Cauchy-Schwarz inequality的期望形式

在统计学中，经常会用到柯西-施瓦茨不等式来确定一些重要公式的上下界。在 R^n 空间中，该不等式描述为：

\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle (wiki)

而在统计学中有些场景下，需要确定某些统计量的界，因此会有如下

设 X, Y为任意两个随机变量， 若 E(X^2) < \infty , E(Y^2) < \infty 则有：

|E(XY)|^2 \le E(X^2)E(Y^2)

以下证明：

let g(t) = E((tX-Y)^2) = t^2(E(X^2)) -2tE(XY) + E(Y^2)

for (tX-Y)^2 \ge 0, g(t) \ge 0

for \Delta = (2E(XY))^2 - 4*(E(X^2)E(Y^2))\le 0

iff tX = Y (linear), has \quad g(t) = 0

then have

|E(XY)|^2 \le E(X^2)E(Y^2)

总结：

利用平方的期望的非负性，构造了变量t的二次方程，通过二次方程形状开口向上，构造了二次方程根式判别式的不等式，从而证明了该不等式。