从Lebesgue外测度到Lebesgue测度
以前零零散散的看了一些实分析和测度论的书，一直搞不懂外测度(outer measure)究竟是干什么的，为什么有了测度还有个外测度，感觉需要梳理一下。
本文简要介绍了Lebesgue外测度的来源及如何引出Lebesgue测度的概念，如有错误请指正。
历史
19世纪下半叶，数学家逐渐认识到，仅有连续函数与积分的古典理论已经不足以解决数学分析中的很多问题。为了克服Riemann积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义。
对于[a,b]上的正值连续函数f(x)，其Riemann积分的几何意义是其下方曲边梯形的面积，因此Riemann积分的定义以及一个函数的可积性，是与相应的下方图形面积如何确定以及是否存在密切相关。
也就是说Riemann不可积函数，就反映为其下方曲边梯形的面积不存在 。这会导致很多局限性。
为了建立能够适用于更大函数类的新的积分理论，那么一个自然的想法就是推广原来的面积的概念，也就是说希望对一般 \mathbb R^n 中的点集E指定一个 非负的数m(E)，它是长度、面积或体积的推广，希望能够满足几个直观的条件 ：
（1） m(E) \geq 0
（2）当A和B不相交时有 m(A \bigcup B)=m(A)+m(B) ，当 A \subseteq B 时有 m(A) \leq m(B)
（3）当E=(a,b)时，则m(E)=b-a
（4）平移不变性 \forall x \in \mathbb R^n, m(x+A)=m(A)
值得注意的是，这样的测度其实是不存在的，后面会讲到。
为什么建立外测度
从内部划分小图形以求图形面积的方式是一种比较直观的方式 ，比如多边形面积往往用内部所含三角形的面积来度量，又如Riemann积分中曲边梯形面积的计算也是从其内部划分小矩形出发再逐步计算的，但是这种方法对 只具有内点的点集 才有效，对于推广到 一般的点集 上不是很方便。
为了对一般点集也能度量出某种“长度、面积或体积”，放弃从点集内部进行扩张的方法，而是 采用从外部挤压的方式 ，也就是用矩形去覆盖点集，然后计算这些矩形的面积总和。
一般来说，覆盖的点集要比原来的点集的“面积大，因此这里取所有这种覆盖所求出矩形面积总和的 下确界 来代表它的某种度量。
另外还有一个问题：每次覆盖所用的矩形可以有多少个？如果只允许 有限个 ，则由此所建立的度量就是所谓的Jordan容度，这种度量有严重缺陷，Lebesgue将其改造为允许有 可数个 矩形参与覆盖。
外测度的定义和性质
外测度定义： 设E是 \mathbb R^n 的点集，若 {I_k}_{k=1}^\infty 是E中的一列开矩体，且是E的一个覆盖，则它确定了一个非负实数
u=\sum_{k=1}^\infty |I_k|
记 m^*(E)=\inf \{ u | u= \sum_{k=1}^\infty |I_k| , \bigcup_{k=1}^\infty \supset E , I_k是开矩体 \} ，称 m^*(E) 为集合E的Lebesgue外测度，简称外测度。
由外测度的定义，可以证明 \mathbb R^n 中点集的外测度具有以下性质 ：
（1）非负性： m^*(E) \geq 0, m^*(\phi)=0
（2）单调性： 若 E_1 \subset E_2，则 m^*(E_1) \leq m^*(E_2)
（3）次可加性： m^*(\bigcup_{k=1}^\infty E_k) \leq \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k)
（4）平移不变性： m^*(E + { x }) = m^*(E),\forall x \in \mathbb R^n ，其中 E + { x } = { y+x \big | y \in E}
外测度的不具有可加性
注意到外测度 只满足次可加性 ，遗憾的是，可以证明Lebesgue外测度 并不满足可加性 ，证明的方法和 构造Lebesgue不可测集 一样，不再赘述。
注意， 证明的过程无须用到外测度的定义 ，也就是说， 任何一种集函数，不可能同时满足外测度性质（1）（2）（3）（4）以及可加性 ！
即无法对于 \mathbb R^n 中的每个子集指定一个非负的数使得上述性质成立，违背了人们关于体积的直觉。
解决方法
也就是上面辛辛苦苦定义的外测度居然不是我们所希望的 \mathbb R^n 中点集的测度，怎么办？
补救的方法是把 使外测度不具有可加性的集合排除在外，并称其为不可测集 ，那么剩下的称为可测集，于是在可测集族上，外测度将真正成为长度、面积或体积的推广，发挥它的作用。
万幸的是 我们在实际生活中能遇到的一切集合都是Lebesgue可测集。
Lebesgue可测集
下面在Lebesgue外测度的基础上，在 \mathbb R^n 中诱导出一个可测集合类，在其上的Lebesgue外测度就是我们期望的测度。
首先，我们认为 \mathbb R^n 中的任一开矩体 I 都应属于这一可测集合类，因此，若 E \subset \mathbb R^n 也属于可测集合类，根据可加性：
m^*(I)=m^*(I \bigcap E) + m^*(I \bigcap E^c)
因此有了 可测集的定义（Caratheodory条件） :
设 E \subset \mathbb R^n，若 \forall T \subset \mathbb R^n ,有
m^*(T)=m^*(T \bigcap E) + m^*(T \bigcap E^c)
称E是Lebesgue可测集，可测集的全体记作 \mathcal M ，当 E \in \mathcal M 时，定义E的Lebesgue测度 m(E)=m^*(E) ，注意， 外测度成了测度 ，简记作m(E)， 2^{\mathbb R^n} - \mathcal M 的元素称为不可测集。
换句话说， E可测意味着当我们用E把任意集合A划分为两部分时，可加性保持 。
由定义，可以证明Lebesgue可测集的性质 ：
(1) \phi \in \mathcal M, m(\phi)=0
(2) 若 E \in \mathcal M，则 E^c \in \mathcal M
(3) 若 E,F \in \mathcal M，则 E \bigcup F, E \bigcup F,E-F \in \mathcal M
(4) 可列可加性：若 E_j \in \mathcal M, j=1,2,\dots，则 \bigcup_{n=1}^\infty \in \mathcal M ;若还有 E_i \bigcup E_j = \phi(i \neq j) ，则：
m(\bigcup_{j=1}^\infty E_j) = \sum_{j=1}^\infty m(E_j)
由定理可以看出，可测集类包含了空集，且关于集合的并、交和余运算以及可列并、可列交运算都是封闭的，因此可测集合族 \mathcal M 是空间 \mathbb R^n 的一个 sigma代数 。
此外，分析学家对于欧氏空间 \mathbb R^n 之外的其他区域，如 一般集合上的测度 也产生了兴趣，这就 导致了测度论这个完整学科的诞生 ，后面有机会再总结心得体会。
参考资料
《实变函数论》 周民强
《real analysis》 stein
