图1.12 求两个子图像的相交子图示例
二、图像的空域变换
在图像空间，对图像的形状、像素值等进行变化、映射等处理。
几何变换
即改变图像的形状。主要有基本变换和灰度插值。
几何变换的基本概念：对原始图像，按照需要改变其大小、形状和位置的变化。
变换的类型：二维平面图像的几何变换、三维图像的几何变换、由三维向二维平面的投影变换等。
二维图像几何变换
定义：对于原始图像f(x,y)，坐标变换函数
%3B%5Cquad%20y%5E%7B%E2%80%99%7D%3Db(x%2Cy))
唯一确定了几何变换：
%3Df(a(x%2Cy)%2Cb(x%2Cy)))
二维图像几何变换的基本方式有多项式变换、透视变换等。
1）多项式变换。基本公式：
线性变换——多项式变换中的一阶变换：
使用多项式变换实现二维图像的几何变换即由线性变换确定的图像的平移、缩放、旋转、镜像与错切。
2）二维数字图像基本几何变换的矩阵计算。
原始图像与目标图像之间的坐标变换函数为线性函数，这可以通过与之对应的线性矩阵变换来实现。
齐次坐标表示法——用n+1维向量表示n维向量。设有变换矩阵T，则二维图像的基本几何变换矩阵为：
![\\\left[\begin{array}{aaa}x^{’}\\y^{’}\\1\end{array}\right]=T\times \left[\begin{array}{aaa}x\\y\\1\end{array}\right]\quad\quadT=\left[\begin{matrix}a&b&e\\c&d&f\\0&0&1\end{matrix}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%5C%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Baaa%7Dx%5E%7B%E2%80%99%7D%5C%5Cy%5E%7B%E2%80%99%7D%5C%5C1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A%3DT%5Ctimes%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Baaa%7Dx%5C%5Cy%5C%5C1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cquad%5Cquad%0AT%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7Da%26b%26e%5C%5Cc%26d%26f%5C%5C0%260%261%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D)
二维图像的基本几何变换具有特征：1）变换前图形上的每一点，在变换后的图形上都有一确定的对应点，如原来直线上的中点变换为新直线的中点；2）平行直线变换后仍保持平行，相交直线变换后仍相交；3）变换前直线上的线段比等于变换后对应的线段比。
变换矩阵T可以分解为2个子矩阵，子矩阵1：
![\left[\begin{matrix}a&b\\c&d \end{matrix}\right]_{2\times 2}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7Da%26b%5C%5Cc%26d%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D_%7B2%5Ctimes%202%7D)
，可实现恒等、比例、镜像、旋转和错切变换；子矩阵2：
![\left[\begin{matrix}e&f\end{matrix}\right]^T](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7De%26f%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D%5ET)
，可实现图像的平移变换（e=0，f=0时无平移作用）。
a）平移变换（只改变图像位置，不改变图像的大小和形状）。设：
%3Dx%2Bx_0%3B%5Cquad%20b(x%2Cy)%3Dy%2By_0%3B)
可有：
%3Df(x%2Bx_0%2Cy%2By_0))
。
并利用三次多项式来近似理论上的最佳插值函数sinc(x):
%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B1%7D%0A%261-2%5Cvert%20x%20%5Cvert%5E2%2B%5Cvert%20x%5Cvert%20%5E3%2C%20%5Cquad%5Cquad%5Cquad%20%26%7Cx%7C%3C1%5C%5C%0A%264-8%7Cx%7C%2B5%7Cx%7C%5E2-%7Cx%7C%5E3%2C%20%261%5Cleq%7Cx%7C%5Cleq2%5C%5C%0A%260%2C%20%26%7Cx%7C%3E2%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
由此形成常用的三次卷积插值算法，又称三次内插法、两次立方法（Cubic）、CC插值法等。
三次卷积插值算法特点：a）是满足Nyquist下，最佳重构公式的近似；b）只有图像满足特定的条件，三次卷积插值算法才能获得最佳结果；c）可使待求点的灰度值更好地模拟实际可能值；d）可取得更好的视觉效果；e）三次卷积内插突出的优点是高频信息损失少，可将噪声平滑；f）
时，像元均值和标准差信息损失小；g）计算量大为增加。
5）图像处理中内插方法的选择。内插方法的选择除了考虑图像的显示要求及计算量，还要考虑内插结果对分析的影响。a）当纹理信息为主要信息时，最近邻采样将严重改变原图像的纹理信息；b）当灰度信息为主要信息时，双线性内插及三次卷积内插将减少图像异质性，增加图像同质性，其中，双线性内插方法将使这种变化更为明显。
非几何变换
即改变图像像素值。主要有模板运算、灰度变换和直方图变换。
定义：对于原图像
)
，灰度值变换函数
))
唯一确定了非几何变换：
%3DT(f(x%2Cy)))
，
)
是目标图像。
非几何变换属于像素值的变换——灰度变换，没有几何位置的改变。
对于彩色原图像
，颜色值变换函数
)%E3%80%81T_g(f(x%2Cy))%E3%80%81T_b(f(x%2Cy)))
唯一确定了非几何变换：
%3DT_r(f(x%2Cy))%E3%80%81g_g(x%2Cy)%3DT_g(f(x%2Cy))%E3%80%81g_b(x%2Cy)%3DT_b(f(x%2Cy))%E3%80%82)
离散非几何变换的计算
简单变换——像素值一一对应的映射，如伪彩色变换；复杂变换——同时考虑相邻各点的像素值，通常通过模板运算进行。
模板
1）定义。所谓模板就是一个系数矩阵；模板大小：经常是奇数，如
等；模板系数：矩阵的元素。
2）模板运算的定义。对于某图像的子图像：
的模板运算公式为：
，
为加权系数。
灰度变换
1）定义。
定义1：对于输入图像f(x,y)，灰度变换T将产生一个输出图像g(x,y)，g(x,y)的每一个像素值，均取决于f(x,y)中对应点的像素值：
。
定义2：对于原图像f(x,y)，灰度值变换函数T(f(x,y))，由于灰度值总是有限个（如0-255），非几何变换可定义为：
)
，其中R，r在0-255之间取值。
2）实现。
定义了输入像素值与输出像素值之间的映射关系，通常通过查表来实现。因此灰度值变换也被称为LUT（Look Up Table）变换。
3）示例。
图像求反、对比度拉伸。
对比度展宽——突出图像中关心的部分。方法：
%2Bg_a%20%26a%5Cleq%20f%3Cb%5C%5C%0A%26%5Cgamma%20(f-b)%2Bg_b%20%26b%5Cleq%20f%3CL%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
直方图的性质。1）所有的空间信息全部丢失；2）每一灰度值对应的像素个数可直接得到；3）任何一幅图像，具有唯一对应的直方图，但任何一个直方图，可能对应多幅图像；4）一幅图像各子区的直方图之和等于该全图的直方图。
直方图的用途。1）数字化参数。直方图给出了一个简单可见的指示，用来判断一幅图像是否合理地利用了全部被允许地灰度级范围。一般一幅图应该利用全部或几乎全部可能的灰度级，否则等于增加了量化间隔。丢失的信息将不能恢复。2）边界阈值选取。假设某图像的灰度直方图具有二峰性，则表明这个图像的较亮的区域和较暗的区域可以较好地分离，取二峰的中间点为阈值点，可以得到好的二值处理的结果。
四、直方图变换
基本理论
设连续图像的概率分布为：
%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20r%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7BA(r%2B%5CDelta%20r)-A(r)%7D%7B%5CDelta%20r%7D%5Cquad%5Cquad%20r%E2%80%94%E2%80%94%E7%81%B0%E5%BA%A6%20%5C%5C%0A%26%5Cint_%7Br_%7Bmin%7D%7D%5E%7Br_%7Bmax%7D%7D%20P(r)dr%3D1%5Cquad%5Cquad%20%E5%85%B6%E4%B8%ADA%E4%B8%BA%E5%9B%BE%E5%83%8F%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%0A%5Cend%7Barray%7D)
对于离散图像：
%3D%5Cfrac%7Bn_i%7D%7Bn%7D%5C%5C%0A%26%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bk-1%7DP(r_i)%20%3D1%0A%5Cend%7Barray%7D)
对[0,1]区间内任意r值，按下式变换：
)
上述变换式应满足条件：
%E5%AF%B9%E4%BA%8E0%5Cleq%20r%5Cleq%201%EF%BC%8C%E6%9C%890%5Cleq%20s%5Cleq%201%EF%BC%9B(2)%E5%9C%A80%5Cleq%20r%5Cleq%201%E5%8C%BA%E9%97%B4%E5%86%85%EF%BC%8CT(r)%E4%B8%BA%E5%8D%95%E5%80%BC%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%A2%9E%E5%8A%A0%E3%80%82)
这里的第一个条件保证了图像的灰度级从白到黑的次序不变，第二个条件则保证了映射变换后的像素灰度值在容许的范围内。
从s到r的反变换为：
%5Cquad%5Cquad%200%5Cleq%20s%5Cleq%201)
因为
)
是单调增加的，由数学分析可知，它的反函数
)
也是单调函数。即反变换同样满足上述两个条件。
由概率论知，若
)
和变换函数
已知，
是单调增长函数，则变换后的图像灰度级的概率密度函数
)
如下所示：
%3D(P_r(r)%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bds%7D)%5Cvert%20_%7Br%3DT%5E%7B-1%7D(s)%7D)
直方图变换技术正是通过选择变换函数
)
，使目标图像的直方图具有期望的形状。
直方图均衡
直方图均衡方法的基本思想是使目标图像的直方图具有平直的直方图，从而改变图像整体偏暗或整体偏亮、灰度层次不丰富的情况。
直观概念是对在图像中像素个数多的灰度级进行展宽，而对像素个数少的灰度级进行缩减，从而达到清晰图像的目的。
基本方法是通过灰度
的概率密度函数
)
，求出灰度变换函数
，建立等值像素出现的次数与结果图像像素值之间的关系。
形成一种自动调节图像对比度质量的方法。
直方图均衡化过程分析
设r和s分别表示原图像灰度级和经直方图均衡化后的图像灰度级。为便于讨论，对r和s进行归一化，使：
。
对于一幅给定的图像，归一化后灰度级分布在
范围内。对[0, 1]区间内的任一个r值进行如下变换：
该变换式应满足条件：
%E5%AF%B9%E4%BA%8E0%5Cleq%20r%5Cleq%201%EF%BC%8C%E6%9C%890%5Cleq%20s%5Cleq%201%20%5C%5C%0A%26(2)%E5%9C%A80%5Cleq%20r%5Cleq%201%E5%8C%BA%E9%97%B4%E5%86%85%0A%5Cend%7Barray%7D)
直方图均衡化算法
从s到r的反变换用下式表示：
)
r的概率密度为
，s的概率密度可由
求出：
%3D(P_r(r)%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bds%7D)%7C_%7Br%3DT%5E%7B-1%7D(s)%7D)
假定变换函数为：
%3D%5Cint_0%5E%7Br%7Dp_r(%5Comega%20)d%5Comega)
式中：
是积分变量，而
d%5Comega)
就是r的累积分布函数。对式中的r求导，则：
%7D%7Bdr%7D%3Dp_r(r))
再把结果代入前面公式，可有：
![\\\begin{array}{1}p_s(s)&=\left[p_r(r)\cdot\frac{dr}{ds}\right]_{r=T^{-1}(s)}\\&=\left[p_r(r)\cdot\frac{1}{ds/dr}\right]_{r=T^{-1}(s)}\\&=\left[p_r(r)\cdot\frac{1}{p_r(r)}\right]=1\end{array}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%5C%5Cbegin%7Barray%7D%7B1%7D%0Ap_s(s)%26%3D%5Cleft%5Bp_r(r)%5Ccdot%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bds%7D%5Cright%5D_%7Br%3DT%5E%7B-1%7D(s)%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cleft%5Bp_r(r)%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bds%2Fdr%7D%5Cright%5D_%7Br%3DT%5E%7B-1%7D(s)%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cleft%5Bp_r(r)%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bp_r(r)%7D%5Cright%5D%3D1%0A%5Cend%7Barray%7D)
由此可见，变换后变量s在其定义域内的概率密度是均匀分布的。因此，用r的累积分布函数作为变换函数，可产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像，其结果扩展了像素取值的动态范围。
