标准误在统计推断中发挥着至关重要的作用，直接影响着系数的显著性和置信区间，并最终影响到假设检验的结论。因此，正确地估计标准误在实证分析的过程中显得尤为重要。当干扰项满足「 独立同分布 (iid) 」 条件时， OLS 所估计的标准误是无偏的。但是当误差项之间存在相关性时，OLS 所估计的标准误是有偏的，不能很好地反映估计系数的真实变异性 (Petersen, 2009)，故需要对标准误进行调整。在多种调整标准误的方式中，「 聚类调整标准误 (cluster) 」是一种有效的方法 (Petersen, 2009)。

本文主要对聚类调整标准误的原理及其在 Stata 中的具体应用进行简要介绍，包括不同类型的模型中进行「 一维聚类调整标准误 」和「 二维聚类调整标准误 」的操作方法。对于该方法更深入的了解，可参考 Petersen (2009)、Thompson (2011)、 Cameron and Miller (2015)、 Abadie et al. (2017) 、Gu and Yoo (2019)等文献。在文章末尾，还对常见的与标准误相关的问题进行了探讨，以便加深对相关内容的理解。

为了简便，以仅含有一个非随机解释变量，且不含有截距项回归模型为例予以说明，具体如下：

y i = β x i + u i ( 1 ) y_{i}=\beta x_{i}+u_{i} \quad (1) y i ​ = β x i ​ + u i ​ ( 1 )

其中， i = 1 , … , N i=1, \ldots, N i = 1 , … , N ， E [ u i ] = 0 \mathrm{E}\left[u_{i}\right]=0 E [ u i ​ ] = 0 。

采用 OLS 方法进行估计，系数的估计量可表示为：

β ^ = ∑ i x i y i / ∑ i x i 2 ( 2 ) \hat{\beta}=\sum_{i} x_{i} y_{i} / \sum_{i} x_{i}^{2} \quad (2) β ^ ​ = i ∑ ​ x i ​ y i ​ / i ∑ ​ x i 2 ​ ( 2 )

将式 (2) 中的 y i y_i y i ​ 用式 (1) 替换，整理得：

β ^ − β = ∑ i x i u i / ∑ i x i 2 ( 3 ) \hat{\beta}-\beta=\sum_{i} x_{i} u_{i} / \sum_{i} x_{i}^{2} \quad (3) β ^ ​ − β = i ∑ ​ x i ​ u i ​ / i ∑ ​ x i 2 ​ ( 3 )

系数方差的一般形式可以表示为：

V [ β ^ ] = E [ ( β ^ − β ) 2 ] = V [ ∑ i x i u i ] / ( ∑ i x i 2 ) 2 ( 4 ) \mathrm{V}[\hat{\beta}]=\mathrm{E}\left[(\hat{\beta}-\beta)^{2}\right]=\mathrm{V}\left[\sum_{i} x_{i} u_{i}\right] /\left(\sum_{i} x_{i}^{2}\right)^{2} \quad (4) V [ β ^ ​ ] = E [ ( β ^ ​ − β ) 2 ] = V [ i ∑ ​ x i ​ u i ​ ] / ( i ∑ ​ x i 2 ​ ) 2 ( 4 )

若误差项间不相关，则 V [ Σ i x i u i ] \mathrm{V}\left[\Sigma_{i} x_{i} u_{i}\right] V [ Σ i ​ x i ​ u i ​ ] 可以表示为：

V [ ∑ i x i u i ] = ∑ i V [ x i u i ] = ∑ i x i 2 V [ u i ] ( 5 ) \mathrm{V}\left[\sum_{i} x_{i} u_{i}\right]=\sum_{i} \mathrm{V}\left[x_{i} u_{i}\right]=\sum_{i} x_{i}^{2} \mathrm{V}\left[u_{i}\right] \quad (5) V [ i ∑ ​ x i ​ u i ​ ] = i ∑ ​ V [ x i ​ u i ​ ] = i ∑ ​ x i 2 ​ V [ u i ​ ] ( 5 )

V [ β ^ ] = σ 2 / ∑ i x i 2 ( 6 ) \mathrm{V}[\hat{\beta}]=\sigma^{2} / \sum_{i} x_{i}^{2} \quad (6) V [ β ^ ​ ] = σ 2 / i ∑ ​ x i 2 ​ ( 6 )