如何利用B-S模型计算可转债的期权价值？
来源：雪球App，作者： 大象咖啡，（https://xueqiu.com/8188497048/143871579）
整个世界都在下坠！这个时候最好的做法，就是暂时屏蔽市场，静下心来，忘掉“股灾，危机，萧条”之类的词汇，自己思考思考；或者泡一杯咖啡，看看书，学习学习。
本篇笔记我们来聊聊怎么算可转债的期权价值。
1、可转债的内在价值包含哪些
做可转债的朋友，一般非常关注 可转债价格 与 转股溢价率 这两个量。通过这两个量，我们会大概判断出，如果可转债价格低，其纯债价值就高；如果转股溢价率低，那么其转股价值就高。
上面的方法是定性的判断，那么，我们可不可以定量地计算出可转债的 内在价值 呢？有了内在价值，就可以制定一个简单的策略：若当前可转债价格低于其内在价值，那么买入；价格若超过内在价值，就卖出。
现在的问题是如何计算内在价值。我们知道，可转债首先是债券，然后在其上附上了一个看涨期权。所以， 可转债的内在价值 = 纯债价值 + 看涨期权价值 。
纯债价值的计算相对简单，就是将未来利息与期末偿还本金按选定的贴现率贴现就行（如，同等级债券收益率）。有很多文章介绍纯债价值的计算，这里不另外说了。在东方财富网站 网页链接 输入可转债代码或简称也可以查到。
下面重点来谈谈可转债期权价值的计算。本文利用一个经典的方法： Black-Scholes（B-S）模型 。该模型由罗伯特·默顿(Robert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)创立，他们也因此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
2、B-S模型
B-S模型基于一个核心思路是： 计算出可转债到期时正股股价的分布；根据这个分布求出期权价值（或者转股价值）的期望；最后将这个期望按无风险利率贴现到现在即得 。
B-S模型是从当下开始按连续时间进行积分，得到到期时正股股价的分布。需要随机微积分的知识，在这里就不详细展开了，直接上公式：
我们看看上面公式中出现的变量：
（1）C ：当前看涨期权的价值，这个是正股的期权价值（最后要转成可转债的）。
（2）S ：正股当前的价格，这个容易取到。
（3）X ：期权的行权价，就是可转债的转股价格，这个是给定的。
（4）T ：当前到转债到期日的时间，换算成以年为单位。
比如，当前可转债到期日还有452天，那么T=452/360=1.26。分母中你也可以取365，习惯上是360。
（5）r ：无风险利率，且为连续复利下的年化收益率。
无风险利率你可以参考 国债收益率 、 Shibor 、或者 204001 。假设现在的无风险年化收益率为2.48%，怎么换算到连续复利下的年化收益率呢？通过下面这个公式：
其中，R’是年化收益率，R是连续复利下的年化收益率。比如当R=2.48%，那么根据上面公式得到R’=2.45%。
（6）σ ：正股的年化收益率标准差。
好吧，这个有点难理解。收益率的标准差实际上指示了收益率的波动程度，一般可以看成股票的历史波动率。年化收益率标准差怎么算呢？我们可以先把股票每日的收益率（就是每日涨跌幅）数据拉下来，比如拉个5年的数据，然后计算这一组数据的标准差。这里计算的标准差是 日收益率标准差 。最后，通过下面的公式得到 年化收益率标准差 ：
其中，σ’是日收益率标准差；σ是年化收益率标准差；T一般取值250，大概是一年交易日个数。
（7）N(d) ：标准正态分布<=d的累积概率。比如标准正态分布的均值为0，那么N(0)=0.5。这个计算过程在很多数据分析工具中会提供的（R，Python等）。
重要的一步：
上面算出来的C其实是股票的看涨期权价值，我们还要换算成可转债的期权价值，利用下面的公式：
其中，C’就是我们最终求得的可转债的期权价值。
根据上面的解释，我们都能有办法得到公式中的变量值，那么就可以计算出当下的期权价值了。
3、一个栗子
下面通过栗子来算一算会深刻一些。
下表是截止2020年3月12日收盘， 海澜转债 （110045.SH）的相关数值：
（如果需要 海澜之家 近两年日收盘价数据做验证，可以关注公众号“大象咖啡屋”，后台回复“600398”即可。）
下面就是代入上面的数值计算啦：
算出C=0.86，下一步就是算出 可转债的期权价值 ，即C’=(100/12.02)*0.86=7.15。通过计算或者查看东方财富网，得到 纯债价值 为97.66。
因此可转债在2020年3月12日收盘后的 内在价值 为 7.15+97.66 = 104.81。可转债收盘价为104.2，看来还是非常接近理论上的内在价值的。
4、不得不说的缺点
B-S模型是目前计算期权价值比较理想的模型，但模型计算出来的永远是理论价值，不能完全对应实际的内在价值。
另外，本文的经典B-S模型，更确切地只能应用在 非奇异的欧式期权 的价值计算上。
这里有两个条件： 非奇异 与 欧式 （这两个概念的深入知识不具体展开了）。从本质上来说，可转债其实都不满足。可转债可能像美式期权那样提前“行权”，在到期日之前就强行赎回或者回售等，比如去年的 平安转债 。另外，可转债毫无疑问是奇异期权，比如，它能下修转股价。
还有，B-S模型本身就基于一些较强的假设，比如 证券的无限可分性 、 无套利空间 、 无摩擦成本 等。所以理论值与实际不会完全匹配。
所以，小伙伴们不能完全依赖于B-S模型算出的期权价值，将其作为参考是更明智的选择。
5、总结
本文介绍了B-S模型计算可转债期权价值的方法。小伙伴们只要得到公式中变量的值，然后代入计算即可。
另外，本文也提到了这种方法存在不足，应用上是受限的。小伙伴们也不要完全依赖B-S模型算出来的值。
后面有机会，我会进一步介绍B-S模型的改进版，用来处理奇异期权与美式期权。另外，还有两个不错的工具： 二叉树定价模型 与 蒙特卡洛方法 。这两个工具可以加入对奇异期权与美式期权的处理过程。喜欢写程序的朋友，我更推荐 蒙特卡洛方法 ，中间过程修正比较灵活。
【推荐】
喜欢可转债投资的朋友，可以关注这几位老师的雪球号： @饕餮海 @持有封基 @DAVID自由之路
最后推荐两本书：
对B-S模型感兴趣的朋友可以参考John Hall的《期权、期货及其他衍生品》（期权入门必读）。
对B-S模型背景故事感兴趣的朋友可以读一读Emanuel Derman的《宽客人生》。
