概率分布：二项分布

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二项分布是描述独立重复伯努利试验中成功次数的概率分布。在每次试验中，事件发生的概率p和不发生的概率(1-p)保持不变，且各次试验独立。当n很大，p很小，二项分布可以近似为泊松分布；若n趋于无穷，p保持有限，根据中心极限定理，二项分布趋向正态分布。这种分布广泛应用于统计学和数据分析中。摘要生成于，由 DeepSeek-R1 满血版支持，

二项分布(binomial distribution)就是在重复n次独立的伯努利试验(Bernoulli experiment)中，所期望结果出现次数的概率分布。

伯努利试验的特点：

每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立
每次试验中事件发生的概率是相同的
各次试验的事件相互之间独立

重复n次独立的伯努利试验形成二项分布（高尔顿板）

高尔顿板丨图片来源：维基百科

从最上方的节点往下，是几排交错排列的钉子。从入口扔下的小球撞上一个钉子，就像触网的乒乓球一样，弹向左边和右边的概率相等。最上方只有一种可能。下降之后，左右两边比例变成1:1，继续这个步骤，第n行的比例系数其实就是n次二项式的展开系数，或者表现为杨辉三角的第n行数值。

一般地，如果随机变量 $X$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，记为 $X\sim B(n,p)$ 或 $X\sim b(n,p)$ 。 $n$ 次试验中正好得到 $k$ 次成功的概率由概率质量函数给出

式中， $k=0,1,\cdots,n$ ， $C_n^k$ 是二项式系数。不同参数下的二项分布概率分布：

如果 $X\sim B(n,p)$ ，那么随机变量 $X$ 的期望为

随机变量 $X$ 的方差为

二项分布的近似

当 $p=0.5$ 时，二项分布的概率质量函数是对称的。当 $p\neq 0.5$ 时，二项分布的概率质量函数呈现偏态，且 $p>0.5$ 与 $p<0.5$ 的偏斜方向相反。如果 $n$ 很大，即使 $p\neq 0.5$ ，偏态逐渐降低，最终成正态分布。

二项分布逼近正态分布的过程丨图片来源：维基百科

1. 近似为泊松分布

如果 $np$ 存在有限极限 $\lambda$ ，则该二项分布就趋于参数为 $\lambda$ 的泊松分布

实际运用中，如果 $n$ 很大，但 $np$ 比较小（比起 $n$ 来说很小），通常 $np\leq 5$ 就满足要求。一般来说，n的值越大，p的值越小，近似就越准确。因为在这种情况下，(1-p)将接近1，因此 $\mbox{Var}(X)$ $=np(1-p)$ 将接近分布的均值，即 $\mbox{E}(X)=np$ 。这满足了泊松分布模型中均值和方差接近的条件。那么用泊松分布近似二项分布更简单些，毕竟泊松分布跟二项分布一样都是离散型分布。

2. 近似为高斯分布

如果 $np$ 趋于无限大（如 $p$ 是一个定值），则根据德莫佛-拉普拉斯(De'Moivre-Laplace)中心极限定理，这列二项分布将趋近于高斯分布（正态分布）

式中， $\mu = np$ ， $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ 。

实际运用中，要求 $np\geq 5$ 且 $n(1-p)\geq 5$ 时，一般都用高斯分布来近似计算二项分布。

概率分布 之 二项分布 、泊松分布、正态分布 1. 概率分布 概率分布 是指事件的不同结果对应的发生概率所构成的分布，可以利用二维坐标进行形象地解释。如下图所示，两幅图的横轴代表的都是事件所有的可能结果，纵轴则是不同结果所对应的发生概率或概率密度。 2.离散型 概率分布 —— 二项分布 在现实生活中，许多事件或结果只有两个，或者结果只有一个是我们想要，其他不是我们想要的。例如，买了福利彩票，有中奖和不中奖两种结...

1. 二项分布 的基本描述： 二项分布 就是重复n次独立的伯努利实验。伯努利实验就是在同样的条件下重复发生、且每次实验相互独立的一种随机试验。 二项分布 有两个参数n和p，n是重复实验的次数，p是每次独立实验发生的概率。特殊的n=1时，我们把 二项分布 称为伯努利分布。　　N次独立重复试验中发生K次的概率是：　　P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k...

排列与组合公式：排列A(n,m)=n×（n-1）…（n-m+1）=n！/（n-m）！(n为下标，m为上标，以下同) 组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n！/m！（n-m）！；例如A(4,2)=4!/2!=43=12 C(4,2)=4!/(2!2!)=43/(21)=6 P（x=2）= c(5,2)X0.5X0.5X0.5X0.5X0... var pmf = require ( 'distributions-binomial-pmf' ) ; pmf（x [，选项]）计算的（PMF）。 x可以是， array ，typed array或matrix 。 var matrix = require ( 'dstructs-matrix' ) , mat , out , out = pmf ( 1 ) ; // returns 0.5 out = pmf ( - 1 ) ; // returns 0 out = returns ( 1.5 ) : // return

假设一个随机变量XXX服从参数为n∈Nn\in\mathbb{N}n∈N和p∈[0,1]p\in [0,1]p∈[0,1]的 二项分布 , 即X∼B(N,p)X\sim B(N, p)X∼B(N,p), 则XXX的取值为kkk的概率为 : Pr⁡(X=k)=Cnk(1−p)n−kpk\Pr(X=k)=C_n^k(1-p)^{n-k}p^kPr(X=k)=Cnk(1−p)n−kpk 其中k=0,⋯ ,n...