reference: https://www.tau.ac.il/~mansour/course_games/scribe/lecture4.pdf

双人零和博弈是指两个参与者的支付在任意情况下和为0的博弈。假设行玩家的策略为x，列玩家的策略为y，那么行玩家的目标应为max_x（xRy），而列玩家的目标为max_y (x-Ry)，即min_y(xRy)，因此，零和博弈的本质是优化的minmax问题

双人零和博弈的纳什均衡有下列若干性质：

1. 可交换性 ：假设博弈 \pi(\gamma_1,\gamma_2)=\pi(\sigma_1,\sigma_2)=\pi(\gamma_1,\sigma_2)=\pi(\sigma_1,\gamma_2) π ( γ 1 ​ , γ 2 ​ ) = π ( σ 1 ​ , σ 2 ​ ) = π ( γ 1 ​ , σ 2 ​ ) = π ( σ 1 ​ , γ 2 ​ )

   证明 ：根据NE的性质： \begin{array}{lcl} \forall 1 \leq j \leq n, & \sum_{i=1}^{m} x_{i} a_{i j}-V & \geq 0 \\ \forall 1 \leq i \leq m & x_{i} & \geq 0 \\ & \sum_{i=1}^{m} x_{i} & =1 \\ & \text { Maximize target function } & V \end{array} ∀1 ≤ j ≤ n , ∀1 ≤ i ≤ m ​ ∑ i = 1 m ​ x i ​ a ij ​ − V x i ​ ∑ i = 1 m ​ x i ​ Maximize target function ​ ≥ 0 ≥ 0 = 1 V ​
   由上，其对偶算法计算了列玩家的策略：
   \begin{array}{lcl} \forall 1 \leq j \leq m, & \sum_{i=1}^{n} y_{i} a_{j i}-V & \leq 0 \\ \forall 1 \leq i \leq n & y_{i} & \geq 0 \\ & \sum_{i=1}^n y_{i} & =1 \\ & \text { Minimize target function } & V \end{array} ∀1 ≤ j ≤ m , ∀1 ≤ i ≤ n ​ ∑ i = 1 n ​ y i ​ a ji ​ − V y i ​ ∑ i = 1 n ​ y i ​ Minimize target function ​ ≤ 0 ≥ 0 = 1 V ​
   显然，由于线性规划是多项式时间的算法，因此计算零和博弈的NE也是多项式时间的。

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