xgboost二元分类和多元分类原理总结

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xgboost可以处理的特征属性：

输入值可能有连续属性、二元属性、标称属性（类型比二元多）、序数属性（衣码小中大号等）

2. 模型训练1：树的分叉

刚读xgboost原理 https://arxiv.org/pdf/1603.02754.pdf 的时候会有困惑，为什么2.2小节能够同时得到树的结构和书的权值，实际上是先通过3节讲的树的分裂得到树结构，然后才有公式（4）的演进。

传统决策树举例：

CART选择Gini系数划分树杈，Gini系数代表不纯度，为0时称作0不纯度，用来将样本进行分类后度量不纯度，选取不纯度小的分杈方法，CART用二分法来规避分叉过多带来的零不纯度。

$Gini(t)=1-\sum_{0}^{c}{p(i)}^2$

评价函数eval_metric： $Logloss=-(ylog(p)+(1-y)log(1-p))$ ，代入sigmoid函数如下：

$Logloss(y_i,\widehat{y_i})=(y_iln(1+e^{-\widehat{y_i}})+(1-y_i)log(1+e^{\widehat{y_i}}))$

一阶导数 $g_i=\partial_{y_i^{(t-1)}}l(y_i,{\hat{y}}_i^{(t-1)})=-y_i(1-\frac{1}{1+e^{-{\hat{y}}_i^{t-1}}})+(1-y_i)\frac{1}{1+e^{-{\hat{y}}_i^{t-1}}}=P_i^{t-1}-y_i$

二阶导数 $h_i=\partial_{y_i^{(t-1)}}^2l(y_i,{\hat{y}}_i^{(t-1)})=\ \frac{e^{-{\hat{y}}_i^{t-1}}}{\left(1+e^{-{\hat{y}}_i^{t-1}}\right)^2}=P_i^{t-1}(1-P_i^{t-1})$

分类器输出： https://blog.csdn.net/u014033218/article/details/90516849

binary:logistic和 'objective': 'reg:logistic'的输出是一样的,都是预测的概率

binary:logitraw是输出的得分，用sigmoid（）函数处理后就和上述两个概率值一致

XGBClassifier里就是把预测的概率值，取阈值0.5，小于这个值的为0，大于这个值的为1，

b. 多元分类器 multi:softmax:

目标函数softmax: $p_i=\frac{e^{{\hat{y}}_i}}{\sum_{j}e^{{\hat{y}}_j}}$

def softmax(x): e =np.exp(x) return e / np.sum(e)

求导： $\partial_{y_i}p(y_i)=p_i.(1-p_i)\$ $i=j$ ;

$\partial_{y_i}p(y_i)=-p_i.p_j\$ $i\neq j$

评价函数mlogloss: $logloss=-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}{y_{ij}log(p_{i,j})}$

只针对第i个样本可以得到 $logloss=-\sum_{}{y_{j}log(p_{j})}$

N：样本数; M：类别数; $y_{ij}$ ：第i个样本属于分类j时为为1，否则为0;

$p_{ij}$ ：第i个样本被预测为第j类的概率 (平均为1/j), 即softmax输出的第j个layer

一阶导数： $\frac{\partial logloss}{\partial{\hat{y}}_i}=\sum_{j}\frac{\partial logloss}{\partial p_j}.\frac{\partial p_j}{\partial{\hat{y}}_i}=\frac{\partial logloss}{\partial p_i}.\frac{\partial p_i}{\partial{\hat{y}}_c}+\sum_{j\neq i}\frac{\partial logloss}{\partial p_j}.\frac{\partial p_j}{\partial{\hat{y}}_i}$

$=-{y_i.\frac{1}{p_i}.p}_i(1-p_i)+\sum_{j\neq i}{\frac{-y_j}{p_j}\left(-1\right).p_i.p_j=-}y_i+{y_ip}_i+\sum_{j\neq i}{y_j.p_i}=p_i-y_i$

二阶导数： $\frac{\partial^2logloss}{\partial^2{\hat{y}}_i}=p_i.(1-p_i)$

代码： https://github.com/dmlc/xgboost/blob/master/demo/guide-python/custom_softmax.py

多元分类输出: https://blog.csdn.net/phyllisyuell/article/details/81011660

我们这里以标签为0,1,2的三分类数据为例。

每个类别有独立的树，有对应的wjc, j是第几片叶子，c是第几个类别的树。

multi：softmax是使用softmax后产生的分类结果，输出为0，1，2。

multi:softprob是y通过softmax后输出的概率矩阵，输出的是n*3的概率矩阵（n为测试数据的条数）。

选取最大概率的赋予对应的类别eg[0.34,0.56，0.42],对应softmax类别1.

多元分类的泰勒展开：经过推导，改进这篇，多分类原理 https://www.jianshu.com/p/2698db68f2e7