$estim.precis

[1] 5.634204e-10

验证一下：

> m1-sqrt(3*m2);m1+sqrt(3*m2)

[1] -0.7523918

[1] 10.25239

6.1.2极大似然估计

R中计算极值的函数（stats包）

optimize( ) 计算单参数分布的极人似然估计值

optim() 计算多个参数分布的极大似然估计值

nlm() 计算非线性函数的最小值点

nlminb( ) 非线性最小化函数

1.函数optimize()

当分布只包含一个参数时，我们可以使用R中计算极值的函数optimize()求极大似然估计值。

optimize(f = , interval = ,  ..., lower = min(interval),

         upper = max(interval), maximum = FALSE,

         tol = .Machine$double.eps^0.25)

其中f是似然函数:interval指定参数的取值范围;lower/upper分别是参数的下界和上界:maximum默认为FALSE，表示求似然函数的极小值，若为TRUE则求极大值:tol表示计算的精度。

2.函数optim()和nlm()

当分布包含多个参数时，用函数optim()或nlm()计算似然函数的极大值点。

optim(par, fn, gr = NULL, ...,

      method = c("Nelder-Mead", "BFGS", "CG", "L-BFGS-B", "SANN",

                 "Brent"),

      lower = -Inf, upper = Inf,

      control = list(), hessian = FALSE)

par设置参数的初始值；fn为似然函数；method提供了5种计算极值的方法

nlm(f, p, ..., hessian = FALSE, typsize = rep(1, length(p)),

    fscale = 1, print.level = 0, ndigit = 12, gradtol = 1e-6,

    stepmax = max(1000 * sqrt(sum((p/typsize)^2)), 1000),

steptol = 1e-6, iterlim = 100, check.analyticals = TRUE)

nlm是非线性最小化函数，仅使用牛顿一拉夫逊算法，通过迭代计算函数的最小值点。一般只布要对前两个参数进行设置:f是需要最小化的函数:P设置参数初始值。

3.函数nlminb()

在实际应用中，上面这三个基本函数在遇到数据量较大或分布较复杂的计算时，就需要使用优化函数nlminb()

nlminb(start, objective, gradient = NULL, hessian = NULL, ...,

       scale = 1, control = list(), lower = -Inf, upper = Inf)

参数start是数值向量，用于设置参数的初始值;objective指定要优化的函数:gradient和hess用于设置对数似然的梯度，通常采用默认状态;control是一个控制参数的列表:lower和upper设置参数的下限和上限，如果未指定，则假设所有参数都不受约束。

例：

> library(MASS)

> head(geyser,5)

  waiting duration

1      80 4.016667

2      71 2.150000

3      57 4.000000

4      80 4.000000

5      75 4.000000

> attach(geyser)

> hist(waiting,freq=FALSE)#通过直方图了解数据分布的形态

猜测分布是两个正态分布的混合，需要估计出函数中的5个参数：p、μ1、μ2、σ1、σ2。

在R中编写对数似然函数时，5个参数都存放在向量para中，由于nlminb()是计算极小值的，因此函数function中最后返回的是对数似然函数的相反数。

> l1=function(para)

+ {

+ f1=dnorm(waiting,para[2],para[3])

+ f2=dnorm(waiting,para[4],para[5])

+ f=para[1]*f1+(1-para[1])*f2

+ l1=sum(log(f))

+ return(-11)

+ }

做参数估计，使用nlminb()之前最大的要点是确定初始值，初始值越接近真实值，计算的结果才能越精确。我们猜想数据的分布是两个正态的混合，概率P直接用0.5做初值即可。通过直方图中两个峰对应的x轴数值(大概为50和80>，就可以将初值设定为μ1和μ2。而概率P处于((0,1)区间内，参数σ1，σ2是正态分布的标准差，必须大于0，所以通过lower和upper两个参数进行一定的约束。

> geyser.est=nlminb(c(0.5,50,10,80,10),l1,lower=c(0.0001,-Inf,0.0001,-Inf,0.0001),upper=c(0.9999,Inf,Inf,Inf,Inf))

> options(digits=3)

> geyser.est$par

[1]  0.308 54.203  4.952 80.360  7.508

> p=geyser.est$par[1]

> mu1=geyser.est$par[2];sigma1=geyser.est$par[3]

> mu2=geyser.est$par[4];sigma2=geyser.est$par[5]

> x=seq(40,120)

>#将估计的参凌丈函数代入原密度函数

> f=p*dnorm(x,mu1,sigma1)+(1-p)*dnorm(x,mu2,sigma2)

> hist(waiting,freq=F)

> lines(x,f)

(2)使用极大似然估计函数maxLik()计算

程序包maxLik中同名的函数maxLik()可以直接计算极大似然估计值，调用格式如下:

maxLik(logLik, grad = NULL, hess = NULL, start, method,

constraints=NULL, ...)

logLik是对数似然函数，grad和hess用于设置对数似然的梯度，通常不需要进行设置，采用默认值NULL即可;start是一个数值向量，设置参数的初始值;method选择求解最大化的方法，包括“牛顿-拉夫逊”、"BFGS". "BFGSR", "BHHH","SANK”和“Nelder-Mead"，如果不设置，将自动选择一个合适的方法;constraints指定对似然估计的约束。

例：

采用两参数的负二项分布做极大似然估计，具体说明离散分布的拟合：

编写R程序时首先要写出对数似然函数loglik，用到R中的负二项函数dnbinom()，它的参数是r、p。如果要估计β的值，应当转换一下形式。

> num=c(rep(0:5,c(1532,581,179,41,10,4)))

> loglik=function(para)

+ {

+   f=dnbinom(num,para[1],1/(1+para[2]))

+   l1=sum(log(f))

+   return(l1)

+ }

> library(maxLik)

> para=maxLik(loglik,start=c(0.5,0.4))$estimate

> r=para[1];beta=para[2]

通过图形来观察估计的效果，比较损失次数的样本值和估计值：

> l=length(num)

> nbinomnum=dnbinom(0:5,r,1/(1+beta))*l;nbinomnum

[1] 1530.12  588.08  170.66   44.17   10.74    2.51

> plot(0:5,nbinomnum,ylim=c(0,1600))

> points(0:5,nbinomnum,type="p",col=2)

> legend(3,1000,legend=c("num","poisson"),col=1:2,lty=1)

可以看出，负二项分布的极大似然估计效果非常好，估计值与样木值几乎完全重合，可以得出结论，损失次数服从负二项分布。

6.2单正态总体的区间估计

6.2.1均值μ的区间估计

(1 )σ2已知

R中没有计算方差己知时均值置信区间的内置函数，需要自己编写：

conf.int=function(x,sigma,alpha){

mean=mean(x)

n=length(x)

z=qnorm(1-alpha/2,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE)

c(mean-sigma*z/sqrt(n),mean+sigma*z/sqrt(n))

}

其中x为数据样本;sigma是已知总体的标准差;alpha表示显著性水平。通常我们作区间估计时，都会估计出双侧的置信区间，因为它为待估参数提供了上下限两个参考值。但如果要估计单.侧的置信区间，理论上与双侧相同，只需要使用标准正态分布的α分位点即可，编写函数时也做同样变动即可。

现在基本统计和数据分析程序包BSDA (Basic Statisticsand Data Analysis )中己经提供了函数z.test()，它可以对基于正态分布的单样本和双样本进行假设检验、区间估计，其使用方法如下:

z.test(x, y = NULL, alternative = "two.sided", mu = 0, sigma.x = NULL,

sigma.y = NULL, conf.level = 0.95)

其中，x和Y为数值向量，默认y=NULL，即进行单样本的假设检验;alternative用于指定所求置信区间的类型，默认为two.sided，表示求双尾的置信区间，若为less则求置信上限，为greater求置信卜限;mu表示均值，它仅在假设检验中起作用，默认为0; sigma.x和sigma.y分别指定两个样本总体的标准差:conf.level指定区间估计时的置信水平。

程序包UsingR中的函数simple.z.test()，它专门用于对方差己知的样本均值进行区间估计，与z.test()的不同点在于它只能进行置信区间估计，而不能实现Z检验。simple.z.test()

的使用方法如下:

simple.z.test (x,sigma, conf.level=0.95)

其中，x是数据向量:sigma是己知的总体标准差;conf.level指定区间估计的置信度，默认

为95% 。

例：

从均值为10、标准差为2的总体中抽取20个样本，因此这是一个方差己知

的正态分布样本。计算置信水平为95%时x的置信区间，首先调用自行编写的函数conf.int()：

> conf.int=function(x,sigma,alpha){

+   mean=mean(x)

+   n=length(x)

+   z=qnorm(1-alpha/2,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE)

+   c(mean-sigma*z/sqrt(n),mean+sigma*z/sqrt(n))

+ }

> set.seed(111)

> x=rnorm(20,10,2)

> conf.int(x,2,0.05)

[1]  8.42 10.17

用函数z.test（）也可以直接得到这一结果：

> library(BSDA)

> z.test(x,sigma.x=2)$conf.int

[1]  8.42 10.17

attr(,"conf.level")

[1] 0.95

simple.z.test()，可以直接得到区间估计结果：

> library(UsingR)

> simple.z.test(x,2)

[1]  8.42 10.17

三种方法的结果均显示，该样本的95%置信区间为[8.42, 10.17]

(2 )σ2未知

总体方差未知时，用t分布的统计量来替代z，方差也要由样本方差s2代替

t.test(x, y = NULL,alternative = c("two.sided", "less", "greater"),mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,conf.level = 0.95, ...)

其中，x为样本数据;若x和Y同时输入，则做双样本t检验;alternative用于指定所求置信区间的类型，默认为two.sided，表示求双尾的置信区间，若为less则求置信上限，为greater求置信下限;mu表示均值，其仅在假设检验中起作用，默认为0.

仍使用上例中的向量x，假设总体方差未知时，用函数t.test()计算置信区间后:

> t.test(x)

         One Sample t-test

data:  x

t = 22.6, df = 19, p-value = 3.407e-15

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

  8.43 10.15

sample estimates:

mean of x 

     9.29 

如果只要区间估计的结果，则用符号“$”选取conf.int的内容:

> t.test(x)$conf.int

[1]  8.43 10.15

attr(,"conf.level")

[1] 0.95

6.2.2方差σ2的区间估计

(1)μ已知

(2) μ未知

在R中没有直接计算方差的置信区间的函数，我们可以把上面两种情况写在一个函数里，通过一个if语句进行判断，只要是方差的区间估计，都调用这个函数即可。在R中写函数时，参数可以事先设定一个初值，例如设mu=Inf，代表均值未知的情况，调用函数时如果没有特殊说明mu的值，将按照均值未知的方法计算;如果均值己知，在调用函数时应该对mu重新赋值。

> var.conf.int=function(x,mu=Inf,alpha){

+   n=length(x)

+ if(mu<Inf){

+    s2=sum((x-mu)^2)/n

+ df=n

+   }

+ else{

+    s2=var(x)

+ df=n-1

+   }

+   c(df*s2/qchisq(1-alpha/2,df),df*s2)/qchisq(alpha/2,df)

+ }

> var.conf.int(x,alpha=0.05)

[1]  5.35 39.50

计算得到总体方差的置信区间为【5.35,39.5]，置信水平是95%