傅立叶变换的缺点

由于在音乐中，所有的音都是由若干八度的12平均律共同组成的，这十二平均律对应着钢琴中一个八度上的十二个半音。这些半音临近之间频率比为2 ^1/12 。显然，同一音级的两个八度音，高八度音是低八度音频率的两倍。

因此在音乐当中，声音都是以指数分布的，但我们的 傅立叶变换得到的音频谱都是线性分布的，两者的频率点是不能一一对应的，这会指使某些音阶频率的估计值产生误差 。所以现代对音乐声音的分析，一般都采用一种具有相同指数分布规律的时频变换算法——CQT。

什么是恒Q变换（CQT）

CQT指中心频率按指数规律分布，滤波带宽不同、但中心频率与带宽比为常量Q的滤波器组 。它与傅立叶变换不同的是，它频谱的横轴频率不是线性的，而是 基于log2为底的 ，并且可以 根据谱线频率的不同该改变滤波窗长度 ，以获得更好的性能。由于CQT与音阶频率的分布相同，所以通过计算音乐信号的CQT谱，可以直接得到音乐信号在各音符频率处的振幅值，对于音乐的信号处理来说简直完美。

关于信号处理中的窗口
在实际的信号处理过程中，我们会将时间片段分帧，按照帧为单位，转换成一个基于时间帧的频谱图，然后我们再将这些频谱图放到时间轴上，就可以形成一个类似热力图样的，基于时间变换的频谱变换图。
现在我们注意一个问题，在我们的单个时间帧内（实际上我们在对信号进行截断），信号很可能不呈现它原周期的整数倍（周期截断），那么截断后的信号会泄漏问题，为了更好地满足傅立叶变换（实际上是FFT）处理的周期性要求，我们需要使用 加权函数，也叫窗函数。加窗主要是为了使时域信号似乎更好地满足FFT处理的周期性要求，减少泄漏。

我们关注上述“ 中心频率与带宽比为常量Q ”，从公式上看，我们可以表达为下述公式
直观的理解是，恒Q变换避免了时频分辨率均匀的缺点，对于低频的波，它的带宽十分小，但有更高的频率分辨率来分解相近的音符；但是对于高频的波，它的带宽比较大，在高频有更高的时间分辨率来跟踪快速变化的泛音。

下面，我们从计算过程来看恒Q变换的本质
首先，假设我们处理的最低的音为f _min ，f _k 表示第k分量的频率，β为一个八度内所包含一个八度的频谱线数，例如β=36，表示每个八度内有36条频谱线，每个半音三条频率分量。