数学理论体系的构建

三角形内角和可能大于或者小于180°，这在欧几里得理论体系下肯定被视为谬论。那是什么原因呢，我们来看看构建数学理论体系的主要方法。

先说说 公理化方法，即：从尽可能少的原始概念、不加证明的公设公理出发，运用逻辑推理的法则建立数学体系。

公理化方法三大特征

相容性：

在一个公理系统中，不允许同时能证明某一定理及其否定理。

独立性：

要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。即公理不能有依从性，一个公理系统中的每一条公理都独立存在。

完备性：

要求确保从公理系统中能推出所研究的数学分支的全部命题，必要的公理不能减少，否则这个数学分支的许多真实命题将得不到理论的证明或者造成一些命题的证明没有充足的理由。

公理化方法三大发展阶段

实质公理化阶段：

欧几里得《几何原本》，是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且成为以后很长时期严格证明的典范。其在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学的发展起了巨大的作用。它的结构是由少数不定义的概念（如点、线、面等）和少量不证自明的命题（五个公设和五个公理）出发，定义出该体系中的概念，推演出所有其他的命题（定理）。

罗巴切夫斯基几何或双曲几何，是一种独立于欧几里得的一种几何公理系统。双曲几何的公理系统和欧氏几何的公理系统不同之处在于欧几里得几何的“第五公设”（又称平行公理，等价于“过直线之外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”）被代替为“双曲平行公理”（等价于“过直线之外的一点至少有两条直线和已知直线平行”）。在这种公理系统中，经过演绎推理，可以证明一系列和欧氏几何内容不同的几何命题，比如三角形的内角和小于180°。

后来又发现黎曼几何系统，产生新命题：三角形内角和大于180°。

打个直观的比方。假如我们在双曲面里画三角形，无论怎么画这个罗氏三角内角和都不会超出180°。同样若我们把双曲面舒展成平面以后再画，得到的就是欧氏平面几何，其三角内角和等于180°。如果再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180°，这就是黎曼几何。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何，各自的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足相容性、完备性和独立性三大特征，因此这三种理论都是正确的，这也说明三角形内角和大于或小于180°均有可能。

形式公理化阶段：

这要从里程碑事件说起：在1899年，德国数学家希尔伯特出版了著作《几何基础》，创造性提出形式公理化方法。希尔伯特建立的元数学是以形式系统为研究对象的一门新数学，它包括对形式系统的描述、定义，也包括对形式系统性质的研究。元数学是以整个理论而不是以它的某一部分作为数学研究的对象。元数学等的创立把形式公理化方法向前推进了一大步。

纯形式公理化阶段：

本世纪初以希尔伯特、哥德尔为代表的数学家、逻辑学家掀起了以数理逻辑为工具来研究整个数学基础的高潮，又因数学基础的进一步发展，反过来促使现代数理逻辑的发展，从而也就导致了元数学、模型论、递归函数论的出现。特别是英国大哲学家、数学家和逻辑学家罗素于1902年发现集合论的悖论，震动了整个数学界，从而更促进了公理化集合论的形成和发展。集合论的公理化系统及现代数理逻辑出现，将形式公理化方法推向一个更高的阶段——纯形式公理化阶段，其中ZFC公理系统就是其代表。

1931年德国数学家哥德尔提出了不完全性定理，它证明了包括数论在内的一致的形式系统都是不完全的，提出了形式系统的局限性。 不完全性定理的提出，标志着2000多年的数学大厦就此倾塌，历史上这被称为第三次数学危机。 危机过后，数学也获得了新生。其中在法国一个小村落里，一个代表全新研究方法的数学家集体横空出世了。

结构化方法

19世纪至20世纪初，数学得到了前所未有的高速发展，研究领域越来越广，然而数学显得越来越庞杂无序，即便是造诣高深的数学家也无法把握全局。

以布尔巴基为名的数学家集体，其行动目标就是从整个数学全局出发，以集合论为基础，运用形式公理化方法，重新梳理各个数学分支，从内容结构上给以彻底改造。他们反对将数学分为分析、几何、代数和数论，建立了三种基本结构，即代数结构、序结构和拓朴结构。他们在代数数论、代数几何学、李群、泛函分析等方面取得非凡的成就，出版了巨著《数学原本》，使数学从宏观上变得更条理、系统化。

数学结构是一些对象的集合，对这些对象并不预先指定其特征，而是着重考虑他们之间的关系。正是这个体系，构成了现代数学的核心。布尔巴基学派按结构特征，为数学家提供了一张解剖图和一把手术刀，为当前数学科学繁荣做出了重要贡献。

从不同的角度分析，我们现在能确认：三角形内角和大于或小于180°都正确。正如 统计学就像是比基尼，它所揭示的令人浮想，但是它掩盖的是最关键的部分；而于拓扑学说，甜甜圈和咖啡杯是一样的 。概率论、分析数学、数值计算等在当代取得关键进展，这些理论同样值得进一步实践、探讨、继承和发展。随着历史进步，生产力的提升，数学为国家工业、军事和经济的发展奠定了坚实的基础。