基于单样本的正态总体均值的z检验：Excel、Python

z检验适用于什么样的情形？

在基于单样本的总体均值的检验中，在下列两种情形下，可适用z检验 ^[1] ：（1）取样的总体服从正态分布且方差已知，此时的z统计量为 z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma / \sqrt n} ；（2）取样的总体的方差未知，但样本量足够大，此时的z统计量为 z = \frac{\bar X - \mu_0}{s / \sqrt n} ；上式中， \sigma 为已知的总体标准差， s 为样本标准差， \mu_0 为假设的总体均值。

如何在Excel中完成上述的z检验？

Excel中提供了 Z.TEST() 函数，可用于上述的z检验。该函数接受3个参数，第1个为样本数据，第2个为假设的总体均值，第3个为总体标准偏差，是可选参数，当传入参数时，对应上述的情形（1），当省略时，对应上述的情形（2），函数将自行用样本标准差代替。该函数返回的是检验统计量对应的p值。该函数没有提供参数用于指定单边检验还是双边检验，但利用z统计量服从的正态分布的对称性，双边检验的p值是相同参数的单边检验的2倍。

注意，在较早的版本中没有Z.TEST函数，只有ZTEST函数，官方建议使用Z.TEST，但为了兼容任保留了ZTEST函数。

如何在Python中完成上述的z检验？

方法一：利用 scipy.stats.norm 模块

sceipy.stats没有提供直接的函数用于z检验，但很容易构造。假设的总体均值为 \mu_0 ，样本均值为 \bar X ，总体标准差为 \sigma ，当方差未知时，用样本标准差 s 代替。

如果我们是先求出p值，再与显著性系数 \alpha 比较，那么可以使用scipy.stats.norm.sf函数。

• 单边检验：

- H_0: \mu \le \mu_0 : p值等于scipy.stats.norm.sf( (\bar X - \mu_0)/(\sigma/\sqrt n) ）

- H_0: \mu \ge \mu_0 : p值等于1-scipy.stats.norm.sf( (\bar X - \mu_0)/(\sigma/\sqrt n) ）

• 双边检验：p值等于scipy.stats.norm.sf( (\bar X - \mu_0)/(\sigma/\sqrt n) ）/ 2

当然，我们也可以根据显著性系数 \alpha 求出临界值，再用z检验量去比较，那么可以使用scipy.stats.norm.isf函数。

• 单边检验：

- H_0: \mu \le \mu_0 : 临界值 z_{\alpha} 等于scipy.stats.norm.isf( \alpha ）

- H_0: \mu \ge \mu_0 : 临界值 -z_{\alpha} 等于-scipy.stats.norm.isf( \alpha ）或者scipy.stats.norm.isf( 1-\alpha )

• 双边检验：临界值 -z_{\alpha /2} 和 z_{\alpha /2} 等于-scipy.stats.norm.sf( \alpha /2 )和scipy.stats.norm.sf( \alpha /2 )

利用正态分布的性质，也可以使用scipy.stats.norm.cdf等函数来求得p值或临界值，进而完成检验任务。

方法二：利用 statsmodels.stats.weightstats.ztest 函数

statsmodels.stats.weightstats.ztest函数比较丰富，通过传入不同的参数，可以适用单样本和双样本，可单边也可双边。

单样本的总体均值检验的其他情形

当取样的总体的 方差未知 ，且下列两种情形之一满足时 ^[2] ：（1）样本量足够大，或（2）样本量小但是取样的总体服从或近似服从正态分布，适用t检验。参见文章 基于单样本的正态总体均值的t检验：Excel、Python 。

参考

1. ^ Richard A. DeFusco, PHD, CFA, Dennis W. McLeavey, DBA, CFA, Jerald E. Pinto, PhD, CFA, and David E. Runkle, PhD, CFA, (2019) "Reading 11. Hypotheis Testing", CFA Curriculum, 624-625
2. ^ Richard A. DeFusco, PHD, CFA, Dennis W. McLeavey, DBA, CFA, Jerald E. Pinto, PhD, CFA, and David E. Runkle, PhD, CFA, (2019) "Reading 11. Hypotheis Testing", CFA Curriculum, 621-622