] 向下走。所以 dp[0][j]=dp[0][j-1]+m[0][j], dp[i][0]=dp[i-1][0]+m[i][0].
public static int shortestRoad(int arr[][])
int dp[][]=new int [arr.length][arr[0].length];
dp[0][0]=arr[0][0];
for(int i=1;i<arr.length;i++)
dp[i][0]=dp[i-1][0]+arr[i][0];
for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
dp[0][j]=dp[0][j-1]+arr[0][j];
for(int i=1;i<arr.length;i++)
for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])+arr[i][j];
return dp[arr.length-1][arr[0].length-1];
解法2（优化解法1）
思路：
解法1中使用dp数组的空间大小为M*N，其实可以对dp数组的空间压缩至N，定义大小为N的dp数组，对于第一行，dp[i]=dp[i-1]+m[0][i],在求第二行中的 dp[i] 时可以覆盖第一行 dp[i] ,第二行dp[i]=Math.min（dp[i],dp[i-1]）+m[i][j]。
public static int shortestRoad1(int arr[][])
int dp[]=new int[arr[0].length];
dp[0]=arr[0][0];
for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
dp[j]=dp[j-1]+arr[0][j];
for(int i=1;i<arr.length;i++)
dp[0]=arr[i][0]+dp[0];
for(int j=1;j<arr[0].length;j++)
dp[j]=Math.min(dp[j-1]+arr[i][j], dp[j]+arr[i][j]);
return dp[arr[0].length-1];
给定一个M×N的矩阵，定义一条路径为：从矩阵左上顶点数字出发到达右下数字，每一次只可以从一个数字出发向右移动一步或向下移动一步，定义路径和为：路径经过的数字的和。要求编写一个程序，找到路径和最小的那条路径，并给出最小路径和。
给定如图所示矩阵：一条路径为2->0->3->6->9->5，路径和为25
[2 ,0 ,11,1 ]
[4 ,3 ,6 ...
小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图中的最短路径。小蓝的图由2021 个结点组成，依次编号1 至2021。对于两个不同的结点a, b，如果a 和b 的差的绝对值大于21，则两个结点之间没有边相连；如果a 和b的差的绝对值小于等于21，则两个点之间有一条长度为a 和b 的最小公倍数的无向边相连。例如：结点1 和结点23 之间没有边相连；结点3和结点24 之间有一条无向边，长度为24；结点15 和结点25 之间有一条无向边，长度为75。请计算，结点1 和结点2021。
一、牛客 NC59 矩阵的最小路径和
给定一个 n * m 的矩阵 a，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，输出所有的路径中最小的路径和。
数据范围: 1≤n,m≤500，矩阵中任意值都满足 0 ≤ a(i,j) ≤100
要求：时间复杂度 O(nm)O(nm)
例如：当输入[[1,3,5,9],[8,1,3,4],[5,0,6,1],[8,8,4,0]]时，对应的返回值为12，
所选择的最小累加和路径如下图所示：
public int min
给定一个由 0 和 1 组成的矩阵，找出每个元素到最近的 0 的距离。两个相邻元素间的距离为 1。
将找每个元素距离最近的0转换为从0向外找1，因为如果该位置元素为0，那么他到0的距离就是0，所以找到1的距离就是1到0的距离。用广度优先算法来寻找最短距离。
//广度优先算法 ---从0向四周搜索1,就是最短路径
public int[][] updateMatri...
private int[][] grid = {{1, 3, 1}, {1, 5, 1}, {4, 2, 1}};
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
int sum = 0;
if (m < 1 || n &
其实用dp[][]二维矩阵处理这题更好理解，但为了减少空间所以用了一维的dp，但还是二维的思路阐述。
1、确定dp数组以及下标的含义——这里dp[i][j]表示到达(i,j)点的最小路径和
2、确定递推公式，（i,j）点只能由上方点和左方点到达，所以dp[i][j]...
二维矩阵从左上角到右下角路径的最小和（JAVA代码）—动态规划
给定一个二维数组m行，n列。假设这个二维数组中每个单元格的值都是正整数，表示从该单元格经过时需要花费的成本。
那么求从右上角第一个单元格到右下角最后一个单元格的路径中，花费的最小成本是多少？
约束条件为：你只能向右，向下，或者向右下（对角线方向）走。
给定一个m=3，n=3的二维数组cost，如下图所示，从左上角的第...
给定一个 n * m 的矩阵 a，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，输出所有的路径中最小的路径和。
m n 4 4
1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0
输出：12
更新整个矩阵
第一行和第一列只需要直接求和更新即可
其余部分可以看到 矩阵只能从左边或者上边经过，只需要比较左边和上边的数的大小，取小的即可。
public int MinPathSum1(int[][] m){
if (m ==
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
提示： m == grid.length n == grid[i].length 1 <= m, n <= 200 0 <=grid[i][j] <= 100
步骤一、定义数组元素的
* 问题给定一个矩阵m，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有的路径中最小的路径和。1 -> 3 5 98 1 3 45 0 -> 6 -> 18 8 4 0打印最小路径:1->3->1->0->6->1->0packag...
介绍这里讲的顶点对之间的最短路径是基于动态规划在图中的实现。每一个循环都类似矩阵乘法，因此这个算法看起来就像是一直在做矩阵乘法。实现在这里我们用邻接矩阵表示法来表示一个图，因为相对邻接表来说，邻接矩阵表示要容易些，并且采用自底而下的算法来计算最短路径权重。typedef int (*Metrix)[VERTEX_NUMBER];
void printfMatrix(Metrix ...
[DP题解]矩阵最小路径和问题
【题目】给定一个矩阵，例如demo，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有的路径和中最小的路径和。
算法分析：
这是一个典型的动态规划算法问题。
分析如下：
例如下图中的矩阵demo，1-3-1-0-6-1-0 的路径和最小，值为12.
由此进行算法设计：
给定带权有向图 G=（V, E）, 对任意顶点vi,vj 属于V,(i!=j) 求顶点vi到顶点vj的最短路径
解决办法: 弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法-----Floyd算法
基本思想:对于
