常微分方程的解析解(方法归纳)以及基于Python的微分方程数值解算例实现

本文归纳常见常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程数值解算例实现。

常微分方程的解析解

考虑常微分方程的解析解法，我们一般可以将其归纳为如下几类：

可分离变量的微分方程（一阶）

一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）

二阶常系数微分方程（二阶）

高阶常系数微分方程（

n

阶）

可分离变量的微分方程（一阶）

这类微分方程可以变形成如下形式：
两边同时积分即可解出函数，难点主要在于不定积分，是最简单的微分方程。

某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）

的方程叫做一阶线性微分方程，若

Q(x)

为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法： (直接套公式)

伯努利方程
的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：
令 $y^{1-n}=u$ , 方程两边同时乘以 $1−n$ ，得到
这就将伯努利方程归结为可以套公式的一阶线性微分方程。

二阶常系数微分方程（二阶）

的方程称为二阶常系数微分方程，若

f(x)\equiv0

，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

求出齐次通解

求出非齐次特解

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

齐次通解的求法

首先假设 $f(x)\equiv0$ .用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：
解的情况分为以下三种：

情况一：方程有两个不同的实数解

假设两个实数解分别是 $\lambda_1、\lambda_2$ , 此时方程的通解是
情况二：方程有一个二重解
假设该解等于 $\lambda$ ，此时方程的通解是
情况三：方程有一对共轭复解
假设这对解是 $\alpha\pm i\beta$ , 此时方程的通解是

非齐次特解的求法

对于 $f(x)$ 和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：

$f(x)=P_{m}(x)$ ，其中 $P_{m}(x)$ 表示 $x$ 的最高次数为 $m$ 的多项式。

若0不是方程特征解

则方程有特解 $y^{*}=Q_{m}(x)$

若0是方程的单特征解

则方程有特解 $y^{*}=xQ_{m}(x)$

若0是方程的二重特征解

则方程有特解 $y^{*}=x^{2}Q_{m}(x)$

其中 $Q_{m}(x)=b_{0}+b_{1}x+…+b_{m}x^{m}$ , $b_{i}(i = 0,1,…,m)$ 是需要带回原方程来确定的系数。

若 $\alpha$ 不是方程特征解

则方程有特解 $y^{*}=e^{\alpha x}Q_{m}(x)$

若 $\alpha$ 是方程的单特征解

则方程有特解 $y^{*}=xe^{\alpha x}Q_{m}(x)$

若 $\alpha$ 是方程的二重特征解

则方程有特解 $y^{*}=x^2e^{\alpha x}Q_{m}(x)$

若 $\alpha\pm i\beta$ 不是特征解

则方程有特解 $y^{*}=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))$

若 $\alpha\pm i\beta$ 是特征解

则方程有特解 $y^{*}=xe^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x))$

其中 $A_{1}、A_{2}$ 是需要带回原方程来确定的系数。

高阶常系数微分方程（n阶）

的方程叫做高阶常系数微分方程，若

f(x)\equiv0

，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

求出齐次通解

求出非齐次特解

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

齐次通解的求法 (参考二阶常系数微分方程解法) 非齐次特解的求法 (参考二阶常系数微分方程解法)

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

求出上述两点边值问题的解析解;

通过有限差分方法算出其数值解;(取

h=\frac{1}{5}

)并计算误差、绘图、输出

1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0

处的数值解.

问题一:两点边值问题的解析解

由于此方程是非齐次的,故 求解此类方程分两步：

求出齐次通解

求出非齐次特解

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

齐次通解的求法

首先假设 $y''(x)+2y'(x)-3y(x)\equiv0$ . 用特征方程法，写出对应的特征方程
求解得到两个不同的实数特征根: $\lambda_1=1,\lambda_2=-3$ .

此时方程的齐次通解是

非齐次特解的求法

由于 $\lambda_1\ne0,\lambda_2\ne0$ . 所以非齐次特解形式为
将上式代入控制方程有
求解得: $a=b=-1$ , 即非齐次特解为 $y^{*}=-x-1$ .

原方程的解 = 齐次通解 + 非齐次特解

于是,原方程的全解为
因为该问题给出的是第三类边界条件,故需要求解的导函数
将以上各式代入边界条件
解此方程组可得: $C_1=C_2=0$ .

综上所述,原两点边值问题的解为

常微分方程的数值解

一般二阶线性常微分方程边值问题的差分法

对一般的二阶微分方程边值问题
假定其解存在唯一,
为求解的近似值, 类似于前面的做法,

把区间 $I=[a, b] N$ 等分, 即得到区间 $I=[a, b]$ 的一个网格剖分:
其中分点 $x_{i}=a+i h(i=0,1, \cdots, N)$ , 步长 $h=\frac{b-a}{N}$ .

对式中的二阶导数仍用数值微分公式
代替，而对一阶导数，为了保证略去的逼近误差为 $O(h^2)$ ，则用 3 点数值微分公式；另外为了保证内插，在 2 个端点所用的 3 点数值微分公式与内网格点所用的公式不同，即
略去误差，并用 $y(x_i)$ 的近似值 $y_i$ 代替 $y(x_i)$ , $p_i=p(x_i),q_i=q(x_i),f_i=f(x_i)$ 便得到差分方程组
其中 $q_{i}=q\left(x_{i}\right), p_{i}=p\left(x_{i}\right), f_{i}=f\left(x_{i}\right), i=1,2, \cdots, N-1, y_{i}$ 是 $y\left(x_{i}\right)$ 的近似值. 整理得
特别地, 若 $\alpha_{1}=1, \alpha_{2}=0, \beta_{1}=1, \beta_{2}=0$ , 则原问题中的边界条件是第一类边值条件: $y(a)=\alpha, y(b)=\beta$ ; 此时方程组为
以上方程组是三对角方程组，用解三对角方程组的追赶法求解差分方程组，便得边值问题的差分解 .

讨论差分方程组的解是否收敛到原微分方程的解，估计误差. 这里就不再详细介绍.

考虑带有第三类边界条件的二阶常系数微分方程边值问题

求出上述两点边值问题的解析解;

通过有限差分方法算出其数值解;(取

h=\frac{1}{5}

)并计算误差、绘图、输出

1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0

处的数值解.

问题二:有限差分方法算出其数值解及误差
对于 原问题 ,取步长 h=0.2 ,用 有限差分 求其 近似解 ,并将结果与 精确解y(x)=-x-1 进行比较.

A1 = np.array([-2 * h - 3] + [b] * (NS - 1) + [3 + 2 * h]) # print("A1",A1) A2 = np.array([a] * (NS - 1) + [-4]) # print("A2", A2) A3 = np.array([4] + [c] * (NS - 1)) # print("A3", A3) A4 = np.array([-1] + [0] * (NS - 2)) # print("A4", A4) A5 = np.array([0] * (NS - 2) + [1]) # print("A5", A5) A = np.diag(A1) + np.diag(A2, -1) + np.diag(A3, 1) + np.diag(A4, 2) + np.diag(A5, -2) # print("A", A) # 矩阵b br = 2 * h ** 2 * f(x) + np.array( [2 * h - 2 * h ** 2 * f(x[0])] + [0] * (NS - 1) + [-8 * h + 2 * h ** 2 * f(x[NS])]) uh = np.linalg.solve(A, br) return uh L = 1.0 R = 2.0 NS = 5 x, h = initial(L, R, NS) a = 2 - 2 * h b = -4 - 6 * h ** 2 c = 2 + 2 * h uh = solve(NS) print("h=%f时数值解\n" % h, uh)

h=0.200000时数值解
 [-1.48151709 -1.56543883 -1.6245972  -1.6531625  -1.64418896 -1.58929215]
是不是解出数值解就完事了呢？当然不是。我们可以将问题的差分格式解与问题的真解进行比较，以得到解的可靠性。通过数学计算我们得到问题的真解为  $u ( x ) = -x-1$ ，现用范数来衡量误差的大小：
# 真解函数
def ture_u(x):
    ture_u = -x - 1
    return ture_u
t_u = ture_u(x)
print("h=%f时真解\n" % h, t_u)
# 误差范数
def err(ture_u, uh):
    ee = max(abs(ture_u - uh))
    e0 = np.sqrt(sum((ture_u - uh) ** 2) * h)
    return ee, e0
ee, e0 = err(t_u, uh)
print('L_∞(最大模)范数下的误差', ee)
print('L_2(平方和)范数下的误差', e0)
h=0.200000时真解
 [-2.  -2.2 -2.4 -2.6 -2.8 -3. ]
L_∞(最大模)范数下的误差 1.4107078471946164
L_2(平方和)范数下的误差 1.0483548020308784
接下来绘图比较  $h=0.2$  时数值解与真解的差距：
# 绘图比较
plt.figure()
plt.plot(x, uh, label='Numerical solution')
plt.plot(x, t_u, label='Exact solution')
plt.title("solution")
plt.legend()
plt.show()
哎呀呀! 根据输出显示的误差,发现此时数值解的求解效果令人难以接受 $L_∞$ (最大模)范数下的误差高达1.41,从图像也能看出数值解与解析解不仅相差甚远,甚至连曲线走势都不太一致.(数值解为一条曲线,解析解为直线)
此处首先认为解析解或者查分格式计算错了,休息了一晚上起来重新推导了一遍后并未发现明显错误. 后来在玩GTA的时候忽然想起导师之前提到过步长会影响数值解稳定性···,于是重新编写程序,修改步长后发现确实如此.
将区间划分为  $N=1280$  份, 即  $h=0.000781$  时.
h=0.000781时数值解
 [-1.99798816 -1.99876784 -1.99954751 ... -2.99297729 -2.99375427
 -2.99453125]
h=0.000781时真解
 [-2.         -2.00078125 -2.0015625  ... -2.9984375  -2.99921875
 -3.        ]
L_∞(最大模)范数下的误差 0.005468750663166322
L_2(平方和)范数下的误差 0.0035976563635910903
绘图比较  $h=0.000781$  时数值解与真解的差距：

可以看到此时已经具有较高精度, 若还未达到需求精度, 可通过缩短步长 $h$  继续提高精度.

最后，我们还可以从数学的角度分析所采用的差分格式的一些性质。因为差分格式的误差为 $O(h^2)$ ， 所以理论上来说网格每加密一倍，与真解的误差大致会缩小到原来的 $\frac{1}{4}$ . 下讨论网格加密时的变化：
# 误差与网格关系讨论
N = [5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560]
print("网格密度加倍时误差变化情况")
for i in range(len(N)):
    NS = N[i]
    x, h = initial(L, R, NS)
    a = 2 - 2 * h
    b = -4 - 6 * h ** 2
    c = 2 + 2 * h
    uh = solve(NS)
    t_u = ture_u(x)
    ee, e0 = err(t_u, uh)
    print('步长h=%f' % h, end='\t')
    print('最大模误差=%f' % ee)
网格密度加倍时误差变化情况
步长h=0.200000    最大模误差=1.410708
步长h=0.100000    最大模误差=0.701417
步长h=0.050000    最大模误差=0.350182
步长h=0.025000    最大模误差=0.175023
步长h=0.012500    最大模误差=0.087503
步长h=0.006250    最大模误差=0.043750
步长h=0.003125    最大模误差=0.021875
步长h=0.001563    最大模误差=0.010938
步长h=0.000781    最大模误差=0.005469
步长h=0.000391    最大模误差=0.002734
# 开发者:    Leo 刘
# 开发环境: macOs Big Sur
# 开发时间: 2021/10/5 6:51 下午
# 邮箱  : 517093978@qq.com
# @Software: PyCharm
# ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 准备工作
def initial(L, R, NS):
    x = np.linspace(L, R, NS + 1)
    h = (R - L) / NS
    return x, h
# 右端函数f
def f(x):
    return 3 * x + 1
# 解方程
def solve(NS):
    # 矩阵A
    A1 = np.array([-2 * h - 3] + [b] * (NS - 1) + [3 + 2 * h])
    # print("A1",A1)
    A2 = np.array([a] * (NS - 1) + [-4])
    # print("A2", A2)
    A3 = np.array([4] + [c] * (NS - 1))
    # print("A3", A3)
    A4 = np.array([-1] + [0] * (NS - 2))
    # print("A4", A4)
    A5 = np.array([0] * (NS - 2) + [1])
    # print("A5", A5)
    A = np.diag(A1) + np.diag(A2, -1) + np.diag(A3, 1) + np.diag(A4, 2) + np.diag(A5, -2)
    # print("A", A)
    # 矩阵b
    br = 2 * h ** 2 * f(x) + np.array(
        [2 * h - 2 * h ** 2 * f(x[0])] + [0] * (NS - 1) + [-8 * h + 2 * h ** 2 * f(x[NS])])
    uh = np.linalg.solve(A, br)
    return uh
L = 1.0
R = 2.0
NS = 1280
x, h = initial(L, R, NS)
a = 2 - 2 * h
b = -4 - 6 * h ** 2
c = 2 + 2 * h
uh = solve(NS)
print("h=%f时数值解\n" % h, uh)
# 真解函数
def ture_u(x):
    ture_u = -x - 1
    return ture_u
t_u = ture_u(x)
print("h=%f时真解\n" % h, t_u)
# 误差范数
def err(ture_u, uh):
    ee = max(abs(ture_u - uh))
    e0 = np.sqrt(sum((ture_u - uh) ** 2) * h)
    return ee, e0
ee, e0 = err(t_u, uh)
print('L_∞(最大模)范数下的误差', ee)
print('L_2(平方和)范数下的误差', e0)
# 绘图比较
plt.figure()
plt.plot(x, uh, label='Numerical solution')
plt.plot(x, t_u, label='Exact solution')
plt.title("solution")
plt.legend()
plt.show()
# 误差与网格关系讨论
N = [5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560]
print("网格密度加倍时误差变化情况")
for i in range(len(N)):
    NS = N[i]
    x, h = initial(L, R, NS)
    a = 2 - 2 * h
    b = -4 - 6 * h ** 2
    c = 2 + 2 * h
    uh = solve(NS)
    t_u = ture_u(x)
    ee, e0 = err(t_u, uh)
    print('步长h=%f' % h, end='\t')
    print('最大模误差=%f' % ee)