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矩阵合同的本质是什么，在坐标系或者基中？
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另一位答主 @像牛一样的猫 说到了本质。
我来补充一个二维平面上的例子直观说明吧。
标准正交基底下，一个二维向量 \bm \alpha 的模平方可以表示为二次型：
\begin{align} |\bm\alpha|^2&=a_1^2+a_2^2 \\&=\begin{bmatrix}a_1&a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}\\&=A^TGA \end{align}
而如果基底不正交，则向量的模平方将由余弦定理给出，也是一个二次型：
\begin{align} |\bm \alpha|^2&={a^{\prime}_1}^2+{a^{\prime}_2}^2+2{a^{\prime}_1}{a^{\prime}_2}\cos{\varphi}\\ &=\begin{bmatrix}a'_1& a'_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & \cos{\varphi}\\ \cos{\varphi}& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a^\prime_1\\ a^\prime_2\end{bmatrix}\\ &=A'^TG'A' \end{align}
( 其中 \varphi 为两个基底的夹角 )
可以证明，两组坐标基底之间满足变换关系：
\begin{bmatrix}\bm e'_1\\\bm e'_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0\\ \cos{\varphi} & \sin{\varphi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\bm e_1\\\bm e_2\end{bmatrix}
令： P=\begin{bmatrix}1 & 0\\ \cos{\varphi} & \sin{\varphi} \end{bmatrix}
那么可以证明，两个二次型矩阵之间就满足合同变换：
G'=PGP^T
现在来说说本例中合同变换的“几何本质”：
在微分几何中，这里的二次型矩阵 G 被称作“度规”，它是描述一个空间或者流形几何性质的量。
不同的基底下， 同一个 度规的矩阵形式满足合同变换，但度规本身是不变的(只是分量在变)。
就像前面那个例子，向量模平方(也就是内积)在不同基底下表现为不同的二次型，但这只是基底选取的不同，向量本身没有变，它的模平方自然也没有变。
所以只要两个度规矩阵之间满足合同变换，我们就能确定，它描述的是同一种空间上的内积。
这个性质也是理解广义相对论的一个关键点，若有兴趣，欢迎参考我的科普文：
https://www.zhihu.com/video/1522168556204204032
内容选自马同学图解数学系列课程，欢迎加入学习
同一个二次曲线，在不同基下需要用不同的二次型矩阵表示。这两个二次型矩阵就称为合同矩阵。
1 解释
1.1 直角坐标系
假设我们有这样一个椭圆,它在直角坐标系 x_1,x_2 下的对应方程为
ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2=1\\
1.2 自然基
下面，我们这个方程用二次型表示为
[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}^T \boldsymbol{A}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}=1\\
其中 [\boldsymbol{x}]_\mathcal{E} 就是椭圆上的点在自然基下的坐标
1.3 非自然基
既然椭圆可以表示在自然基下，当然也可以表示在非自然基下
假设椭圆在某非自然基的对应方程为
[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}^T \boldsymbol{B}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}=1\\
[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P} 就是椭圆上的点在非自然基下的坐标
1.4 合同矩阵
可以看到， \boldsymbol{A},\boldsymbol{B} 是同一个椭圆在不同基下对应的二次型,它们就被称为合同矩阵。
而我们知道，若 \boldsymbol{A},\boldsymbol{B} 满足
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}
它们才能称为合同阵,那这又是怎么得来的呢？下面我们就来推导一下
2 验证
假设由自然基到非自然基的过渡矩阵为 \boldsymbol{P}
首先，根据坐标变换公式有
[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}=\boldsymbol{P}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}\\
然后，将这个式子与左边的椭圆方程联立
\left.\begin{align}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}=\boldsymbol{P}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}&\\\\ [\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}^T\boldsymbol{A}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}=1&\end{align}\right\}\Longrightarrow [\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}=1\\
最后，令
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\\
这样，我们就得到了上面那幅图中，曲线在非自然基下的表达式
[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}^T\boldsymbol{B}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}=1\\
3 例题
例: 已知某曲线 c ,在直角坐标系下的方程为 \frac{5}{8}x_1^2-\frac{3}{4}x_1x_2+\frac{5}{8}x_2^2=1 ,现将坐标系逆时针旋转 \frac{\pi}{4} ,形成新的坐标系 y_1,y_2 。
求此曲线在 y_1,y_2 坐标系下的表达式
3.1 分析
本题，我们可以利用合同矩阵的知识来做
(1)首先,将曲线用向量形式，表示在自然基下
(2)然后,利用过渡矩阵，对向量空间进行换基
(3)最后,再将新的基下的曲线写回一般方程的形式
这样，我们可以就利用黄色路径来完成题目
3.2 求解
解: (1)令自然基下的坐标向量为 [\boldsymbol{x}]_\mathcal{E}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} ,则 \frac{5}{8}x_1^2-\frac{3}{4}x_1x_2+\frac{5}{8}x_2^2=1 在自然基下可以表示为
\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=1\\
(2)令非自然基的坐标向量为 [\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} ,则
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\boldsymbol{P}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\\
其中 \boldsymbol{P} 为旋转矩阵
\boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}\cos \frac{\pi}{4}&-\sin \frac{\pi}{4}\\\sin \frac{\pi}{4}&\cos \frac{\pi}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\\
那么曲线 c 在非自然基下的表达式为
[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}[\boldsymbol{x}]_\mathcal{P}=1\\
带入数据,整理后可得
\begin{pmatrix}y_1&y_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=1\\
这里的 \begin{pmatrix}\frac{1}{4}&0\\0&1\end{pmatrix} 就是 \begin{pmatrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{pmatrix} 的合同矩阵
(3)最后将非自然基下这个矩阵方程写回 y_1,y_2 坐标系,得到曲线 c 在 y_1,y_2 下的表达式为
\frac{1}{4}y_1^2+y_2^2=1\\ \quad
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