快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）是信号处理与数据分析领域里最重要的算法之一。我打开一本老旧的算法书，欣赏了JW Cooley 和 John Tukey 在1965年的文章中，以看似简单的计算技巧来讲解这个东西。

本文的目标是，深入Cooley-Tukey FFT 算法，解释作为其根源的“对称性”，并以一些直观的python代码将其理论转变为实际。我希望这次研究能对这个算法的背景原理有更全面的认识。

FFT（快速傅里叶变换）本身就是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的快速算法，使算法复杂度由原本的O(N^2) 变为 O(NlogN)，离散傅里叶变换DFT，如同更为人熟悉的连续傅里叶变换，有如下的正、逆定义形式：

xn 到 Xk 的转化就是空域到频域的转换，这个转换有助于研究信号的功率谱，和使某些问题的计算更有效率。事实上，你还可以查看一下我们即将推出的天文学和统计学的图书的第十章（这里有一些图示和python代码）。作为一个例子，你可以查看下我的文章《用python求解薛定谔方程》，是如何利用FFT将原本复杂的微分方程简化。

正因为FFT在那么多领域里如此有用，python提供了很多标准工具和封装来计算它。NumPy 和 SciPy 都有经过充分测试的封装好的FFT库，分别位于子模块 numpy.fft 和 scipy.fftpack 。我所知的最快的FFT是在 FFTW 包中，而你也可以在python的 pyFFTW 包中使用它。

虽然说了这么远，但还是暂时先将这些库放一边，考虑一下怎样使用原始的python从头开始计算FFT。

计算离散傅里叶变换

简单起见，我们只关心正变换，因为逆变换也只是以很相似的方式就能做到。看一下上面的DFT表达式，它只是一个直观的线性运算：向量x的矩阵乘法，

矩阵M可以表示为

这么想的话，我们可以简单地利用矩阵乘法计算DFT：

1 import numpy as np
2 def DFT_slow(x):
3     """Compute the discrete Fourier Transform of the 1D array x"""
4     x = np.asarray(x, dtype=float)
5     N = x.shape[0]
6     n = np.arange(N)
7     k = n.reshape((N, 1))
8     M = np.exp(-2j * np.pi * k * n / N)
9     return np.dot(M, x)

对比numpy的内置FFT函数，我们来对结果进行仔细检查

使用这种简化的实现方法，正如所料，我们慢了一千多倍。但问题不是这么简单。对于长度为N的输入矢量，FFT是O(N logN)级的，而我们的慢算法是O(N^2)级的。这就意味着，FFT用50毫秒能干完的活，对于我们的慢算法来说，要差不多20小时！那么FFT是怎么提速完事的呢？答案就在于他利用了对称性。

离散傅里叶变换中的对称性

算法设计者所掌握的最重要手段之一，就是利用问题的对称性。如果你能清晰地展示问题的某一部分与另一部分相关，那么你就只需计算子结果一次，从而节省了计算成本。