代数数域—Wolfram 语言参考资料

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以有理数有限扩张的元素的形式表示代数数.

若

为一代数整数，具有次数为

的最小多项式，且

、 … 、

为有理数，则 AlgebraicNumber [ θ , { c ₀ , … , c _l } ] 为一惰性数字对象（inert numeric object）：

N 可以用来求 AlgebraicNumber 对象的数值近似：

对于任何代数数和有理数列表、 … 、， AlgebraicNumber [ θ , { c ₀ , … , c _l } ] 计算给出 AlgebraicNumber [ ξ , { d ₀ , … , d _m } ] ，其中是一个代数整数，对于的最小多项式的首系数的某个因子，满足，是的最小多项式的次数，且

加上或者乘以明确属于同一域（即具有相同的第一元素）的 AlgebraicNumber 对象，加上或者乘以一个有理数和一个 AlgebraicNumber 对象，或者将 AlgebraicNumber 对象提升至一个整数幂，都得到一个 AlgebraicNumber 对象：

RootReduce 将 AlgebraicNumber 对象变换为一个 Root 对象：

ToNumberField [ a , θ ] 将代数数 a 在 θ 所生成的数域上表示 ToNumberField [ { a ₁ , a ₂ , … } , θ ] 将 a _i 在 θ 所生成的域上表示 ToNumberField [ { a ₁ , a ₂ , … } ] 将 a _i 在由单一代数数生成的公共扩张域（common extension field ）上表示

以代数数域元素的形式表示任意代数数.

ToNumberField 可以用来找到含有给定代数数的有理数的公共有限扩张（common extension field ）：

这里将

用 Root [ 1-10 #1 ² +#1 ⁴ & , 4 ] 生成的一个域元素表示：

与在全体复数代数数域上进行运算相比，在有理数的一个固定的有限扩张上进行运算要快得多.

假设要找到有理函数 f 的值，其中 { x , y , z } 被代数数 { a , b , c } 取代：

使用 RootReduce 在 { a , b , c } 处直接计算 f 的值需要的时间很长：

一个较快的方法是在包含 { a , b , c } 的一个公共代数数域内进行计算：

在公共数域内部的运算要快得多：

将所得的 AlgebraicNumber 对象转化为一个 Root 对象也同样很快：

ToNumberField [ { a ₁ , a ₂ , … } ] 等价于 ToNumberField [ { a ₁ , a ₂ , … } , Automatic ] ，它不一定使用最小公共域扩张. 而 ToNumberField [ { a ₁ , a ₂ , … } , All ] 始终使用最小公共域扩张.

此处第一个 AlgebraicNumber 对象等于

，因此不生成在其上表示它的4次域

( Root [ 1-10 #1 ² +#1 ⁴ & , 4 ] ). 然而，由 ToNumberField 得到的公共域包含全部域

( Root [ 1-10 #1 ² +#1 ⁴ & , 4 ] )：

第二个参数 All 的设定使得 ToNumberField 寻找可能的最小域成：

MinimalPolynomial [ a ] 给出代数数 a 在整数上的最小多项式的纯函数表示 MinimalPolynomial [ a , x ] 以 x 的多项式的形式给出代数数 a 的最小多项式 AlgebraicIntegerQ [ a ] 若代数数 a 为一代数整数返回 True ，否则返回 False AlgebraicNumberDenominator [ a ] 给出最小正整数 n 使得 na 为一代数整数 AlgebraicNumberTrace [ a ] 给出代数数 a 的迹（trace） AlgebraicNumberNorm [ a ] 给出代数数 a 的范数（norm） AlgebraicUnitQ [ a ] 若代数数 a 为一代数单位元，返回 True ，否则返回 False RootOfUnityQ [ a ] 若代数数 a 是一个单位根，返回 True ，否则返回 False

计算代数数性质的函数.

一个代数数的最小多项式是一个带有整数系数和最小整数首系数的次数最低的多项式，使得 .

这里给出了以纯函数表示的

的最小多项式：

这里给出了以关于 x 的多项式表示的 Root [ #1 ⁵ -2 #1+7& , 1 ] ² +1 的最小多项式：

当且仅当一个代数数的 MinimalPolynomial 首一（monic）时，该代数数为代数整数.

此处表明

这里给出使

一个代数数 a 的迹是 MinimalPolynomial [ a ] 的全体根之和.

这里得到了

的迹：

一个代数数 a 的范数是 MinimalPolynomial [ a ] 的全体根的乘积.

这里得到了

的范数：

当且仅当和均为代数整数，或者等价地，当且仅当 AlgebraicNumberNorm [ a ] 为或时，代数数是一个代数单位元.

此处表明 GoldenRatio 是一个代数单位元：

此处表明 AlgebraicNumber [ Root [ #1 ³ -4#1+17& , 1 ] , { 1 , 2 , 3 } ] 不是一个代数单位元：

当且仅当存在一个整数使得时，代数数是一个单位根.

这里表明

是一个单位根：

MinimalPolynomial [ s , x , Extension -> a ] 给出代数数 s 在域

上的特征多项式 MinimalPolynomial [ s , x , Extension -> Automatic ] 给出 AlgebraicNumber 对象 s 在由其第一个参数生成的数域上的特征多项式 AlgebraicNumberTrace [ a , Extension -> θ ] 给出代数数 a 在域

上的迹 AlgebraicNumberTrace [ a , Extension -> Automatic ] 给出 AlgebraicNumber 对象 a 在由其第一个参数生成的数域上的迹 AlgebraicNumberNorm [ a , Extension -> θ ] 给出代数数 a 在域