因果推断与反事实预测——利用DML进行价格弹性计算（二十三）

文章目录

• 1 导言
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  • 1.1 价格需求弹性介绍
  • 1.2 由盒马反事实预测论文开始
  • 1.3 DML - 价格弹性预测推理步骤
• 2 案例详解
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  • 2.1 数据清理
  • 2.2 [v1版]求解价格弹性：OLS回归
  • 2.3 [v2版]求解价格弹性：Poisson回归+多元岭回归
  • 2.4 [v3版]求解价格弹性：DML
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    • 2.4.1 DML数据准备 + 建模 + 求残差
    • 2.4.2 三块模型对比
    • 2.4.3 稳健性评估

1 导言

1.1 价格需求弹性介绍

经济学课程里谈到价格需求弹性，描述需求数量随商品价格的变动而变化的弹性。价格一般不直接影响需求，而是被用户决策相关的中间变量所中介作用。假设 Q 为某个商品的需求的数量，P 为该商品的价格，则计算需求的价格弹性为，

通过上式可以简单知道，价格改变 1 元比价格改变 100 元，会导致更大的需求改变。比如以 5 元的价格每日可以卖 100 单位产品，如果价格需求弹性为 -3 ，那供应商将价格提升 5%（dp /P，从 5 元-> 5.25 元），需求将下降 15%（dQ/Q ，从 100->85）。那么收入将减少 100_5-5.25_85=53.75。

如果单价降低 5%，那么收入同理将提升 46.25。如果供应商知道了产品的价格弹性，那无须反复测试，即可清楚为提升收入到底应该是提价还是降价。

1.2 由盒马反事实预测论文开始

之前在 因果推断笔记——DML ：Double Machine Learning案例学习（十六） 这篇提到用DML求价格弹性，不过没有实操模块，本篇是在看过 因果推断与反事实预测——盒马KDD2021的一篇论文（二十三） 盒马论文之后，想实操一下价格弹性这块。

先来提一下盒马这篇，在反事实预测任务上（随着折扣改变销量如何改变）的尝试半参数模型、XGBtree模型、DeepIV：

• 第一种，半参数模型，不过这篇对动态折扣下销量的预估的半参数笔者还没深入了解，感觉用 分层的价格弹性 （平均折扣tree销量预测 + 价格弹性拟合动态折扣销量增量）来规避了核心因果推理的问题，后续要再理解一下该模型
• 第二种，错误尝试，将折扣当作treatment，动态将treatment作为特征来预测销量
• 第三种，deepIV，将三级品类的平均价格（treatment）作为工具变量

三者效果如图，还是semi-para好多了：

本篇是想放大价格弹性的因果计算模块，与盒马的不同：

• 推估弹性的方法不同（本篇是用DML预测）
• 粒度不同，本篇案例可没顾得上商品分类，一股脑子全放一起了，盒马那篇弹性系数是By 每个商品

1.3 DML - 价格弹性预测推理步骤

最好的方式，当然是直接进行 A/B 实验测试不同价格对用户的需求反应，但是价格这类的外生因素在同一产品同一阶段上，对不同用户展示不同的价格会直接损坏用户体验。因此从观察历史数据进行因果推断，但混杂因素（季节性、产品质量等）如何控制是因果推断的挑战。

这里采用 DML（Double Machine Learning） 方法进行因果推断，该方法主要解决两个问题：

• 第一，通过正则化挑拣重要控制变量；
• 第二，对比传统的线性回归模型，用非参数推断可以解决非线性问题。

DML 先应用机器学习算法去分别通过特征变量 X, W 拟合结果变量 Y 和处理变量 T，然后通过线性模型，使用处理变量的残差拟合出结果变量的残差。

目标是估计 ，这里的 Y 函数构成为 T 的因果作用和 X、W 的协同作用之和。

本篇整个价格弹性的推理过程：

1. 将数据分为两部分，一部分样本选用随机森林等模型，用混杂变量预测处理变量（价格 P），得到 EP|X；另外的样本同样可选择随机森林模型，用混杂变量预测结果变量（需求量 Q），得到 EQ|X。
2. 计算残差，得到不受混杂变量影响的价格 P 和 需求量 Q，即为

1. 因此直接将 \widetilde P , \widetilde Q 进行 log-log 回归就能得到弹性系数 𝜃:

需要得到

倒推用log-log回归得到回归系数，即

2 案例详解

与本节关联的文章：

• 因果推断与反事实预测——盒马KDD2021的一篇论文（二十三）
• 因果推断笔记——DML ：Double Machine Learning案例学习（十六）

下面的案例的来源：

• 利用机器学习因果推理进行弹性定价
• 数据分析36计(29)：价格需求弹性和因果推断
• 简单版代码： DML.ipynb
• 数据集来源： Association Rules and Market Basket Analysis

2.1 数据清理

数据集是kaggle的比赛数据集，原文ipynb直接读入的时候会格式报错，这里贴一段kaggle原生读入的方式，不会有报错：

data = pd.read_csv('OnlineRetail.csv',encoding= 'cp1252',parse_dates=['InvoiceDate'])
data = data.sort_values(by='InvoiceDate')
data = data.set_index('InvoiceDate')

原数据是购物篮分析数据，这个数据集包含了一家英国在线零售公司在8个月期间的所有购买行为。

每个商品，在每个国家，每家店，每个时间出售的件数与对应的单价。

这里需要额外加工收入：

df['revenue'] = df.Quantity * df.UnitPrice

同时对P / Q进行对数化处理：

# 将单价和数量取log
df_mdl = df_mdl.assign(
    LnP = np.log(df_mdl['UnitPrice']),
    LnQ = np.log(df_mdl['Quantity']),
)

2.2 v1版求解价格弹性：OLS回归

v1版 = LnQ~LnP，没有协变量，用最简单的OLS回归

最简单的求解，也不管啥因果推断，有偏无偏，将上述数据的lnp和lnQ，一股脑子都分段，比如(-2.814,-0.868)就是这区间内lnp和lnQ的平均值，如下：

新生成的LnP和LnQ直接回归即得回归系数：

x='LnP'
y='LnQ'
df = df_mdl
n_bins=15
x_bin = x + '_bin'
df[x_bin] = pd.qcut(df[x], n_bins)
tmp = df.groupby(x_bin).agg({
    x: 'mean',
    y: 'mean'
mdl = sm.OLS(tmp[y], sm.add_constant(tmp[x]))
res = mdl.fit()

得到结果：

弹性系数为-0.6064，价格越高，销量越少

v1的计算也可以使用另外一种方式，计算方差，

因为只有两个变量可以：

df_mdl[['LnP', 'LnQ']].cov()

这里就是:

2.3 v2版求解价格弹性：Poisson回归+多元岭回归

v2版 = LnQ~LnP+Country+StockCode+Date，有多元协变量，用岭回归+泊松回归

import sklearn.preprocessing
from sklearn import linear_model
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.compose import ColumnTransformer
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder, StandardScaler, RobustScaler
from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer
feature_generator_basic = ColumnTransformer(
        ('StockCode', OneHotEncoder(), ['StockCode']),
        ('Date', OneHotEncoder(), ['Date']),
        ('Country', OneHotEncoder(), ['Country']),
        ('LnP', 'passthrough', ['LnP']),
    ], remainder='drop'
mdl_basic = Pipeline([
    ('feat_proc', feature_generator_basic),
    ('reg', linear_model.PoissonRegressor(
        alpha=1e-6,  # l2 penalty strength; manually selected value for minimum interference on LnP-coef (elasticity)
        fit_intercept=False, # no need, since we have OneHot encodings without drop
        max_iter=100_000, 
], verbose=True)
mdl_basic_ols = Pipeline([
    ('feat_proc', feature_generator_basic),
    ('reg', linear_model.Ridge(
        alpha=1e-20,  # l2 penalty strength, "very small"
        fit_intercept=False, 
        max_iter=100_000, 
], verbose=True)
mdl_basic.fit(
    df_mdl[['LnP', 'StockCode', 'Date', 'Country']], 
    df_mdl['Quantity'] # Poisson regression has log-link, so LnQ is implicit in loss function
)

但是训练数据不跟之前v1一样，不需要分组，直接用原始数据：

柏松回归中LnP的回归系数为 -2.87559，

Ridge—OLS回归中LnP的回归系数为 -1.79945，

尝试下来各个方法得到的结果差异很大。

2.4 v3版求解价格弹性：DML

2.4.1 DML数据准备 + 建模 + 求残差

因为不同产品的单价差异很大，所以对于同一维度的单价需要减去该维度的单价均值：

这里，消除数据差异的方法，在盒马论文里面是：

• Y_i^\text{o} 是常规渠道产品 i 近期的平均销量
• Y_i/Y_i^\text{nor} 代表了折扣价格使得销量增加的百分比，因为不同商品销量差异很大，所以比率会比绝对值更有用

df_mdl['dLnP'] = np.log(df_mdl.UnitPrice) - np.log(df_mdl.groupby('StockCode').UnitPrice.transform('mean'))
df_mdl['dLnQ'] = np.log(df_mdl.Quantity) - np.log(df_mdl.groupby('StockCode').Quantity.transform('mean'))

混杂因子也做了一些处理：

1. 季节性变量：该价格处于第几月、处于月里第几天和周里第几天
2. 产品上线的时长：用当期时间减去该产品的最小时间
3. sku 的价格水平：单个sku内的价格中位数

df_mdl = df_mdl.assign(
    month = lambda d: d.Date.dt.month,
    DoM =   lambda d: d.Date.dt.day,
    DoW =   lambda d: d.Date.dt.weekday,
    stock_age_days = lambda d: (d.Date - d.groupby('StockCode').Date.transform('min')).dt.days,
    sku_avg_p = lambda d: d.groupby('StockCode').UnitPrice.transform('median')
)

有了混杂因子，lnp,lnq，来看看DML过程：

• 构建 lnp-W ， lnq-W
• 计算残差

# 混杂因子针对Q \ P 分别建模
model_y = Pipeline([
    ('feat_proc', feature_generator_full),
    ('model_y', RandomForestRegressor(n_estimators=50, min_samples_leaf=3, n_jobs=-1, verbose=0)) 
    # n_samples_leaf/n_estimators is set to reduce model (file) size and runtime
    # larger models yield prettier plots.
model_t = Pipeline([
    ('feat_proc', feature_generator_full),
    ('model_t', RandomForestRegressor(n_estimators=50, min_samples_leaf=3, n_jobs=-1, verbose=0))
# 上述模型得到预估值
# Get first-step, predictions to residualize ("orthogonalize") with (in-sample for now)
q_hat = model_y.predict(df_mdl)
p_hat = model_t.predict(df_mdl)
# 用观测值减去预测得到的值求解残差
df_mdl = df_mdl.assign(
    dLnP_res = df_mdl['dLnP'] - p_hat,
    dLnQ_res = df_mdl['dLnQ'] - q_hat,
)

2.4.2 三块模型对比

此时经过数据处理，数据集中就有三种数据类型：

• 对数
• 对数+去均值化
• 对数+去均值化+求残差

然后三组数据，按照v1版的处理方式，先分段，后利用OLS求价格弹性：

# 初始ols模型
old_fit = binned_ols(
    df_mdl,
    x='LnP',
    y='LnQ',
    n_bins=15,
# 初始去均值化后的ols模型
old_fit = binned_ols(
    df_mdl,
    x='dLnP',
    y='dLnQ',
    n_bins=15,
    plot_ax=plt.gca(),
# 残差拟合的ols模型
old_fit = binned_ols(
    df_mdl,
    x='dLnP_res',
    y='dLnQ_res',
    n_bins=15,
    plot_title='Causal regression naively, with item controls, and after DML.',
    plot_ax=plt.gca()
)

此时经过数据处理，数据集中就有三种数据类型，三者的价格弹性对比：

• 对数： \theta=-1.7
• 对数+去均值化： \theta=-1.7
• 对数+去均值化+求残差： \theta=-1.819

当然OLS还有截距项，绘图可得：

这里原文也给出了，DML求解过程中，两个随机森林模型的特征重要性：

feat_imp = pd.DataFrame({
    'feat': get_feat_generator_names(model_y['feat_proc']),
    'importance_q': model_y['model_y'].feature_importances_,
    'importance_p': model_t['model_t'].feature_importances_,
}).set_index('feat')
feat_imp.sort_values(by='importance_p').iloc[-15:].plot.barh(
    figsize=(5, 8), 
    title='feature importances for DML estimators of treatment(p) and outcome(q)'
)

2.4.3 稳健性评估

这章主要学习到的：

• 一种数据筛选的原则，残差正交化后， dLnP_{res}

总是很小，因此为了减少噪音， 我们将丢弃所有非常小的价格变化观察值，它们不包含太多信息

训练数据分成多k-fold来检验弹性系数的稳定性

那么在盒马那篇文章里面来看一下这个图， 使用training data的比例往上几个模型的稳定性分布情况

模型的预测推断结果是 \hat \theta=\frac{dLnQ_{res}}{dLnP_{res}} 但是残差正交化后， dLnP_{res} 总是很小，因此为了减少噪音， 我们将丢弃所有非常小的价格变化观察值，它们不包含太多信息 。

Chernozhukov 提出了一个改进的 DML，传统的标准 OLS 方法估计 \hat \theta=(\widetilde P^T \widetilde P)^{-1}\widetilde P^T \widetilde Q 但改进的 \hat \theta=(\widetilde P^T P)^{-1}\widetilde P^T \widetilde Q^T

即第二个 P 矩阵用未残差化的。最后采取 2-fold 得到平均值使得结果更稳健，最终弹性系数结果为 -1.89

old_fit = binned_ols(
    df_mdl,
    x='dLnP',
    y='dLnQ',
    n_bins=15,
    plot_ax=plt.gca(),
plt.gca().set(
    xlabel='log(price)',
    ylabel='log(quantity)',    
plt.gca().axvline(0, color='k', linestyle=':')
plt.gca().axhline(0, color='k', linestyle=':')
elast_estimates = list()
for idx_aux, idx_inf in KFold(n_splits=2, shuffle=True).split(df_mdl):
    df_aux = df_mdl.iloc[idx_aux]
    df_inf = df_mdl.iloc[idx_inf].copy()
    # step 1: aux models and residualize in inferential set
    print('fitting model_y')
    model_y.fit(df_aux, df_aux.dLnQ)
    print('fitting model_t')
    model_t.fit(df_aux, df_aux.dLnP)
    df_inf = df_inf.assign(
        dLnP_res = df_inf['dLnP'] - model_t.predict(df_inf),
        dLnQ_res = df_inf['dLnQ'] - model_y.predict(df_inf),
    binned_ols(
        df_inf,
        x='dLnP_res',
        y='dLnQ_res',
        n_bins=15,
        plot_ax=plt.gca(),
        label='fold'
    # ignore observations where we residualized away all variation in price
    mask = (~(df_inf.dLnP_res.abs() < 0.01))
    df_inf_censored = df_inf[mask]
    # step 2.1: Chernozhukov DML inference
    elast = (
        df_inf_censored['dLnP_res'].dot(df_inf_censored['dLnQ_res'])
        df_inf_censored['dLnP_res'].dot(df_inf_censored['dLnP'])
        # the last part here deviates from standard OLS solution
    print('DML elast: ', elast)
    elast_estimates.append(elast)
    print('OLS elasticity for comparison:',
        df_inf_censored['dLnP_res'].dot(df_inf_censored['dLnQ_res'])