为什么要引入矩阵的秩这一概念？

一个n维空间的维数是n，它的任何一个局部的空间(子空间)的维数也是n，但一个局部空间的秩就不一定是n了，通常是不足n的。

我们以3维空间为例，维数是3，满秩最多是3。一组3维非零向量在空间的分布有三种情况，一种是任意分布，没有任何限制，这时的分布为满秩分布，用这一组向量可以张成整个3维空间。

另一种分布是限定在一个扁平的空间内，比如一个平板内，平板可以是水平放置的，可以是垂直放置的，也可以是斜着放的。不管咋放，这个分布在这个扁平空间里的向量依旧是3维的，但它们的分布是受限制的，只能局限在3维空间里的一个局部的，子的空间里。这种虽然依旧是三维，但受到局限的分布方式，或者说子空间就有另外一个指标来描述它受到的局限性，这个指标就是空间的秩，或者叫做向量组的秩，或者叫做矩阵的秩。在不受限制的情况下，分布就叫满秩的，在三维空间里就是秩3。而对于3维空间里的一个扁平的子空间，它的秩就是2。

第三种分布则是所有向量都聚集在一根直线上，这时反映这些向量受到的局限性或它们所处的子空间的局部性的指标，也就是秩大小就只有1了。

请注意区分空间的维数与空间的秩。维数是指在这个空间里的向量需要几个数字来描述，如果向量里有n个数字，这就是n维向量，由n维向量构成的空间，不论它们所处的环境是受限的还是不受限的，向量都是n维的，所在的空间也是n维的。而秩则是用来描述向量分布范围受限制的情况的一个指标。

把三维空间中一个扁平的秩2空间理解成一个“降维”的空间，那是错的，是把维数与秩数搞混了。

搞出“秩”这个概念来就是要描述向量分布受到限制的程度的。同时，对于当一组n维向量的分布在一个不满秩的空间里时，它们之间就总是线性相关的。所以也可以说秩是用来描述一组向量的线性相关程度的。